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Édition du: 28/12/2025 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Identités !!!!! Algèbre	Algèbre – Identités
	Remarquables	Degré > 2	Spéciales	Divers
	Inverses	a^n – b^n (moins)	a^n – 1	Complexes
	Puissances	a^n + b^n (plus)	(x+ x² + …) ^k	Trigonométrie
	Newton	Puissance 5	Héron	Moivre
	Dévelop. limités	Euler & Riemann	Racines (degré 1/n)	(a + b + c + d)^k
	Ramanujan	Degré 7	Polynômes symétriques élémentaires

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Identités remarquables Les identités remarquables ne sont pas de simples formules à apprendre par cœur. Derrière ces expressions se dissimule un univers de symétrie et d’élégance mathématique. À la fois simples et redoutablement efficaces, ces identités sont les clés pour résoudre des équations complexes, factoriser avec aisance, ou même briller en calcul mental. Cette première page recense les identités remarquables fondamentales, celles que l’on découvre dès le collège. Les pages suivantes vous guideront vers des identités plus avancées, explorées au lycée, puis vers les trésors méconnus réservés aux passionnés d’algèbre. Prêt à découvrir leur puissance ?
	Sommaire de cette page >>> Identités remarquables – Premier degré >>> Identités remarquables – Deuxième degré >>> Identités (a + b)² = a² + 2ab + b² … >>> Consécutifs >>> Formule de De Moivre >>> Complexe	Débutants Algèbre Glossaire Algèbre

Belle égalité en rébus Moins de HAINE égal plus de PAIX	Une autre égalité déroutante, à découvrir

Voir Pensées et humour / Alphabet parlant / Paradoxe du pastis

Aperçu (difficulté croissante)		haut
Les trois reines (plus une en complexe)	Celle-ci est parfois bien utile: Voir Méthode des quarts de carrés
Factorisation des différences de puissance Voir Table pour n de 2 à 20 et applications à a^n – 1
Identité cachée (différence de deux carrés) Voir Puissances à étages

Voir Exemple de technique opératoire avec les parenthèses / Complexes et carrés /

Démonstration de la formule de Héron

IDENTITÉS avec le 1^er degré

haut

Type	Factorisation	Développement
Produit 1-2
Produit 2-2
Produit 2-2 commun
Produit 3-3

Nombres à 2 chiffres
Nombres à 3 chiffres
Nombres à 3 chiffres c = centaines d = dizaines u = unités

Voir Applications au calcul rapide des multiplications

Parfois utile, même si trivial	ab	= (a + 1)b – b
	a(b + 1)	= ab + a

IDENTITÉS avec le 2^e degré

haut

Binôme

Carré de la somme	(a + b)²	= a² + 2ab + b²
		= (a – b)² + 4ab (Problème de Viète)
Carré de la différence	(a – b)²	= a² – 2ab + b²
Différence de deux carrés	a² – b²	= (a – b) (a + b)
Somme de deux carrés	2(a² + b²)	= (a + b)² + (a – b)² Trigo >>>
idem avec 2ab = c²	a² + b²	= (a + b – c) (a + b + c)
Somme de carrés	(a + b)² + (a – b)²	= 2(a² + b²)
Différence de carrés	(a + b)² – (a – b)²	= 4 ab
Produit de carrés	(a + b)²∙(a – b)²	= a^4 – 2a²b² + b^4
Somme de fraction

Trinôme …

(a + b + c)²	= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(a + b + c + d)²	= a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
(a + b + c + d + …)²	= a² + b² + c² + d² + … + 2ab + 2ac + 2ad + … + 2bc + 2bd + … + 2cd + …

Voir Calcul du carré des nombres à n chiffres

(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²	= 2 (a² + b² + c² + ab + bc + ca) (a + b + c)² + a² + b² + c²
(a + b + c)² – (a – b + c)²	= 4 ab + 4 bc
(a + b + c)² – (a – b – c)²	= 4 ab + 4 ac
a² (b – c) + b² (c – a) + c² (a – b)		= (a – c) (b – a) (c – b)

Démonstration

Spéciales

	= (a² – b²)^2 + (2ab)^2
(a + b)^2 (a – b)^2	= (a² + b²)^2 – (2ab)^2
(a² – 2ab – b²) (a² + 2ab – b²)	= (a² – b²)^2 – (2ab)^2
a² + ab + b²

