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NOMBRES
FIGURÉS ou
géométriques ou
polygonaux Ce site comporte de nombreux
développements sur les nombres figurés. Ce sont les premiers éléments de
réflexion historique sur la théorie des nombres. Ils sont également une
source de découvertes et d'amusements. Les notions sont très facilement
abordables.
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Anglais: figurate
numbers / polygonal numbers
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Depuis
l'Antiquité, les hommes ont été séduits par les figures géométriques. Il s'agissait de créer des
dessins plus faciles à retenir ou
à manipuler. Ce fut le cas pour les étoiles
dans le ciel avec le dessin des constellations. Les mathématiciens de cette époque firent de
même avec les nombres, en
les arrangeant selon les figures géométriques les plus simples qu'ils
connaissaient: le triangle,
le carré, le
pentagone,
etc.
Le nombre 3 est
triangulaire; 4, un nombre carré et 5 un nombre pentagonal. Par défaut de former un
dessin, le nombre 1 est triangulaire, carré ou pentagonal. Voir dans le
DicoNombre: Nombre 3 / Nombre 4 / Nombre 5 |
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Pour
commencer, il suffit de compter les sommets des figures géométriques simples
appelées les polygones
réguliers, dessins faits de traits de même longueur formant une jolie
ligne brisée fermée. Passer au
suivant consiste à poursuivre l'allure générale du dessin. Avec le triangle,
la ligne suivante comporte 3 billes de plus et donne le nombre triangulaire
suivant: 6. Pourquoi 3 billes de plus et non pas 2? Pour
disposer du même nombre de billes sur chacun des côtés. Notez que le triangle initial est équilatéral
(le plus "joli" des triangles). Cependant, les mêmes nombres
triangulaires sont obtenus avec le triangle
rectangle. |
Les nombres
triangulaires: 3 et 6, formés sur le triangle équilatéral ou sur le triangle
rectangle. |
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Somme de triangulaires Prenons les
deux nombres triangulaires successifs 3 et 6 et leur représentation avec le
triangle rectangle. On forme une
nouvelle figure en retournant le dessin du 3 sur le dessin du 6. La nouvelle
figure est un carré égal à 9 qui est donc l'addition de 3 et 6. Propriété générale 3 + 6
= 9 = 3² T2 + T3
= C3 Les
suivants: 6 + 10 = 16 = 4² T3 + T4
= C4 Et d'une
manière générale: Tn-1 + Tn =
Cn |
Le
deuxième triangulaire (T2) + le
troisième triangulaire (T3) = le
troisième carré (C3). |
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Sous forme résumée |
Suite en Nombres
triangulaires et carrés |
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Quelques
nombres figurés simples
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Nombres carrés Pour passer
d'un carré au suivant on ajoute le nombre impair suivant. Ils sont de la forme qui consiste à prendre un
nombre multiplié par lui-même, soit: n² |
Les six premiers nombres carrés
1² 1 + 3
= 2² 4 + 5 = 3² 9 + 7 = 4² 16 + 9 = 5² 25 + 11 = 6² Suite en Nombres carrés |
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Nombres en L ou nombres impairs ou gnomons Si les
nombres pairs peuvent se mettent en rang par 2, avec les nombres impairs, il y en a
toujours un de plus. Ils sont de la forme: deux fois un nombre plus
un, soit: 2n + 1 |
Les six premiers nombres impairs
1 3 = 2x1 + 1 5 = 2x2 + 1 7 = 2x3 + 1 9 = 2x4 + 1 11 = 2x5 + 1 Suite en Nombres pairs et
impairs / Gnomons |
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Nombres rectangles ou nombres composés Finalement,
un nombre rectangle est un nombre carré auquel on supprime un certain nombre
de couches. Ils sont de la forme: un nombre multiplié par un
autre, soit: n x m |
Quelques exemples de nombres rectangulaires
2 x 3 =
6 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 5 x 6 = 30 Suite en Nombres composés
/ Tables de
multiplication |
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Nombres presque-carrés ou proniques ou oblongs ou
hétéromèques Nombre
rectangle issu d'un nombre carré avec une seule couche en moins. Ils sont tous pairs et de la forme: un nombre
multiplié par son successeur, soit n (n + 1) |
Les cinq premiers nombres proniques
1 x 2 =
2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 |
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Nombres linéaires ou nombres premiers Nombres
non-rectangles. Impossible de les mettre en rang par 2 ou 3 ou plus. Contrairement aux autres, le passage d'un nombre
au suivant ne semble pas suivre une logique. Les mathématiciens cherchent
toujours. On les note: p |
Les cinq premiers nombres premiers
Suite en Nombres premiers
/ Barre magique des
nombres premiers |
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Découverte des relations en nombres figurés
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Les nombres triangulaires |
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Formation des nombres triangulaires Avec le
triangle rectangle, on passe au suivant en ajoutant une hypoténuse (côté opposé à l'angle droit). Avec le
triangle équilatéral, on ajoute une ligne à la base. Mais dans
tous les cas, on ajoute autant de billes que le rang du nombre triangulaire.
