|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Théorème de Nicomaque Un
mariage des carrés et des cubes. Avec
les nombres successifs. Exemple
C'est
particulièrement joli ! Et ce n'est pas fini … C'est
la somme des nombres de notre table de multiplication. C'est
la quantité de rectangles
dans une grille 9×9. La
formule de
Faulhaber est une généralisation de cette formule. |
Voir Carré = Somme de cubes / Somme de cubes consécutifs / Nicomaque
Liste, programme et applications
|
Liste des
nombres (∑n)²
= ∑n3 T² = ∑n3 |
1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281,
11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000,
105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721,
354025, 396900, 443556, 494209, 549081, 608400, 672400, 741321, 815409,
894916, 980100, 1071225, 1168561, 1272384, 1382976, 1500625, 1625625… Notes:
Aucun cube parmi ces nombres sauf 0 et 1 La somme des entiers
successifs est un nombre triangulaire. |
|
Programmes
Maple |
Version simple L := []; for n to 5 do S := add(i^3, i = 1 .. n); L :=
[op(L), S] end do; L; [1, 9, 36, 100, 225] Version avancée a := proc (n) options operator, arrow;
(1/4)*n^2*(n+1)^2 end proc; seq(a(n),
n = 0 .. 5); 0, 1, 9, 36, 100, 225 |
|
Applications
|
|
|
Somme cube
= carré somme nombre
Cube =
différence de carrés
|
13 + 23 + 33
= (1 + 2 + 3)2 36 = 6² 33 = (1 + 2 + 3)² – (13
+ 23) 27 = 36 – 9 |
|
Écriture
informatique (Mapple)
Python n = 10
# Avec Python la borne supérieure
"déborde" => n + 1 somme_entiers = sum(range(1,n+1)) somme_cubes = sum(k**3 for k in range(1, n+1)) print("somme
des entiers:", somme_entiers) print("Somme
des cubes :", somme_cubes, somme_entiers**2) somme des entiers: 55 Somme des cubes : 3025 3025 |
|
|
Ce
type de relations existe pour tous les cubes
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Observation
9
= 3 x 3 = 13 + 23 Volume de la tour: 1 + 23 H Surf 1 + 8 = 9 = 3² Tous les cubes se rangent dans un carré dont le
côté est égal à la hauteur de la tour. Ce cas n'est pas particulier. Il est
généralisable à toutes les tours.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Somme
cubes = carré ( 1 + 2
+ 3 + … + n )2 = 13
+ 23 + 33 + … +
n3
La somme des cubes
des nombres successifs est le carré de la somme de ces nombres Rappel (1 + 2 + 3 +
… + n ) = Somme
des entiers successifs = 1/2 n (n + 1) En
remplaçant S = ( 1 + 2 + 3 + … + n )2 =
{ 1/2 n (n + 1) }² =
1/4 { n²(n
+ 1)² } Formule
générique S = ( 1 + 2 + 3 + … + n )2 = 13
+ 23 + 33 + … +
n3 = 1/4 (n4 + 2n3 +
n2 ) = 1/4 { n² (n+1)² } = Tn2 En
résumé Carré de la somme des nombres = carré du nombre triangulaire = somme des cubes. |
|
|
|
|
|
Premier
regard sur le grand carré Calcul
de l'aire du grand carré
Second
regard sur le grand carré Calcul
de l'aire de chaque équerre
|
|
Carré = somme cubes: démonstration muette
Chaque carré-diagonale k²
est accompagné de k carrés latéraux formant le cube.
