NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/01/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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BRÈVES de MATHS – Page 64

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

Curiosité avec racine de fraction

Le nombre sous radical à gauche se lit: deux ET deux tiers.

1360. Factorielle de fractions
Factorielle La factorielle du nombre n est le produit de tous les nombres de 1 à n. Exemple: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 Notation gamma Les mathématiciens notent aussi les factorielles avec la lettre grecque gamma et … plus 1. Exemple: 4! = Γ(5) = 1 × 2 × 3 × 4 = 24		Factorielle de fraction Cette notation en gamma n'est pas gratuite, elle permet le calcul de la "factorielle" de nombres fractionnaires. Exemple proche de factorielle 4
Brèves associées	>>> Multiplications originales		>>> Brèves Opérations – Index
Pour en savoir plus	>>> Fonction gamma		>>> Factorielles – Index

1361. Racines étonnantes
Un calcul simple, réalisable de tête (9² + 19 = 81 + 19 = 100 et sa racine est 10. Mais, il est généralisable à de grands nombres. Exemple 9999² + 19999 = 100 000 000 = 10 000² Problème présenté aux Olympiades de Singapour
Brèves associées	>>> 12 345 679 – Nombre de Carroll		>>> Brèves Nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Calculs avec des racines		>>> Nombre 10 000

1362. Calcul de a² + b²

Calculer	a² + b²	= ?
Sachant que	a² + 2ab – 3b²	= 41
Factorisation	(a – b)(a + 3b)	= 1 × 41
Note	(a – b) < (a + 3b)
Déduction	a -b	= 1
	a + 3b	= 41
Différence	3b + b	= 40
Solutions	b	= 10
	a	= 11
Valeur demandée	a² + b²	= 221

Brèves associées

>>> Calculer a⁵ + b⁵

>>> Brèves Calculs – Index

Pour en savoir plus

>>> Autres calculs sous conditions

>>> Défis algébriques – Index

1363. Not a Number (NaN)

Un NaN est une valeur spéciale utilisée dans les calculs en virgule flottante pour représenter :

des résultats indéfinis,

des opérations mathématiquement impossibles,

des données non numériques ou invalides.

Certaines opérations donnent un résultat non définissable dans le format utilisé :

conversion d’une chaîne non numérique en nombre,

lecture d’une donnée manquante dans un tableau numérique,

analyse d’un fichier contenant des erreurs de format.

Exemples

	Indétermination
	Monde des infinis
	Sans extension complexe
log(-n)	Non défini en négatif
	Suite de Grandi

Brèves associées

>>> Nombre insignifiant

>>> Brèves Nombres – Index

Pour en savoir plus

>>> Nan – Développements

>>> Infini et zéro

1364. Deux demi-cercles
Construction Deux demi-cercles identiques, articulée par un point commun d'extrémité de diamètre. Propriété Les zones en jaune ont la même aire quel que l'angle d'inclinaison. Explication Chacun des demi-cercles est amputé de la même zone verte. Les parties restantes (jaunes) ont la même aire.
Brèves associées	>>> Demi-cercle dans le triangle isocèle		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Deux demi-cercles à 15°		>>> Défis géométriques

1365. Nombres et carrés
Nombre = Somme de deux carrés Théorème: un nombre est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 a un exposant pair.		Nombre = Différence de deux carrés Tout nombre impair est différence de deux carrés. Tout nombre divisible par 4 est différence de deux carrés. Tout nombre pair non divisible par 4 n'est pas différence de deux carrés.
Tableau des nombres n de 1 à 50 montrant ceux qui sont sommes (S) ou différences (D) de deux carrés X pour les nombres égaux à 2 mod 4 qui ne sont jamais différence de deux carrés. Note importante: ce tableau exclut les termes a et b égaux à 0 ou 1 pour éviter les cas triviaux Néanmoins: le cas de 3 doit être noté car 3 = 2² – 1² Recherche des termes pour la différence de carrés: n = a² – b² = (a – b) (a + b). Par exemple pour n = 3, on choisira n = 1 × 3 avec a – b = 1 et a + b = 3, soit a = 2 et b = 1.
Brèves associées	>>> Somme des carrés		>>> Brèves Arithmétique – Index
Pour en savoir plus	>>> Somme de deux carrés		>>> Nombres carrés

1366. Trajectoire de la Lune
Contre-intuitif … Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire de la Lune n'est pas le festonnage de gauche (Voir Illustration), ni même l'ondulation perceptible du milieu, mais elle se confond quasiment avec celle de le Terre. Phénomène dû au fait que les orbites Soleil-Terre et Terre-Lune sont très différentes (rapport d'environ 400). La trajectoire de la Lune est représentée sur le zoom (rouge). Elle croise légèrement celle de la Terre environ 13 fois dans l'année. Sur cette trajectoire la vitesse de la Lune par rapport au Soleil varie entre 103% et 97% de la vitesse de la Terre par rapport au Soleil. Notez que, comme la vitesse de la Lune autour du Soleil n'est jamais négative, il n'y a pas de mouvement de rétrogradation de la Lune dans le référentiel du Soleil. Représentation de la trajectoire héliocentrique de la lune
Brèves associées	>>> Sens horaire et course du soleil	>>> Brèves Astronomie – Index
Pour en savoir plus	>>> Trajectoire de la Lune	>>> Lune

