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Édition du: 01/04/2026 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Partitions Partitions – Théorie Jeux avec les nombres	Partitions particulières
	Cubes	Trois cubes	Impairs	Distincts = Impairs
		Th. de Richert	Puissances en impairs

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Partition des puissances en nombres impairs consécutifs Établissement d'une formule générale de partitions des puissances des nombres en nombres impairs.
	Sommaire de cette page >>> Relation entre CUBES ET CARRÉS >>> Partition du CUBE en ENTIERS IMPAIRS >>> Puissance k – Une première généralisation >>> Généralisation : Partition des puissances en impairs >>> TABLES	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Relation entre CUBES ET CARRÉS			haut
Notations On pose
Cas du cube On retrouve une identité remarquable connue.	n^3 = n^2 · n = (a + b)(a – b) = a² – b²
Exemples numériques C’est la méthode d’Abu Bakr al-Karaji Tout nombre au cube est la différence de deux carrés.

Partition du CUBE en ENTIERS IMPAIRS consécutifs			haut
Partition d'un carré en nombres impairs	n²	= 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)
Formule du cube Vue ci-dessus (jaune) en remplaçant les carrés par leur partition en impairs	n^3
La partie du début s'élimine:	n^3	= (n² - n + 1) + (n² - n – 3) + … + (n² + n – 1)
Exemples Autant de termes que le dit le nombre (5 pour 5 au cube).	3^3 5^3 10^3 100^3	= 7 + 9 + 11 = 21 + 23 + 25 +27 + 29 = 91 + 93 + 95 + 97 + 99+ … + 109 = 9901 + 9902 + … 10099

Puissance k – Une première généralisation			haut
Formule générale Puissance k de n suivie de n.	n^k+1
Exemples	3^4 3^5 4^4 4^5	= (30 /2)² – (24/2)² = 15² – 12² = (84 /2)² – (78/2)² = 42² – 39² = (68 /2)² – (60/2)² = 34² – 30² = (260 /2)² – (252/2)² = 130² – 126²
Formule de la partition	n^k+1	= (n^k - n + 1) + (n^k - n – 3) + … + (n^k + n – 1)
Exemples	3^4 3^5 4^4 4^5	= 25 + 27 + 29 = 79 + 81 + 83 = 61 + 63 + 65 + 67 = 253 + 255 + 257 + 259

Généralisation : Partition des puissances en impairs consécutifs Formule de Sanchez			haut
Formule générale La somme comporte n^jtermes.
Exemples	3^7	= (3^6 – 3 + 1) + … + (3^6 + 3 + 1) = 727 + 729 + 731 = (3^5 – 3² + 1) + … + (3^5 + 3² + 1) = 235 + 237 + … + 251 = (3^4 – 3^3 + 1) + … + (3^4 + 3^3 + 1) = 55 + 57 + … + 107
Avec les calculs pour ces deux premiers cas	4^5	= (4^4 – 4^2 + 1) + … + (4^4 + 4^2 + 1) = 253 + 255 + 257 + 259 = (4^3 – 4^2 + 1) + … + (4^3 + 4^2 + 1) = 49 + 51 + … + 79
On donne le premier terme et le dernier terme, sachant que les autres sont les impairs consécutifs.	4^10	= 262141 + … + 262147 (j = 1; 4 termes) = 65521 + … + 65551 (j = 2; 16 termes) = 16321 + … + 16447 (j = 3; 64 termes) = 3841 + … + 4351 (j = 4; 256 termes) = 1 + … + 2047 (j = 5; 1024 termes; départ 1) = -3839 + … + 4351 (j = 6; 4096 termes; départ négatif)
	5^5	= 621 + … + 629 (j = 1; 5 termes) = 101 + … + 149 (j = 2; 25 termes) = -99 + … + 149 (j = 3; 125 termes)