Pour k = 2 et 4, le carré
est composé de deux rectangles k x k/2
Voir Brève 591
|
Méthode d'Abu Bakr
al-Karaji (vers
1019) |
|
||||||||||||||||||||||
|
La figure
permet d'établir une formule de récurrence reliant le carré de la somme S²(n)
au carré de la somme S²(n-1) + n3. Ici: (1 + 2 + 3 + 4 +
5)² = (1 + 2 + 3 + 4)² + 53 En reprenant
la même formule pour n décroisant, on a successivement:
On pourrait, évidemment, reprendre cette forme
récurrente pour tout n. |
|
||||||||||||||||||||||
|
Cube = Différence de carrés La relation
de récurrence permet d'établir cette relation: Par exemple: 33 = (1 + 2 + 3)² – (1 + 2)² =
27 = 6² – 3² = 36 – 9 ou encore
(dernière ligne): 203 = (1+2+…+20)² – (1+2+…+19)² = 8 000 = 210² – 190² = 44 100 – 36 100 Notez que la même relation
permet de définir d'autres égalités, comme:
Ex: 43 + 33
= (1+2+3+4)² – (1+2)² = 64 + 27 = 100 – 9 = 91 Voir Exemple complet avec 216 dans l'en-tête |
|
||||||||||||||||||||||
Voir Cube =
Différence de carrés / Nombre
216 / Nombre
1000 / Brève
573/
Partition des
puissances en nombres impairs
|
|
|||
|
Valeur de la formule pour n= 1 |
|
|
|
|
13 |
= |
1² |
|
|
On suppose l'égalité exacte |
|
|
|
|
13
+ 23 + 33 + ... + n3 |
= = |
(1 + 2 + 3 + ... + n )² { n (n + 1) / 2 }² |
|
|
On ajoute (n+1)3 de chaque
côté |
|
|
|
|
13 +
23 + 33 + ... + n3 + (n+1)3 |
= = |
(n (n+1)/2)² + (n+1)3 ( (n+1) (n+2) / 2 )² Voir Détail du calcul |
|
|
On
retombe sur la formule pour n+1 |
= |
(1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) )² |
|
|
Conclusion: On a démontré que: |
si la relation est vraie pour n ,
elle l'est aussi pour n+1 |
||
|
Or, elle est vraie |
pour n = 1 |
||
|
Donc |
Elle est donc toujours vraie |
||
Voir Démonstration
par récurrence
|
|
|||
|
|
4 Sn-1 = (n
- 1)² (n)² 4 Sn = (n)²
(n + 1)² 4 Sn+1 = (n + 1)² (n + 2)² |
||
|
Choix de la formule: on imagine aisément qu'il sera
plus facile de passer de n-1 à n que de n à n+1, car dans ce dernier cas,
interviendrait (n+2) sans doute plus difficile à manipuler. |
|||
|
|
4 S1 = 1² x 2 ²
= 4
= 4 ( 13 ) 4 S2 = 2² x 3 ²
= 36 = 4 ( 13 + 23 ) |
||
|
|
4 Sn = 4 (Sn-1 + n3
) |
= (n - 1)² (n)² + 4n3 |
|
|
Et apparaît la formule en Sn CQFD |
|
= (n - 1)² (n)² + 4n . n² = (n² - 2n + 1 – 4n ) n² = (n + 1)² n² |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
… du carré de la somme des entiers
successifs, et par là-même de
la somme des cubes des entiers successifs Exemples de lecture Dizaines 0 et Unités 3 => S3 = 13 + 23 + 33 = 36
= (1 + 2 + 3)2 Dizaines 1 et Unités 3 => S13 = 13 + 23
+ … + 133 = 8 281 = (1 + 2 + … + 13)2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||
|
Nombres
consécutifs de 1 à n |
Toujours égalité comme vu ci-dessus |
(1 + 2)2 = 13 + 23
= 9 |
|
|
Nombres
consécutifs de k à n |
Aucune égalité |
(3 + 4 + 5)2 = 289 alors que 33 + 43 + 53 = 216 |
|
|
Quantité de termes
différente avec même nombre de départ |
Aucune égalité connue |
(3 + 4)2 = 49 alors que 33 + 43 + 53 = 216 |
|
|
Quantité de
termes différente avec nombre de départ différents |
Infinité d'égalités avec souvent plusieurs formes
du carré |
(4 + 5 + … + 20)2 = (22 + 23 + … + 29)2 = (67 + 68 + 69)2 = 233 + 243 +253
= 41 616 Suite sur tableau
ci-dessous |
|
|
Carré
de somme de consécutifs = somme de
cubes consécutifs |
|
|
Égalité
recherchée S
= (n + n+1 + … + n+k)2 = m3 +
(m+1)3 +…+ (m+h)3 Exemple de
lecture S
= 41 616 = 2042 = (4 + 5 + … + 20)2 = (22 + 23 + …
+ 29)2 = (67 + 68 + 69)2 =
233 + 243 +253 Table pour
n, k, m, h jusqu'à 100
|
|
DicoNombre: 204/ 312 / 315 / 323 / 504
Merci à
Soufiane D.O.
