Relation des deux cercles dans le rectangle

Édition du: 28/03/2026

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		Triangles dans triangle	Trois cercle et rectangle

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Deux cercles dans un rectangle

Deux cercles tangents et chacun tangents aux côtés d'un rectangle. Trouver la relation simple entre la longueur d'un côté et les rayons des cercles.

Sommaire de cette page

>>> Relation entre rectangle et deux cercles

>>> Explication de la démarche

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Relation entre rectangle et deux cercles		haut
Construction Un rectangle dont l'un des côtés mesure L = 25 cm. Deux cercles tangents entre eux et, chacun avec les côtés du rectangle: R = 9 cm et r = 4 cm Montrer que: Vérification numérique : 5 = 3 + 2 Notez que ces trois carrés (25, 9 et 4 présentent une similitude avec le célèbre triplet de Pythagore 25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3². Piste : Les tangentes KF = KJ = x et KJ = KG = x La distance horizontale intercentre FG = 2x La longueur AB = L = R + 2x + r Dans le trapèze rectangle, et avec le théorème de Pythagore, on peut calculer FG² = (2x)² = 4x² comme fonction de R et r. Avec ces pistes, on peut procéder au calcul. Pour finir les calculs, il faudra noter que l'expression obtenue pour L² peut se factoriser en un carré à deux reprises successives (Voir Démarche).	Figure initiale Figure annotée
Calculs

Voir Brève 64-1367

Explication de la démarche

haut

Lorsqu'on parle de tangentes, immédiatement on pense au théorème des longueurs des tangentes issues d'un même point: Les segments rouges ont la même longueur x.

Une piste, car désormais on connait L en fonction de R, r et x:

L = R + x + x + r

Autre propriété des tangentes: le rayon au point de tangence est perpendiculaire à la tangente (deux petits carrés sur la figure).

De sorte qu'il est possible de dessiner le triangle rectangle jaune et y appliquer le théorème de Pythagore. Les trois côtés sont connus: 2x; R – r; R + r. Cette opération permet de connaitre x en fonction de R et r, laquelle s'avère être simplement: x = √(Rr).

Nous tenons une piste. Comment la relier à la formule à trouver. En remontant de √L à L puis L².