Pour calculer le cinquième nombre, on prend le
quatrième et on ajoute 5. |
Deux façons de construire les nombres
triangulaires
T1 =
1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = 10 T5 = 15 |
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Relations entres les nombres triangulaires
Exemple: T4 = 10 qui se calcule en prenant T3 = 6 auquel
on ajoute le rang 4: 6 + 4 = 10. Un nombre
triangulaire de rang 4 est la somme de tous les nombres de 1 à 4. Un nombre triangulaire
de rang n est la somme des entiers
successifs de 1 à n. Tn = 1 + 2 + 3 + … + n Suite en Nombres
triangulaires |
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Nombres triangulaires et nombres oblongs Un nombre
oblong, produit de deux nombres successifs, est la somme de deux nombres
triangulaires. Ou inversement,
un nombre triangulaire est égal à la moitié d'un nombre oblong; il est aussi
égal à la somme des nombre jusqu'à son rang. |
Nombre oblong et identification de triangles
Exemple avec le
troisième: 3 x 4 = 2 T3
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Somme des entiers de 1 à n Un nombre triangulaire
de rang n est la somme des entiers successifs de 1 à n, et il est égal
au demi-produit
de n par n + 1. Tn = 1 + 2 + 3 + … + n
= 1/2 n (n + 1) Suite en Somme des
entiers successifs |
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Nombres oblongs et nombres pairs Un nombre
oblong est égal à son prédécesseur plus un nombre pair. En repartant
du début, un nombre oblong est égal à la somme des nombres pairs successifs. |
Formation des nombres oblongs
2 2 + 4 = 6 6 +
6 = 12
12 + 8 = 20 20 + 10 = 30 Exemple avec le
quatrième: 2 + 4 +
6 + 8 = 4 x 5 = 20 |
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Somme des nombres pairs de 2 à 2n La somme des nombres
pairs de 2 à 2n est égale au nombre oblong n (n + 1). 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n +1) Suite en Somme des nombres
pairs |
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Carrés et impairs Un nombre
carré est égal à son prédécesseur auquel est ajouté un nombre impair. En repartant
du début, un carré est égal à la somme des nombres impairs successifs. |
Exemple avec le
troisième: 1 + 3 +
5 = 9 = 3² |
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Somme des nombres impairs de 1 à 2n – 1 La somme des nombres
impairs de 1 à 2n+1 est égale au carré de n. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² Suite en Somme des
nombres impairs |
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Les nombres figurés, même les plus
simples, sont riches de relations entre eux. Découvrez tout cela sur les
pages de ce site: soit selon le type de nombres, soit selon les propriétés
générales de ces nombres. Dans le DicoNombre, vous
retrouverez l'appartenance de chacun des nombres à sa représentation figurée
jusqu'à n = 1000. Au-delà seuls les cas remarquables sont signalés. |
Directions possibles:
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Définition générale et orientations |
Pour commencer en douceur |
Valeurs, calcul, propriétés |
Les démonstrations |
Obliques = nombres figurés |
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Voir |
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