NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 28/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Entiers >>> Carrés >>> Cubes >>> Extension à la somme des cubes des impairs >>> Cube différence de carrés

SOMME des NOMBRES

Démonstrations par induction

Le principe est simple: si la propriété est vraie au départ et si elle est vraie pour tout successeur, alors elle est vraie pour tout le monde.

Voir Démonstration par induction

ENTIERS
Affirmation: somme des entiers	1 + 2 + … + n = ½ n (n + 1) = Tn Tn = nombre triangulaire
Démonstration par induction	Voir Principe de la démonstration par induction
Pour n =1, C'est vrai.	1 = ½ x 1 (1 + 1)
Supposons la formule vraie pour n. L'est-elle pour n + 1? Effectivement, nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.	1 + 2 + … + n + (n + 1) = ½ n (n + 1) + (n + 1) = ½ { (n² + n) + (2n + 2) = ½ { n² + 3n + 2 } = ½ { n (n +1) + 2 (n + 1) } = ½ (n + 1) (n + 2)
Exemple n = 9	1+2+3+4+5+6+7+8+9 = ½ x 9 x 10 = 45
Extension à la somme des pairs et autres multiples Même principe pour les multiples de 3 ou de k.	2 + 4 + … + 2n = 2 (1 + 2 + … + n) = 2 x { ½ n(n + 1) } = n (n + 1)
Exemple n = 4 (jusqu'au nombre pair 8)	2 + 4 + 6 + 8 = 4 x 5 = 20
Extension à la somme des impairs	1 + 3 + … + (2n – 1) = 2 + 4 + … + 2n –1 – 1 – … – 1 = n (n + 1) – n = n²
Exemple n = 4 (jusqu'au nombre impair 7)	1 + 3 = 4 = 2² 1 + 3 + 5 = 9 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

Voir Sommes des nombres pairs / des impairs

Merci à Julien P. et Christian A.

CARRÉS
Affirmation: somme des carrés	1² + 2² + … + n² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)
Pour n =1, C'est vrai.	1 = 1/6 x 1 (1 + 1) (2 + 1)
Supposons la formule vraie pour n. L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1. Évidemment la conduite des opérations est guidée par la connaissance du résultat à obtenir.	1² + 2² + … + n² + (n + 1)² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1) + (n + 1)² = 1/6 { n (n + 1) (2n + 1) + 6 (n + 1)² } = 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n² + 12n + 6 } = 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + 6n (n + 1) + 6 (n+ 1) } = 1/6 { (n + 1) (2n² + n) + (n + 1) ( 6n + 6) } = 1/6 (n + 1) (2n² + n + 6n + 6) = 1/6 (n + 1) { 2n (n + 2 ) + 3 (n + 2) } = 1/6 (n + 1) (n + 2 ) (2n + 3)
Exemple n = 3	1² + 2² + 3² = 1/6 x 3 x 4 x 7 = 14 = 1 + 4 + 9

Voir Nombres carrés / Démonstration par différences finies / Nombres pyramidaux carrés

CUBES – Théorème de Nicomaque
Affirmation: somme des cubes Voir Cubes		1^3 + 2^3 + … + n^3 = { ½ n (n + 1) } ² = {1 + 2 + ... + n} ² Notez la ressemblance avec la somme des entiers
Notation compacte
Exemple typique		10 = 1 + 2 + 3 + 4 100 = 10² = (1 + 2 + 3 + 4)^2 = 1^3 + 2^3+ 3^3 + 4^3
Nicomaque de Gérase (60 à 120 ?) Gérase en Jordanie		Mathématicien et philosophe. Introduction à l'arithmétique: Définition des nombres pairs et impairs, Définition des nombres premiers et composés Identification des quatre premiers nombres parfaits. Il remarque qu'en ajoutant les nombres impairs par paquets (1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, 13 + 15 + 17 + 19…), on obtient les cubes successifs des entiers naturels (13, 23, 33, 43…).
Démonstration par induction
Pour n =1, C'est vrai.		1 = { ½ x 1 (1 + 1) }²
Supposons la formule vraie pour n. L'est-elle pour n + 1? Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1.		1^3 + 2^3 + … + n^3 + (n + 1)^3 = { ½ n (n + 1) } ² + (n + 1)^3 = ¼ { n² (n + 1)² + 4 (n + 1)^3 } = ¼ { n^4 + 2n^3 + n^2 + 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 } = ¼ { n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 12n + 4 } = ¼ { n² (n² + 2n + 1) + 4n (n² + 2n + 1) + 4(n² + 2n + 1) } = ¼ { (n² + 2n + 1) (n² + 4n + 4) } = ¼ { (n + 1)² (n + 2)² }
Exemple n = 3		1^3 + 2^3 + 3^3 = (1/2 x 3 x 4)² = 6² = 36 = 1 + 8 + 27
Somme des NOMBRES successifs au cube pour k de 1 à 50	1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, 11025, 14400, 18496, 23409, 29241, 36100, 44100, 53361, 64009, 76176, 90000, 105625, 123201, 142884, 164836, 189225, 216225, 246016, 278784, 314721, 354025, 396900, 443556, 494209, 549081, 608400, 672400, 741321, 815409, 894916, 980100, 1071225, 1168561, 1272384, 1382976, 1500625, 1625625, ...

