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Les nombres CARRÉS ou LOSANGES Ces nombres sont carrés car ils peuvent être
arrangés en une figure géométrique carrée ou losange. Ils sont aussi la mesure de l'aire d'un carré géométrique. |
Angl
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Rébus: K Ré
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Voir Pensées
& humour / Jeux / Musique
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Carrés |
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Losange |
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Dernier
nombre du carré disposé dans un carré géométrique.
Diagonale
de la table de multiplication
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Divisibilité Un nombre pair au carré est divisible par 4. Un nombre impair au carré, moins 1, est divisible par 4. Pair² = 4k
& Impair² = 4k + 1 Partition Un nombre carré est égal au
précédent plus son gnomon. Les carrés de deux nombres
successifs sont séparés de la somme de ces deux nombres. (n+1)² = (n)² + (n) + (n+1) Voir Écarts entre carrés Un nombre carré Sn est égal à la somme des n premiers nombres impairs. Voir Somme impairs Un nombre carré est égal à la
somme de deux triangulaires: son homologue et le précédent. Un nombre différence de deux
carrés est un nombre composé: N = a²- b² = (a–b) (a+b) Sauf dans le
cas où b = a+1, auquel cas cette différence est un nombre impair,
éventuellement premier. La différence entre carrés n'est
jamais 2 (2k + 1). Un nombre carré est égal à huit fois un triangulaire plus 1. Un nombre carré peut toujours
s'écrire sous la forme de la somme des résultats des quatre opérations sur
deux nombres: C = (a+b) + (a-b) + (a.b) + (a/b) Voir Quatrops La somme de k+1 consécutifs
commençant par k² est égale à la somme de k suivants. Voir ce
théorème |
Le carré d'un multiple de 3 est
en 3k (colonne de gauche); tous les autres sont en 3k + 1 (colonne centrale du
tableau).
Consécutifs 4 + 5 + 6 = 7 + 8 = 15 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 = 42 |
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Fonction génératrice des
nombres carrés
Voir Celle des nombres
triangulaires / Fonctions
génératrices des polygonaux |
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Voir Introduction aux
nombres carrés / Explications et
démonstrations / Différence
/ Énigme des diamants
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Factorisation Un nombre carré se factorise en
un nombre pair de facteurs premiers. Divisibilité Tous les carrés sont des
multiples de 5 ou des multiples de 5 Le carré d'un nombre pair est divisible par 4. Tout carré divisé par 8 donne un reste de 0, 1 ou 4. Le carré d'un nombre impair, divisé par 8, laisse un reste de 1. Une fraction irréductible le
reste lorsqu'elle est élevée au carré. Deux
nombres étrangers non pas plus de
diviseurs communs lorsqu'ils sont élevés à une puissance. Exemple: (3 /
5)² = 9 / 15 |
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Ils sont
tous de la forme:
C'est
une règle générale:
Exemples: 45
= 322 = 1 024 95 = 2422 = 59
049 47 = 1282 =
16 384 Illustration
Le
nombre 8 est égal à la racine carrée d'un cube ou encore à la puissance 3/2
d'un nombre. Même chose pour tous les cubes. |
Suite = liste des carrés portés au cube Comme 484 = 22², le suivant sera 23² = 529. Liste
des carrés successifs: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625,
676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521,
1600, 1681, 1764, 1849, 1936 … |
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Somme
de carrés Tout nombre est la somme d'au
plus quatre
carrés. Un nombre est la somme de deux
carrés si aucun de
ses facteurs +1 n'est divisible par 4. |
Voir Somme de carrés
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Carré
moyenne de deux carrés Les
premières valeurs
Il y a 37 telles égalités jusqu'à c² = 10 000. La 37e étant:
Explications Ce sont des nombres tels que: 2c² = n² + m²
ou encore 4c² =
(m – n)² + (m + n)² De sorte que chacune des égalités peut en engendrer une autre:
Une alternance de fractions avec des termes qui doublent au
numérateur et des puissances de 2 successives au dénominateur. Forme
générique du motif répétitif
Note Cette relation est importante dans l'analyse des carrés magiques
de nombres carrés 3x3 où la somme des sommets opposés vaut deux fois le
nombre central: x² + y² = 2 z². >>> |
Voir Équations diophantiennes/
Triplets de Pythagore
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ÉCART Nombres quelconques: l'écart
entre les carrés de deux nombres est égal au produit de leur somme et de leur
différence. E = m² - n² = (m – n) (m + n) Deux nombres consécutifs: l'écart
entre leurs carrés est un nombre impair. E = m² – (m – 1)² = m + (m – 1) = 2m – 1 PROGRESSION Nombres sur une pandiagonale: (m² – k²) et (n² – k²): l'écart entre ces
deux valeurs est indépendante de m et de n; elle est
égale au double du produit de la différence j = m – n par le numéro de la pandiagonale k (ou h). E = (m – k)² – (n –
k)² = 2 (m – n) k Nombres quelconques: E = (m²– k²) et (n² – k²) = (h – k)(h + k – 2m) + 2(m – n) h |
Voir Différence de carrés
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Carré
au carré L'élévation au carré conserve la parité: pair²
=> pair; impair² => impair. En effet: (2k)² =
4k² (2k +
1)² = 4k² + k + 1 |
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Répartition Dans [ n , 2n ], il y a
toujours un carré pour n >
1 . Exemples [ 2 , 4 ] 4 [ 3 , 6 ] 4 [ 4 , 8 ] 4 [ 5 , 10 ] 9 [ 6 , 12] 9 [ 7 , 14 ] 9 [ 8 , 16 ] 9, 16 [ 9 , 18 ] 9, 16 [ 10 , 20 ] 16…
Un nombre est la somme de deux
carrés si aucun de
ses facteurs +1 n'est divisible par 4. Ils sont de plus en plus rares lorsque les nombres
sont de plus en plus grands. |
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Progression Aucune suite de quatre carrés
n'est en Si trois nombres carrés sont en progression arithmétique,
la raison d'une telle suite ne
peut pas être elle aussi un nombre carré. |
Voir Autres propriétés des carrés
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Quels sont les quatre plus petits nombres tels que
leur somme est un carré et toutes les sommes deux à deux sont des carrés?
La somme de tous ces nombres est également un
carré. Logique car quatre fois la somme 130² soit 2² x 130² = (2 x 130)². |
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P4 = n² = { 1, 4, 9, 16, 25
… } Un carré est un nombre polygonal d'ordre 4. Attention à la notation: elle n'est utilisée qu'en
mathématique supérieure lors de généralisations. Voir Carrés
des nombres de 1 à 199 Carrés
et triangulaires
Tn nombre triangulaire d'ordre n = {1,
3, 6, 10, 15 …} Un carré est somme
de deux triangulaires successifs ou encore le double d'un triangulaire plus
un nombre. Exemples sur les premiers nombres |
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Voir Somme des impairs
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En jaune les carrés et leur position sur les colonnes
de même résidu modulo 5. Ainsi 5²
= 25 = 0 mod 5 4²
= 16 = 1 mod 5 etc. Façon un peu sophistiquée de dire que
5² est divisible par 5 ou que 4² donne un reste de 1 par la même division. |
On cherche à classer les carrés selon
le reste de la division par n. Les carrés 4 et 9 ont même résidu en mod 5. |
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Suite sur les résidus quadratiques
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Suite |
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Nombres géométriques |
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Voir |
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