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BRÈVES de MATHS – Page 66

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

1300. Ombres
Énigme Un enfant de taille 60 cm et son ombre portée au sol de 90 cm. Un homme de taille à trouver dont on connait l'ombre portée au sol de 180 cm et sur un mur vertical de 120 cm. Piste En supposant que les ombres soient dues au soleil, on a donc une source de lumière très lointaine et les rayons du soleil sont parallèles. Solution Enfant: le rapport entre la taille de l'ombre et celle de l'enfant est 60/90 = 2/3 Ce rapport s'applique aussi à l'ombre au sol de l'homme: 180 × 2/3 = 120 cm Avec le soleil lointain, la taille sur le mur est identique à la taille sur l'homme Taille de l'homme: 120 + 120 = 240 cm		Taille de l'homme:
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1301. Proportions en croix
Énigme Dessin d'une croix dans un quadrillage. Quelle est la proportion de l'aire de la zone verte par rapport à l'aire totale de la croix. Gauche Proportion évidente : 4 grands carrés pour 5 au total Droite On pose la question: plus ou moins de 3/4 ? Le décompte des petits carrés conduit à 78,57…°, juste un peu plus de 75%.		Proportion 1/1		Proportion 3/2
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1302. Fibonacci et nombre 89
Comment une simple somme de nombres, ceux de Fibonacci, peut engendrer une fraction (ici, 1/89) Les nombres de Fibonacci sont ajoutés en procédant, pour chacun, à un décalage d'un cran vers la droite La somme des colonnes, en tenant compte des retenues, produit exactement le nombre correspondant à la fraction 1/89. Rappel sur les nombres de Fibonacci: F1 = 1; F2 = 1; Fn+1 = Fn + Fn-1
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1303. Auto-nombre par la racine
Construction des nombres On calcule la racine carré de n. Puis, on ne garde que la partie entière r. Le nombre n est divisé par cette partie entière. Si le résultat de n / r est un entier, alors on conserve le nombre n: colonne D. Les nombres D sont tels que la partie entière de leur racine carrée est un diviseur de n. Propriété Tous les carrés comme 4 et 9 sont des auto-nombres. Et, entre deux carrés, il y a toujours deux auto-nombres. Liste 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 30, 35, 36, 42, 48, 49, 56, 63, 64, 72, 80, 81, 90, 99, 100, …		Premiers auto-nombres D
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1304. Pépite en 666

666³ = 333³ + 444³ + 555³

= 295 408 296

La démonstration ne présente pas de difficulté. Une simple manipulation opératoire avec les puissances.

Mais celle-ci découle directement du fait que:

6³ = 3³ + 4³ + 5³

Conséquence: vous pouvez mettre autant de chiffres que vous voulez, l'égalité est conservée.

Par exemple:

66666³ = 33333³ + 44444³ + 55555³

S	=	333^3	+ 444^3	+ 555^3
	=	(111 × 3)^3	+ (111 × 4)^3	+ (111 × 5)^3
	=	111^3 × 3^3	+ 111^3 × 4^3	+ 111^3 × 5^3
	= 111^3	(3^3	+ 4^3	+ 5^3)
	= 111^3	(27	+ 64	+ 125)
	= 111^3	× 216
	= 111^3	× 6^3
	= (111 × 6)^3
	= 666^3

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>>> Pépite numérique

>>> Nombre 666

1305. Énigme HELLO
Problème Résoudre ce cryptarithme en HELLO. Piste La répétition des lettres sur une colonne permet de transformer une addition en multiplication. Ainsi: O + O + O + O + O = 5O Seule possibilité: O = 5 et 5O = 25 O = 5 avec une retenue de 2. Résolution			Énoncé Solution
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1306. Suite de factorielles
Prouver cette relation entre factorielles		Vraie pour n de 1 à 5
Démonstration par induction
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1307. Exposant en 2026

n = 2²⁰²⁶ + 5²⁰²⁶

Démontrer que ce nombre est composé.