1367. Deux cercles dans un rectangle
Construction Un rectangle dont les côtés mesurent L et 2R. Deux cercles de rayon R et r, tangents entre eux et, chacun avec les côtés du rectangle. Propriété 1 La longueur du rectangle est reliée très simplement aux rayons des cercles: Propriété 2 La longueur t des segments de tangentes issues du même point sont égales. Cette longueur est reliée très simplement aux rayons des cercles:
Brèves associées	>>> Rectangle et triangle rectangle		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Rectangle et deux cercles (démo)		>>> Rectangle et deux cercles (suite)

1368. Pi vu par Ramanujan
Srinivasa Ramanujan, mathématicien indien autodidacte et génial, a marqué l’histoire des mathématiques par son intuition exceptionnelle et ses formules audacieuses. Son héritage rappelle comment la créativité pure peut transcender les frontières des connaissances établies, faisant de π bien plus qu’un simple nombre : une porte d’entrée vers l’infini.			Parmi ses contributions les plus célèbres figure une série infinie pour calculer π, révélatrice de son talent unique pour les identités complexes. Ramanujan a développé cette formule en combinant des intégrales elliptiques et des fonctions modulaires, des domaines qu’il maîtrisait avec une virtuosité inégalée. Son travail a ouvert la voie à des algorithmes modernes de calcul de π, utilisés aujourd’hui dans les supercalculateurs.
L’une de ses formules les plus fascinantes, découverte en 1910, s’écrit Cette série converge extrêmement rapidement : chaque terme ajoute environ 8 chiffres décimaux exacts à l’approximation de π. Par exemple, avec seulement k = 0, on obtient déjà une valeur de π précise à 6 décimales.
Brèves associées	>>> Constante Pi – Formules			>>> Brèves Nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Formules de Ramanujan pour Pi			>>> Constante Pi

1369. Décimales de Pi
Somme des 20 premières décimales de 𝛑 (Pi): 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 5 + 3 + 5 + 8 + 9 + 7 + 9 + 3 + 2 + 3 + 8 + 4 + 6 = 100 Le tableau présente la quantité nécessaire de décimales pour atteindre la somme indiquée.
Brèves associées	>>> Constante Pi – Formules		>>> Brèves Constantes – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombre 100		>>> Constante Pi

1370. Étoile à cinq branches
Compter les triangles de toutes sortes dans l'étoile à cinq branches. Il n'est pas si évident de repérer les cinq grands triangles verts. Effectivement le total est 10.
Brèves associées	>>> Points dans le carré		>>> Brèves Dénombrement – Index
Pour en savoir plus	>>> Pentagone et étoile à cinq branches		>>> Compter les triangles

1371. Suite de Ratchinski
Problème Au tableau est inscrit un calcul que les élèves doivent absolument parvenir à résoudre : Solution Avec identités remarquables
Brèves associées	>>> Identité de Brahmagupta	>>> Brèves Identités – Index
Pour en savoir plus	>>> Carrés et puissances de consécutifs	>>> Consécutifs – Index

1372. Rectangles dans le rectangle
Aire du rectangle en bas à gauche ?		Solution: suivre le parcours en rouge
Brèves associées	>>> Aire du rectangle dans le triangle		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Énigmes sur les rectangles		>>> Défis en géométrie

1373. Kitano
Jeux de chiffres Il existe plusieurs jeux consistant à atteindre un nombre donné avec un jeu donné de chiffres et en mettant en œuvre les opérations arithmétiques courantes. Le plus connu est sans doute le jeu du quatre "4". Un autre consiste à utiliser tous les chiffres dans l'ordre pour atteindre le maximum de nombres entiers. Kitano Le Kitano dérive de ce dernier avec la contrainte d'utiliser les chiffres de 1 à k avec k le plus petit possible. À l'origine le défi consistait à atteindre le numéro de l'année en cours. Décennie 2020 Le tableau donne les solutions pour la décennie en cours (en fait de 2020 à 2030).		Exemples
Brèves associées	>>> Quatre 4 – Jeu		>>> Brèves Jeux – Index
Pour en savoir plus	>>> Kitano >>> Jeu du quatre "4"		>>> Nombre 2026 >>> Année 2026