Identités de Lagrange (dites aussi de Fibonacci – 1202)

L'inversion des signes + et - ne change pas l'égalité

Voir Somme de carrés/ Autres identités de cette sorte

Curiosité

(n + 1)² – (n – 1)² = 4n (n + 2)² – (n – 2)² = 8n (n + 3)² – (n – 3)² = 12n …

Exemple: n = 100 101² – 99² = 400 102² – 98² = 800 103² – 97² = 1200 …

Voir Nombres pairs et impairs

IDENTITÉS particulière avec l'unité

haut

a, b, c > 0

a + ab + b + 1	(a + 1) (b + 1)
a² – 1	(a + 1) (a – 1)
a^3 – 1	(a – 1) (1 + a + a² )
a^3 + 1	(a + 1) (1 – a + a² )
a^6 – 1	(a + 1) (a – 1) (a² + a + 1) (a² – a + 1)

	<=>	c² = uv avec a = c + u et b = c + v
	=
	<=>	(a – k) (b – k) = k²
	=
	=	Voir Somme des inverses et généralisation
ab (a² – b²) + bc (b² – c²) + ca (c² – a²)	=	– (a – b) (b – c) (c – a) (a + b + c)

(1 + x)² – x	=	1 + x + x²
(1 + x + x²)^2 – x²	=	(1 + x) (1 + x + x² + x^3) (1 + x)^2 (1 + x²)
(1 + x + x² + x^3)^2 – x^3	=	(1 + x + x²) (1 + x² + x^3 + x^4)
(1 + x + x² + … + x^n)^2 – x^n	=	(1 + x + x² + … + x^n – 1) (1 + x + x² + … + x^n + 1)

Démonstration

On pose :

On calcule:

.

Racine ou puissance 1/2

	=
	=	Voir Application
	=
Exemple

Voir suite en Degré supérieur / Calcul avec des radicaux (racines) / Calculs avec les racines carrées

Voir Factorisation des polynômes remarquables / Exemples d'application /

Calcul de la hauteur du pentagone (calculs avec radicaux)

Racine de la somme de cubes successifs

Exemples		Calcul >>>
		Calcul >>>

Démonstration muette (ou illustrée)

L'aire du grand carré (a + b) est égale à la somme des aires des deux carrés et des deux rectangles: (a + b)² = a² + 2ab + b² L'aire du rectangle vertical est égale à la somme des aires du petit carré et des deux rectangles; elle est aussi égale à l'aire d'un grand carré (a²) auquel on retire un plus petit carré (b²). (a + b) (a – b) = a² – b² Aire du rectangle à gauche = aire e l'équerre à droite.

Voir Nombre 169 / Construction de a², racine de a, 1/a / Calcul de la racine carrée

Produit de nombres consécutifs
(n – 1) n (n + 1) = n (n² – 1) = n^3 – n (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) = n (n^4 – 5n^2 + 4) (n – 3) (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) (n+3) = n (n^6 – 14n^4 + 49n^2 - 36) Note: ces produits sont divisibles par n, le facteur central, et par k, la quantité de termes (impaire) Ainsi: 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 15 120 = 7 x 5 x 432

Voir Calcul mental et factorielles tronquées / Divisibilité des produits de nombres consécutifs

FORMULE de MOIVRE

Suite Formule de De Moivre

IDENTITÉS avec complexes
x² + y²	=	(x – i . y) (x + i . y)
y = 1 => x² + 1	=	(x – i) (x + i)
x = 1 => 1² + 1	=	(1 – i) (1 + i) = 2

Suite Pages des nombres complexes / Nombre 2

Suite	Identités pour degré supérieur à 2 Cube – Calcul mental Formule du binôme Somme des entiers, des carrés, des inverses… Identité de Brahmagupta Identités fractions Identités trigonométriques Identités nombres complexes Identités entre puissances Utilisation pour calcul de puissances complexes
Voir	Application aux multiplications Applications aux divisions des puissances Carré des nombres en aaa…ab Constantes Différences entre puissances Égalités dans les triangles Factorisation selon Fermat Formulaires – Index Identité de Lagrange Identités trigonométriques Isopérimètre Pépites Somme de carrés de nombres consécutifs Somme des entiers, des carrés… Somme et produit – Trouver les deux nombres Tautochronie Théorèmes
Site	A Collection of Algebraic Identities – Tito Piezas
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm

Continuité de liens:

Identité degré 5 transférée