|
|
|||
|
On lâche la
contrainte en cherchant des sommes avec de nombres parmi les nombres de 1 à n. Les
solutions sont en nombre infini. |
|
||
|
Exemples |
9 = 3² = 13
+ 23 36 = 6² = (1+5)² = (2+4)² = (1+2+3)² = 13 + 23 + 33 64 = 8² = (1+7)² =
(2+6)² = (3+5)² = (1+2+5)² = (1+3+4)² = 43 |
||
|
Explications |
Cas général: somme des cubes consécutifs = carré Pour toutes
les sommes S des cubes de 1 à n consécutifs, on aura un carré n² de la somme
des mêmes nombres (propriétés vue ci-dessus, notée
en rouge)). Toutes les
partitions de n avec nombres distincts sont également éligibles (notées en
bleu) Cas particulier: somme de nombres au cube = carré Il existe
des cas de nombres carrés avec un cube (comme 4) ou une somme de cubes (comme
13 + 23 + 43 + 63 = 289 = 17²). Toutes les
partitions de la racine carrée avec nombres distincts sont éligibles. Exemple pour 289 = 17² 17²
= (7+10)² = (8+9)² = (1+6+10)² = (1+7+9)² = (2+5+10)² = (2+6+9)² ) = (2+7+8)²
= (3+4+10)² = (3+5+9)² = 3+6+8)² =
(4+5+8)² = (4+6+7)² |
||
|
Table En jaune les cas
réguliers de sommes de cubes consécutifs (= un carré) Les autres, cas où une
somme de cubes non-consécutif est égale à un carré. Exemples de lecture 13 + 23
= 9 = 3² 43 + 83
= 576 = 24² Rappel Toutes les partitions en
nombres distincts (ou non) de la racine carrée conduit à l'égalité: carré de
somme = somme des cubes. |
|
||
Autres
recherches
|
|
|
|
Égalité
recherchée S
= (n + n+1 + … + n+k)3 = m2 +
(m+1)2 +…+ (m+h)2 Exemple de
lecture S
= 103 823 = 473 =
(23 + 24)3 = 222 + 232 + … + 682 Table pour
n, k, m, h jusqu'à 100
|
|
|
|
|
|
Égalité
recherchée S
= (n + n+1 + … + n+k)2 = m2 +
(m+1)2 +…+ (m+h)2 Exemple de
lecture S
= 5 929 = 772 =
(8 + 9 + … + 14)3 = 182 + 192 + … + 282
Table pour
n, k, m, h jusqu'à 100
|
|
DicoNombre: 77
|
|
|
|
Égalité
recherchée S
= (n + n+1 + … + n+k)3 = m3 +
(m+1)3 +…+ (m+h)3 Exemple de
lecture S
= 8 0000 = 203 =
(2 + 3 + … + 6)3 = 113 + 123 + 133
+ 143 Table pour
n, k, m, h jusqu'à 100
|
|
DicoNombre: 20
|
Retour |
|
|
Suite |
|
|
Tables |
|
|
Voir |
|
|
Sites |
|
|
Cette page |