Voir Carré = Somme de cubes (suite) / Démonstration par différences finies / Somme de cubes – Table

Extension à la somme des cubes des impairs
La somme des cubes est égale à la somme des impairs et des pairs. Somme des n = 2k premiers nombres.		1^3 + 2^3 + 3^3 + … + (2k – 1)^3 + (2k)^3 = 1^3 + 3^3 + … + (2k – 1)^3 + 2^3 + … + (2k)^3
Écriture simplifiée. Somme des nombres pairs de 1 à n = 2k Somme des nombres impairs de 1 à m = 2k – 1.		S2k = P2k + I2k-1
Or la somme des pairs peut s'exprimer en fonction de celle des entiers		P2k = 2^3 + 4^3 + … + (2k)^3 = 2^3 (1^3 + 2^3 + … + k^3 ) = 2^3 Sk
Exprimons la somme des cubes des impairs		I2k-1 = S2k – P2k = S2k – 2^3 Sk
Autrement dit, avec la formule de la somme des cubes: Sk = 1/4 (k (k + 1))² S2k = 1/4 (2k (2k + 1))²		I2k-1 = 1/4 (2k(2k+1))² – 8/4 (k(k+1))² = 1/4 (4k²(4k²+4k+1) – 8k²(k²+2k+1)) = 4k^4+4k^3+k^2 – 2k^4–4k^3–2k^2 = 2k^4 – k^2 = k² (2k^2 – 1)
Exemple avec k = 2, soit deux termes		I2x2-1 = I3 = 2² (2x2² – 1) = 4x7 = 28 = 1^3 + 3^3 = 1 + 27 = 28
k = 3, soit trois termes		I5 = 3² (2x3² – 1) = 9x17 = 153 = 1^3 + 3^3 + 5^3 = 153
Somme des IMPAIRS successifs au cube pour k de 1 à 50	1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, 29161, 41328, 56953, 76636, 101025, 130816, 166753, 209628, 260281, 319600, 388521, 468028, 559153, 662976, 780625, 913276, 1062153, 1228528, 1413721, 1619100, 1846081, 2096128, 2370753, 2671516, 3000025, 3357936, 3746953, 4168828, 4625361, 5118400, 5649841, 6221628, 6835753, 7494256, 8199225, 8952796, 9757153, 10614528, 11527201, 12497500, ...
Somme des PAIRS successifs au cube pour k de 1 à 50	8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200, 34848, 48672, 66248, 88200, 115200, 147968, 187272, 233928, 288800, 352800, 426888, 512072, 609408, 720000, 845000, 985608, 1143072, 1318688, 1513800, 1729800, 1968128, 2230272, 2517768, 2832200, 3175200, 3548448, 3953672, 4392648, 4867200, 5379200, 5930568, 6523272, 7159328, 7840800, 8569800, 9348488, 10179072, 11063808, 12005000, 13005000, ...

Cube différence de carrés
Affirmation: cube = diférence de deux carrés	n^3 = a² – b²
Démonstration
Écrivons simplement cette égalité	n^3 = { 1^3 + 2^3 + … + n^3 } - { 1^3 + 2^3 + … + (n – 1)^3 }
Exprimons les deux termes comme la somme des cubes	n^3 = { ½ n (n+1) }² - { ½ (n – 1) n }²
Exemple avec = 4	4^3 = { ½ x 20}² - { ½ x 12}² = 10² - 6² = 100 – 36 = 64

Retour	Somme des entiers – Démonstration directe
Suite	Démonstrations avec équations Somme des nombres de 1 à n – Index Somme de cube – Général Somme de cubes – Table Somme des impairs, carré et cubes
Voir	Somme des entiers: démonstrations alternatives
Aussi	Somme des nombres – Récapitulatif Somme des chiffres Démonstration par récurrence - Principe
Site	Somme des n premiers cubes – Wikipédia OEIS A000537 - Sum of first n cubes; or n-th triangular number squared OEIS A002593 – a(n) = n^2*(2*n^2 - 1); also Sum_{k=0..n-1} (2k+1)^3 OEIS A254371 – Sum of cubes of the first n even numbers
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