nombres géométriques - nombres triangulaires

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NOMBRES TRIANGLES

La suite des nombres consécutifs présente de l'intérêt:

soit en sommes :
les nombres triangulaires;

soit en produits :
les factorielles.

Conjecturé par Fermat en 1638

Démontré par Gauss 10 juillet 1796

Anglais: Triangular number

Devinette

Dans la salle du bar, on fête un anniversaire. Attentif, j'écoute et compte quarante-cinq tintements. Combien de personnes à cet anniversaire?

Solution

APPROCHE

Combien de pions faut-il empiler pour former un triangle équilatéral?

Sur cet exemple: avec une base de 3, il en faut 2 puis 1 de plus; au total: 1 + 2 + 3 = 6

Un nombre triangulaire d'ordre n est la somme de tous les nombres consécutifs de 1 à n.

Nombres triangulaires

Les premiers en images

Les premiers triangulaires en chiffres

Voir Calcul de la somme des entiers

Nombres triangulaires,

carrés et produits des nombres successifs

Voir Table / Suite originale

Les dix premiers nombres triangulaires

Triangulaires et carrés

La somme de deux triangulaires successifs est un carré.

FORMULE DE CALCUL et remarques

T_n = ½ (n + 1) n = ½ (n² + n)

T_n-1 = ½ (n - 1) n = ½ (n² - n)

Voir Démonstration

· Les nombres en n (n + 1) sont appelés proniques.

Parmi les deux nombres, l'un est pair et, le produit est pair.
La moitié de ce nombre, un nombre triangulaire, est donc bien un nombre entier.

· Aucun nombre triangulaire, sauf 3, n'est premier

En effet, parmi les deux facteurs n et n+1, l'un d'eux est pair (disons: 2k) et c'est lui qui est divisé par 2 pour donner:

Dans l'un ou l'autre cas, T_n est un nombre composé à deux facteurs.

· Un triangulaire sur deux est hexagonal.

· La somme des triangulaires donne un nombre tétraédrique.

La formule de calcul des tétraédraux est en n (n + 1) (n + 2).

· Un nombre triangulaire ne se termine jamais par 2, 4, 7, 9.

Curiosités

258 474 216

= ½ 22 736 x 22 737

= 636 x 637 x 638

· Le plus grand triangulaire produit de trois nombres consécutifs.

T_{26 62} = 354 4 453

· Nombre triangulaire palindrome dont l'indice est lui-même palindrome (exemple).

Triangulaires et nombre 6

· Présence du nombre 6 dans ces trois nombres triangulaires

· Notez que 6 x 6 x 6 = 6³ = 216, terminé par un 6 comme toutes les puissances de 6.

Carrés en fonction des triangulaires

· Voici une manière originale de présenter les carrés en fonction des nombres triangulaires.

· Elle résulte de la relation:

n² = T_{n – 1} + T_n

· Soit pour le suivant:

n² = T_{n + 1 +}T_{n – 1} + n

n² = 2T_n + n

· Sur ce tableau,

· la valeur de n est présentée en horizontal par cumul de la valeur 1,

· le nombre triangulaire T_n est obtenu par cumul des valeurs dans le triangle, et

· le facteur 2 est obtenu en plaçant ce 2 dans chaque case du triangle.

Le carré de 3 est 9. Il est obtenu par la somme des nombres dans le triangle: 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2. C'est, en fait, le nombre 3 additionné du nombre triangulaire précédent (le triangle des 2 est décalé d'un cran), doublé.

Devinette – Solution

Énigme

Dans la salle du bar, on fête un anniversaire. Attentif, j'écoute et compte quarante-cinq tintements. Combien de personnes à cet anniversaire?

Solution

Supposons quatre convives. Le premier trinque avec les trois autres. Le deuxième avec les deux qui restent. Le troisième avec le quatrième qui reste. Soit 3 + 2 + 1 = 6.

La quantité de tintements est un nombre triangulaire. Le nombre 45 est le neuvième. Il y a dix convives.

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

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