Il est facile de démontrer qu'il est divisible par: 2² + 5² = 29

Premier ?	2^2026 + 5^2026
Exposant impair	4^1013 + 25^1013
Théorème	(a + b) | (a^n + b^n) si n impair
Application	29 |4^1013 + 25^1013
Conséquence	2^2026 + 5^2026 est composé
Valeur numérique	4^1013 + 25^1013 = 1,29786 … 10^1416

Rappel a | b veut dire a divise b

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Pour en savoir plus

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>>> Nombre 2026 – Propriétés

1308. Produit qui s'écroule !
Avec ces données, on serait tenté de développer le produit en cherchant à l'exprimer en fonction des x + 1/x. Une astuce consiste à se demander ce que devient le carré de cette expression. Bingo, la solution est immédiate !
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1309. La plus courte durée mesurée
Record En 2020, une équipe de l’Université Goethe de Francfort a établi un record mondial en mesurant un intervalle de 247 zeptosecondes, soit 2,47 × 10^-19 seconde Il s’agit du temps nécessaire à un photon pour traverser une molécule d’hydrogène. Cette mesure a été largement reconnue comme la plus courte durée jamais mesurée expérimentalement.		Définition moderne de la seconde (SI) Depuis 1967, la seconde n’est plus définie par l’astronomie mais par une propriété quantique d’un atome. Selon le Système international d’unités (SI), la seconde est définie comme La durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation émise lors de la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium‑133 non perturbé.
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1310. Triangle dans rectangles
Construction Un assemblage de six rectangles identiques qui forment un grand rectangle de longueur 20 cm. Quelle est l’aire du triangle bleu ? Piste Comme le montre le rectangle central, cet assemblage n’est faisable que si la longueur du petit rectangle vaut deux fois sa longueur (L). Alors 20 cm représente 5L et donc L = 4 cm Aire du triangle bleu L’aire est le demi-produit de la base (2L = 8) par la hauteur (20), soit : 80 cm². Notez que la position du sommet peut être quelconque sur le côté du grand rectangle.		Aire du triangle ? Formule du calcul de l’aire
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1311. 2006 tourne en rond
Prendre le nombre 2026 au carré et lui ajouter 1. Recommencer avec ce nouveau nombre. Encore … Après sept étapes (6 sans compter le premier 2026), le nombre obtenu est terminé par 2026. Une propriété rare.
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1312. Trous dans les nombres

Construction

On compte les trous dans l'écriture des nombres.
On a: un trou dans les chiffres 0, 4, 6 et 9; il y en a deux dans le nombre 8.

Nombres jusqu'à 100 et quantité de trous

0	1	2	3 & 4
1, 2, 3, 5, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33, 35, 37, 51, 52, 53, 55, 57, 71, 72, 73, 75, 77,	0, 4, 6, 9, 10, 14, 16, 19, 20, 24, 26, 29, 30, 34, 36, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 50, 54, 56, 59, 61, 62, 63, 65, 67, 70, 74, 76, 79, 91, 92, 93, 95, 97	8, 18, 28, 38, 40, 44, 46, 49, 58, 60, 64, 66, 69, 78, 81, 82, 83, 85, 87, 90, 94, 96, 99, 100	48, 68, 80, 84, 86, 89, 98 88

Commentaires

Observation souvent objet de puzzle comme celui proposé ci-contre.

La réponse est désormais évidente. Ce dernier nombre (123456) comporte deux trous (4 et 6).

Records du nombre de trous

0 → 1 trous

8 → 2 trous

48 → 3 trous

88 → 4 trous

488 → 5 trous

888 → 6 trous

4888 → 7 trous

8888 → 8 trous

48888 → 9 trous

88888 → 10 trous

488888 → 11 trous

888888 → 12 trous

4888888 → 13 trous

8888888 → 14 trous

48888888 → 15 trous

88888888 → 16 trous

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1313. P
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