|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Partitions des nombres impairs Partitions des nombres impairs avec des
nombres impairs, consécutifs ou non. Propriétés et exemples. |
|
|
|||
|
Nombres
consécutifs On sait
qu'un entier n est une somme de k nombres entiers consécutifs seulement si n
est divisible par k. Ex: (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) = 5n Avec n impair = k . h,
si h est impair alors n est la somme de
k nombres consécutifs autour de h. Ex: 9 = 3 x 3,
somme de trois consécutifs autour de 3. Avec n pair = k . h,
si h est pair alors n est la somme de k nombres consécutifs
autour de h. Ex: 20 = 5 x 4,
somme de cinq consécutifs autour de 4. |
Exemples
de sommes de consécutifs
|
||
|
Nombres
en progression arithmétique Lorsqu'un
nombre est somme de k nombres consécutifs, il l'est aussi de k nombres en progression arithmétique
autour du même nombre (10 pour l'exemple). |
|
||
|
|
||
|
Un nombre impair ne peut être la somme
que d'une quantité impaire de nombres impairs. |
3 + 5 = 8 nombre
pair 3 + 5 + 7 = 15 nombre
impair (2k+1) + (2h+1) = 2(k + h +
1) pair (2k+1) + (2h+1)
+ (2j+1) =
2(k + h + j) + 3 impair |
|
|
Théorème Seuls les nombres impairs divisibles par k sont sommes de k impairs consécutifs; le nombre central est égal au quotient. Seuls les nombres pairs divisibles par k sont sommes de k pairs consécutifs; le nombre central est égal au quotient. |
Exemple:
45
= 5 x 9: il est la somme de cinq nombres impairs consécutifs autour de
9: Exemple:
40
= 5 x 8: il est la somme de cinq nombres pairs consécutifs autour de 8: |
|
|
Exemple
pour le nombre 45: toutes les partitions en sommes d'impairs
|
||
|
|
||
|
Avec partitions impliquant des nombres
impairs quelconques, mais distincts, on a les premières partitions en trois nombres
impairs selon ce tableau: Il y a seulement 16% des nombres impairs, non
divisibles par 3, sommes de trois impairs quelconques. En revanche, la quantité de partitions pour chacun
augmente rapidement. Ainsi 95 offre 44 telles
partitions: 95 = 3+5+87 = 3+9+83 = 3+13+79 = 3+17+75 + … + 27+29+39 =
27+33+35. |
Les
premières sommes
|
|
|
Liste
des nombres impairs, non divisibles par 3, sommes de trois impairs 19,
23, 31, 35, 43, 47, 55, 59, 67, 71, 79, 83, 91, 95, 103, 107, 115, 119, 127,
131, 139, 143, 151, 155, 163, 167, 175, 179, 187, 191, 199, 203, 211, 215,
223, 227, 235, 239, 247, 251, 259, 263, 271, 275, 283, 287, 295, 299, 307,
311, 319, 323, 331, 335, 343, 347, 355, 359, 367, 371, 379, 383, 391, 395,
403, 407, 415, 419, 427, 431, 439, 443, 451, 455, 463, 467, 475, 479, 487,
491, 499, … Ce
sont aussi les nombres égaux à 7 ou 11 mod 12
(sans 7 et 11). Sur
le tableau en haut, les multiples de 12; les deux lignes suivantes montrent
l'ajout de 7 ou 11. On
y retrouve les nombres de la liste ci-dessus.
19
= 12 + 7 et 23 = 12 + 11, etc. Théorème Tout nombre égal à 7 ou 11 mod
12 est décomposable en sommes de trois nombres impairs. Ce sont les seuls, à
l'exception des nombres impairs divisibles par 3 qui, eux, sont sommes
d'impairs consécutifs. |
||
|
Retour |
|
|
Suite |
|
|
Voir |
|
|
|
|
|
Cette page |