TABLES

Cube = différence de deux carrés

A²	–B²	= N^3	= Cube	= Carré	–Carré
1	0	1	1	1	0
3	1	2	8	9	1
6	3	3	27	36	9
10	6	4	64	100	36
15	10	5	125	225	100
21	15	6	216	441	225
28	21	7	343	784	441
36	28	8	512	1296	784
45	36	9	729	2025	1296
55	45	10	1000	3025	2025
66	55	11	1331	4356	3025
78	66	12	1728	6084	4356
91	78	13	2197	8281	6084
105	91	14	2744	11025	8281
120	105	15	3375	14400	11025
136	120	16	4096	18496	14400
153	136	17	4913	23409	18496
171	153	18	5832	29241	23409
190	171	19	6859	36100	29241
210	190	20	8000	44100	36100
231	210	21	9261	53361	44100
253	231	22	10648	64009	53361
276	253	23	12167	76176	64009
300	276	24	13824	90000	76176
325	300	25	15625	105625	90000
351	325	26	17576	123201	105625
378	351	27	19683	142884	123201
406	378	28	21952	164836	142884
435	406	29	24389	189225	164836
465	435	30	27000	216225	189225
496	465	31	29791	246016	216225
528	496	32	32768	278784	246016
561	528	33	35937	314721	278784
595	561	34	39304	354025	314721
630	595	35	42875	396900	354025
666	630	36	46656	443556	396900
703	666	37	50653	494209	443556
741	703	38	54872	549081	494209
780	741	39	59319	608400	549081
820	780	40	64000	672400	608400
861	820	41	68921	741321	672400
903	861	42	74088	815409	741321
946	903	43	79507	894916	815409
990	946	44	85184	980100	894916
1035	990	45	91125	1071225	980100
1081	1035	46	97336	1168561	1071225
1128	1081	47	103823	1272384	1168561
1176	1128	48	110592	1382976	1272384
1225	1176	49	117649	1500625	1382976
1275	1225	50	125000	1625625	1500625
1326	1275	51	132651	1758276	1625625
1378	1326	52	140608	1898884	1758276
1431	1378	53	148877	2047761	1898884
1485	1431	54	157464	2205225	2047761
1540	1485	55	166375	2371600	2205225
1596	1540	56	175616	2547216	2371600
1653	1596	57	185193	2732409	2547216
1711	1653	58	195112	2927521	2732409
1770	1711	59	205379	3132900	2927521
1830	1770	60	216000	3348900	3132900
1891	1830	61	226981	3575881	3348900
1953	1891	62	238328	3814209	3575881
2016	1953	63	250047	4064256	3814209
2080	2016	64	262144	4326400	4064256
2145	2080	65	274625	4601025	4326400
2211	2145	66	287496	4888521	4601025
2278	2211	67	300763	5189284	4888521
2346	2278	68	314432	5503716	5189284
2415	2346	69	328509	5832225	5503716
2485	2415	70	343000	6175225	5832225
2556	2485	71	357911	6533136	6175225
2628	2556	72	373248	6906384	6533136
2701	2628	73	389017	7295401	6906384
2775	2701	74	405224	7700625	7295401
2850	2775	75	421875	8122500	7700625
2926	2850	76	438976	8561476	8122500
3003	2926	77	456533	9018009	8561476
3081	3003	78	474552	9492561	9018009
3160	3081	79	493039	9985600	9492561
3240	3160	80	512000	10497600	9985600
3321	3240	81	531441	11029041	10497600
3403	3321	82	551368	11580409	11029041
3486	3403	83	571787	12152196	11580409
3570	3486	84	592704	12744900	12152196
3655	3570	85	614125	13359025	12744900
3741	3655	86	636056	13995081	13359025
3828	3741	87	658503	14653584	13995081
3916	3828	88	681472	15335056	14653584
4005	3916	89	704969	16040025	15335056
4095	4005	90	729000	16769025	16040025
4186	4095	91	753571	17522596	16769025
4278	4186	92	778688	18301284	17522596
4371	4278	93	804357	19105641	18301284
4465	4371	94	830584	19936225	19105641
4560	4465	95	857375	20793600	19936225
4656	4560	96	884736	21678336	20793600
4753	4656	97	912673	22591009	21678336
4851	4753	98	941192	23532201	22591009
4950	4851	99	970299	24502500	23532201
5050	4950	100	1000000	25502500	24502500

