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Édition du: 17/09/2026 |
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INDEX |
COMBINATOIRE |
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Débutant en
COMBINATOIRE – Diconombre
Combien y a-t-il d’objets ? Dans la vie
courante, compter semble simple. Mais certaines situations demandent de choisir
une stratégie : regrouper, ordonner, faire des tableaux, utiliser des
symétries ou décomposer le problème en plusieurs étapes. C’est ce que l’on appelle dénombrer : déterminer combien il y a d’objets, de
possibilités ou de situations, sans nécessairement les compter un par un. Cette page propose une première découverte du
dénombrement, avec des exemples simples et des idées accessibles aux
débutants. |
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Sommaire de cette page >>>
Choix de ma voiture >>>
Les cousins sont là >>>
Football >>>
Compteur >>>
Bilan |
Débutants Glossaire |
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Achat de ma nouvelle voiture Le
concessionnaire me laisse le choix entre ces différents modèles équipés. Combien de
possibilités de choix ? |
Choix
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Quels sont mes choix successifs ? |
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Je commence à choisir ma catégorie: 2 ou 4 portes |
2 possibilités |
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Puis ma motorisation: essence ou diesel |
2 possibilités |
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Mon choix de climatisation |
2 possibilités |
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Mon coloris préféré |
5 possibilités |
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Illustration
Exemple: la première ligne représente des cinq choix de voitures à deux portes, à essence et AVEC air-conditionné. La deuxième ligne, même chose mais SANS air-conditionné. |
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Clément et Louise Louise et
Clément, réveillés de bonne heure, se glissent dans la bibliothèque et y
découvrent les ordinateurs des parents: le fixe de Papa et le portable de
maman.
Et nos deux
enfants s'initient à l'informatique ou …aux jeux avec informatique. Conclusion
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C'était sans
compter avec Théo, le petit dernier qui arrive avec sa Game Boy. Lui aussi
voudrait tapoter sur le clavier des grands. Une histoire
de partage se déroule entre frères et sœur.
Conclusion
Ne
soit pas jalouse Louise, on aurait pu faire le même raisonnement avec toi ou
même avec Théo. |
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Les cousins sont arrivés Le cousin Alex et la
cousine Justine sont là pour la journée. Alors, Alex, Clément, Justine,
Louise et Théo se retrouvent devant trois machines : un portable, un
ordinateur fixe et une console de jeux. Cinq enfants pour trois
machines : le problème est vite posé. Maman tranche : « Trois d'entre
vous peuvent jouer. À vous de former une équipe ! » Les cinq se
concertent, discutent, changent d'avis… Finalement, toutes les équipes de
trois possibles défilent : Alex, Clément et Justine ; Alex, Louise et Théo ;
Clément, Justine et Louise… Il y en a dix. Pour Maman,
l'affaire s'arrête là. Que l'on dise « Alex, Justine, Théo » ou « Théo, Alex,
Justine », c'est toujours la même équipe. Les
mathématiciens ont un mot pour cette manière de choisir : une combinaison. Mais Papa observe la scène.
Il sourit : « Très bien… mais maintenant, qui va sur quelle machine ? » Et là, tout change. Alex au portable,
Justine au fixe et Théo à la console, ce n'est évidemment pas la même chose
que Justine au portable, Théo au fixe et Alex à la console. Cette fois,
les places comptent. Chaque
équipe se met donc à changer de place, encore et encore, jusqu'à avoir essayé
toutes les répartitions possibles. Pour une même équipe, il y en a six. Les dix équipes
peuvent ainsi prendre chacune leurs six dispositions : 10 × 6 = 60
situations. Papa conclut
: « Quand on
choisit seulement les enfants, c'est une combinaison. Quand on choisit les
enfants et leur place, c'est un arrangement. » Et les cinq enfants
découvrent qu'avec seulement 3 machines et 5 enfants, il y a déjà beaucoup de
situations ! Si chaque
équipe passait 30 minutes par situation, la journée ne suffirait pas pour les
explorer toutes (60 x 1/2 h = 30 heures). Illustration
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Résumé de ce cas de dénombrement : 3 machines
pour 5 personnes |
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Ce club dispose de 22 joueurs.
La figure
indique les quantités, leur calcul sera étudié plus tard. |
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Comparaison qui donne le vertige On nomme ce
phénomène: explosion combinatoire |
En
formant une équipe toute les minutes. En
sachant qu'il y a 525 600 minutes dans une année, nuit et jour. Pour
explorer toutes les combinaisons: toutes
les équipes distinctes de 11 joueurs à partir des 22 du club. Il faudrait 1,3
année. Une
équipe de 11 joueurs étant formée on
fait passer tout le monde à des postes différents par permutations:
Il faudrait 76
ans. Pour
explorer tous les arrangements, toutes les équipes ordonnées
possibles, il faudrait 50 000 millénaires ! |
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Voir Football / Quart
de finale
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Carré Compter les
sommets du carré : 4 Numéroter
les sommets avec deux chiffres (0,0) (0,1) (1,0) (1,1). Autre façon
de voir: deux réglettes coulissantes et une fenêtre d'observation. Il y a bien
quatre façons de positionner les réglettes: 00, 01, 10, 11. Avec deux chiffres binaires, on peut écrire
quatre nombres |
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Cube Compter les sommets
du cube: 8 Numéroter
les sommets avec deux chiffres (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1), (1,0,0)
(1,0,1) (1,1,0) (1,1,1). Il y a bien
huit façons de positionner les réglettes: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110,
111.
Avec trois chiffres binaires, on peut écrire huit
nombres |
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Compteur Cette fois,
chaque réglette comporte dix chiffres. Nous avons un
choix de 10 possibilités pour la première, dix pour la suivante et dix pour
la dernière Soit: 10 x
10 x 10 = 103 = 1 000 possibilités Nous pouvons
écrire 1000 nombres avec trois chiffres (de 0 à 999). C'est bien ce que nous
savons tous. Cette
situation de dénombrement est appelée un arrangement avec répétitions, aussi
nommé: p-liste. |
Notez qu'en
enroulant les réglettes sur elle-même, nous réalisons un
compteur classique. Avec trois chiffres décimaux, on peut écrire mille nombres. |
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Au fil de cette page,
nous avons appris à compter sans tout compter. Avec cinq enfants devant trois
machines, plusieurs chemins se sont ouverts : choisir une équipe nous a
conduit à la combinaison, placer chacun à sa place à l’arrangement,
et changer l’ordre de tous les enfants à la permutation. Puis, avec les équipes de football, les
possibilités se sont multipliées à toute vitesse : c’est le fameux frisson de
l’explosion combinatoire ! Enfin, le compteur nous a montré une
autre façon de construire des possibilités, case après case : l'arrangement
avec répétitions ou p-liste. Tous ces chemins
appartiennent à un même territoire : la combinatoire, la science mathématique du
dénombrement. L’art du dénombrement consiste ainsi à trouver la bonne manière
de compter les possibilités, sans avoir besoin de les énumérer une à une. Illustration
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