1374. Tiers et triangle équilatéral
Représentation géométrique de la série d'Archimède dans un triangle équilatéral. Chaque triangle jaune est inscrit dans un triangle équilatéral et en occupe exactement le quart de l’aire. En observant la figure formée par l’ensemble des triangles jaunes, on constate qu’elle peut être reproduite trois fois par basculement haut-bas et translation de chaque petit triangle. Ces trois copies, placées sur le grand triangle, sans chevauchement, reconstituent entièrement ce grand triangle. Ainsi, chaque copie représente exactement un tiers de son aire. Moralité: comment transformer des quarts en tiers.
Brèves associées	>>> Tiers et somme des impairs		>>> Brèves Nombres – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombre 0,333… = 1/3		>>> Triangle équilatéral

1375. Dallage et Pythagore
Le théorème de Pythagore était connu depuis des siècles. Les égyptiens utilisaient une corde à nœuds (3, 4, 5) formant un triangle rectangle. On dit que Pythagore aurait eu l'idée de formuler son théorème en observant cette forme de dallage au sol dans un palais. Compter les triangles blancs et les triangles jaunes: il y en a autant dans le grand carré oblique que dans les deux plus petits carrés réunis.
Brèves associées	>>> Théorème de la carpette		>>> Brèves Géométrie – Index
Pour en savoir plus	>>> Théorème de Pythagore		>>> Triangles

1376. Somme de carrés et produit a² + b² + c² + d² = abcd
Table de six cas. Je ne connais que des cas avec a = b = 2 Et dans ces cas, il y a une infinité de solutions. On déduit la suivante en faisant: c = d et d = 4d – c (Voir démo) Mais la formule itérative n'atteint pas tous les cas possibles.		Relation entre ces nombres – Démonstration
Brèves associées	>>> Carré et cubes – Belle égalité		>>> Brèves Relations – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombre 528		>>> Nombres carrés

1377. Magie et Fibonacci
Construction du tableau Choisir deux nombres (5 et 2) Construire le tableau avec ces deux nombres en tête. Poursuivre à la façon Fibonacci en posant le nombre suivant comme la somme des deux précédents. Stop à l ligne 10. Propriété 1 La division du 10^e terme par le 9^e produit un nombre qui commence toujours par 1,61 quels que soient les deux premiers nombres. Pas de miracle, en poursuivant la séquence, cette fraction va tendre vers le nombre d'or. Propriété 2 La somme des dix nombres du tableau est égale à onze fois la 7^e ligne: 451 = 11 × 41. Propriété générale des nombres de Fibonacci, même étendus à des nombres quelconques au départ.
Brèves associées	>>> Magie avec des verres à pied		>>> Brèves Magie – Index
Pour en savoir plus	>>> Nombres de Fibonacci		>>> Itérations – Index

1378. Sommes de consécutifs et 2^k
Propriété Tous les nombres entiers sont somme d'entiers consécutifs sauf les puissances 2. Théorème Un nombre est la somme d'entiers consécutifs si et seulement s'il n'est pas une puissance de 2. Cette propriété est directement liée à la présence ou non de facteurs impairs dans sa décomposition. Un entier est somme d’entiers consécutifs si et seulement s’il possède un diviseur impair supérieur à 1. Or… les seules valeurs qui n’ont aucun diviseur impair > 1 sont les puissances de 2. Records Record de quantité de partitions pour un nombre: (3, 1), (9, 2), (15, 3), (45, 5), (105, 7), … Ainsi, il existe 7 partions du nombre 105 en somme de consécutifs. Les quantités record sont aussi les nombres hautement composés impairs.		Le nombre 9 peut être exprimé par deux sommes de nombres consécutifs. C'est le plus petit (record). Le suivant est 15 avec trois possibilités de telles partitions
Brèves associées	>>> Partitions du nombre 200		>>> Brèves Théorie des Nbs – Index
Pour en savoir plus	>>> Partition en nombres consécutifs		>>> Nombres consécutifs

1379. Chiffres et puissances

Sommes de puissances consécutives à partir de 1

89 =	8^1 + 9^2	Ils sont seulement dix à partager cette propriété, hors les nombres de 0 à 9 (trivial). Voir Autre table OEIS A032799
135 =	1^1 + 3^2 + 5^3
175 =	1^1 + 7^2 + 5^3
518 =	5^1 + 1^2 + 8^3
598 =	5^1 + 9^2 + 8^3
1 306 =	1^1 + 3^2 + 0^3 + 6^4
1 676 =	1^1 + 6^2 + 7^3 + 6^4
2 427 =	2^1 + 4^2 + 2^3 + 7^4
2 646 798 =	2^1 + 6^2 + 4^3 + 6^4 + 7^5 + 9^6 + 8^7
12 157 692 622 039 623 539 =	1^1 + 2^2 + 1^3 + 5^4 + 7^5 + 6^6 + 9^7 + 2^8 + 6^9 + 2^10 + 2^11 + 0^12 + 3^13 + 9^14 + 6^15 + 2^16 + 3^17 + 5^18 + 3^19 + 9^20

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>>> Cubes: 3³ + 4³ + 5³ = 6³

>>> Brèves Motifs – Index

Pour en savoir plus

>>> Somme des puissances des chiffres

>>> Nombres et motifs – Index

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