Partitions des puissances 2 à 5 des nombres de 3 à 9 en impairs consécutifs

n	k	n^k	j	Début	Fin
3	^2	9	1	1	5
3	^3	27	1	7	11
3	^3	27	2	-5	11
3	^4	81	1	25	29
3	^4	81	2	1	17
3	^4	81	3	-23	29
3	^5	243	1	79	83
3	^5	243	2	19	35
3	^5	243	3	-17	35
3	^5	243	4	-77	83
4	^2	16	1	1	7
4	^3	64	1	13	19
4	^3	64	2	-11	19
4	^4	256	1	61	67
4	^4	256	2	1	31
4	^4	256	3	-59	67
4	^5	1024	1	253	259
4	^5	1024	2	49	79
4	^5	1024	3	-47	79
4	^5	1024	4	-251	259
5	^2	25	1	1	9
5	^3	125	1	21	29
5	^3	125	2	-19	29
5	^4	625	1	121	129
5	^4	625	2	1	49
5	^4	625	3	-119	129
5	^5	3125	1	621	629
5	^5	3125	2	101	149
5	^5	3125	3	-99	149
5	^5	3125	4	-619	629
6	^2	36	1	1	11
6	^3	216	1	31	41
6	^3	216	2	-29	41
6	^4	1296	1	211	221
6	^4	1296	2	1	71
6	^4	1296	3	-209	221
6	^5	7776	1	1291	1301
6	^5	7776	2	181	251
6	^5	7776	3	-179	251
6	^5	7776	4	-1289	1301
7	^2	49	1	1	13
7	^3	343	1	43	55
7	^3	343	2	-41	55
7	^4	2401	1	337	349
7	^4	2401	2	1	97
7	^4	2401	3	-335	349
7	^5	16807	1	2395	2407
7	^5	16807	2	295	391
7	^5	16807	3	-293	391
7	^5	16807	4	-2393	2407
8	^2	64	1	1	15
8	^3	512	1	57	71
8	^3	512	2	-55	71
8	^4	4096	1	505	519
8	^4	4096	2	1	127
8	^4	4096	3	-503	519
8	^5	32768	1	4089	4103
8	^5	32768	2	449	575
8	^5	32768	3	-447	575
8	^5	32768	4	-4087	4103
9	^2	81	1	1	17
9	^3	729	1	73	89
9	^3	729	2	-71	89
9	^4	6561	1	721	737
9	^4	6561	2	1	161
9	^4	6561	3	-719	737
9	^5	59049	1	6553	6569
9	^5	59049	2	649	809
9	^5	59049	3	-647	809
9	^5	59049	4	-6551	6569
10	^2	100	1	1	19
10	^3	1000	1	91	109
10	^3	1000	2	-89	109
10	^4	10000	1	991	1009
10	^4	10000	2	1	199
10	^4	10000	3	-989	1009
10	^5	100000	1	9991	10009
10	^5	100000	2	901	1099
10	^5	100000	3	-899	1099
10	^5	100000	4	-9989	10009

Partitions des puissances de 10 en nombres impairs consécutifs

10^2	= 1 + 3 + … + 19
10^3	= 91 + 93 + … + 109
10^4	= 1 + 3 + 199 = 991 + 993 + … + 1 009
10^5	= 901 + 903 + … + 1 099 = 9 991 + 9 993 + … + 10 009
10^6	= 1 + 3 + … + 1 999 = 9 901 + 9 903 + … + 10 099 = 99 991 + 99 993 + … + 100 009
10^7	= 9 001 + 9 003 + … + 10 999 = 99 901 + 99 903 + ... + 100 099 = 999 9991 + … 999 993 + … + 1 000 009
10^8	= 1 + 3 + … + 19 999 = 99 001 + 99 003 + … + 100 999 = 999 901 + 999 903 + … + 1 000 099 = 9 999 991 + 9 999 993 + … + 10 000 009
10^9	= 90 001 + 90 003 + … + 109 999 = 999 001 + 999003 + … + 1 000 999 = 9 999 901 + 9 999 903 + … + 100 000 009 = 99 999 991 + 99 999 993 + … + 1 000 000 009

Voir Nombre 10 en puissances

Page écrite d'après les travaux originaux de Lucien Sanchez

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Voir	Conjecture – Glossaire Euler – Biographie Différence de carrés Pépites Pythagore et Fermat Tables de nombres
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