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Édition du: 17/09/2026 |
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INDEX |
COMBINATOIRE |
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Les permutations
en combinatoire – Diconombre
Une permutation consiste à réordonner tous les
éléments d’un ensemble, chaque élément étant utilisé une fois. Changer
l’ordre produit alors une nouvelle disposition. Mettre des livres sur une
étagère, classer des concurrents, organiser des lettres ou répartir des objets
sont autant de situations où cette notion intervient. Cette page présente ces différentes situations, des
permutations les plus simples aux cas plus subtils. Elle aide surtout à
reconnaître, dans un problème de dénombrement, le moment où l’on est
véritablement en présence d’une permutation, et à ne pas la confondre avec un
arrangement ou une combinaison. |
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Sommaire de cette page >>> La permutation : changer l’ordre, sans rien
laisser de côté >>> Poster: les permutions >>> La bonne question à se poser >>> Le cas le plus simple : mettre des objets en
ligne >>> Exemples >>> Les permutations à répétitions >>> Arrangement et permutation : même nombre >>> Les permutations circulaires >>> Les permutations avec contrainte >>> Maths et Informatique >>> Une petite carte mentale des permutations >>> Le test : Est-ce une permutation ? >>> Programmation Python |
Débutants Glossaire |
Mnémotechnique
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PERMUTATION : tout le monde change de
place Le mot permutation vient du latin permutare, qui signifie échanger, changer,
transformer. En combinatoire, une permutation consiste justement à changer
l’ordre des éléments, en utilisant tous les éléments une fois. PERMUTER = faire changer les éléments
de place. Avec quatre fleurs différentes, on ne
choisit pas trois fleurs parmi quatre : les quatre participent. On cherche
toutes les façons de les réordonner. Chaque nouvel ordre constitue une
permutation. REPÈRE : tous les éléments + l’ordre qui compte = permutation. Ainsi, arrangement évoque plutôt
choisir et placer une PARTIE ; permutation
évoque réordonner TOUT l’ensemble. |
Voir Mnémotechnique
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Une permutation est une manière de
disposer tous les éléments d’un
ensemble, chacun une seule fois, en tenant compte de leur ordre. C’est donc une situation
très particulière de dénombrement : On dispose de tous les éléments, et deux
dispositions sont différentes dès que l’ordre d’au moins deux éléments
changent. Avec 3
lettres A, B et C, les six permutations sont : ABC — ACB — BAC — BCA — CAB — CBA Le nombre de
permutations de n éléments distincts
est :
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Devant un problème de combinatoire,
il ne faut pas commencer par chercher une formule. Il faut d'abord décrire précisément ce qui est choisi et ce
qui est disposé. Pour savoir si l'on est
devant une permutation, poser successivement ces questions : Tous les
éléments sont-ils utilisés ? Si seulement une partie
des éléments est utilisée, on n'est généralement pas dans une permutation simple, mais dans un problème d'arrangement ou de p-liste — cas déjà
traité sur la page consacrée aux arrangements. |
L'ordre des
éléments compte-t-il ? Si ABC et BAC
représentent deux résultats différents, oui. Si ABC et BAC
représentent le même groupe, non : il s'agit alors d'une combinaison, et non
d'une permutation. Chaque
élément est-il utilisé une seule fois ? Si oui, on est dans le
cas classique de la permutation simple. |
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Cette grille permet de distinguer les trois
situations fondamentales
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À retenir Permutation
= Arrangement dans lequel p = n. Tous les éléments
disponibles sont utilisés et non pas une sélection de p d'entre eux. |
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Trois livres sur une étagère Trois livres différents
— A, B et C — doivent être
rangés sur une étagère. Le premier emplacement
peut recevoir l'un des 3 livres. Une fois le premier choisi,
il en reste 2 pour le deuxième emplacement. Il en reste alors 1 pour
le dernier. Donc, Il existe 6 ordres
possibles. 3 × 2 × 1 = 3! = 6 Avec quatre livres : 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 Avec cinq livres : 5! = 5 × 4! = 120 |
Pourquoi le factoriel apparaît-il ? Le factoriel n'est
pas une formule tombée du ciel. Il traduit directement le raisonnement :
C'est précisément la
structure d'une permutation. |
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Voir Exemple de calculs / Suite
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Un objet laissé de côté Prenons quatre objets A, B, C et D. Deux
questions peuvent sembler différentes. Combien de façons peut-on choisir et ranger 3
objets parmi les 4 ? On cherche un
arrangement de 4 objets pris 3 à 3 :
4 × 3 × 2 = 24 Le quatrième objet n'est
pas rangé : il reste de côté. Mais posons maintenant une autre question : Combien de façons
peut-on ranger les 4 objets ? 4 × 3 × 2 × 1 = 24 |
Explications Même question ? Non. Même résultat ? Oui ! On peut le comprendre intuitivement : Ranger 3 objets parmi 4
revient à laisser le quatrième dans une place virtuelle, celle du « laissé de
côté ». Ranger les 4 objets
revient à placer ce quatrième objet dans une place réelle. Or, une fois les trois
premiers objets placés, il ne reste qu'une seule possibilité pour le dernier. C'est exactement ce que traduit le calcul :
passer de p = n – 1 à p = n ajoute
simplement le facteur 1 :
Le nombre ne change donc pas. |
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Et si plusieurs objets restent de côté ? La coïncidence est particulière au cas p = n – 1. Si l'on ne range que p = n – 2 objets, il reste
deux objets non placés. Pour passer de l'arrangement
à la permutation, il faudrait alors tenir compte des 2 façons de ranger ces
deux objets :
Avec p = n – 3, il reste
trois objets : leur rangement peut se faire de 3! = 6 façons. |
Bilan Ainsi, plus le nombre d'objets laissés de côté
augmente, plus il existe de façons de les ranger entre eux. Le facteur qui
était 1 devient 2, puis 6, etc. C'est une belle manière de voir pourquoi le cas p
= n – 1 est le seul où arrangement et permutation donnent exactement le même
décompte. |
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Permutations avec contraintes : le factoriel ne
suffit plus La situation devient
encore plus intéressante lorsqu'une règle impose des conditions. On a les lettres A, B, C
et D et A doit rester en tête Sans contrainte : 4! =
24. Si A doit
obligatoirement être la première lettre, A est fixé. Il reste à permuter B, C
et D : 3! = 6 Il existe donc 6 permutations satisfaisant la contrainte. |
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Deux personnes doivent rester côte à côte Quatre personnes A, B, C
et D doivent se placer en ligne. On impose : A et B
doivent être côte à côte. Une bonne astuce
consiste à considérer AB comme un bloc. On doit alors ordonner :
[AB], C, D soit trois objets : 3! Mais A et B peuvent être
placés dans deux ordres : AB ou BA Donc : 3! × 2! = 6 × 2 =
12 Il existe 12
dispositions. Cette méthode du bloc est extrêmement utile dans les problèmes de permutations
sous contraintes. |
A et B doivent être séparés On peut parfois compter
plus facilement le contraire. Avec quatre personnes,
il y a : 4! = 24 dispositions au total. Parmi elles, 12
comportent A et B côte à côte (calcul à gauche). Il reste donc : 24 – 12
= 12 dispositions dans lesquelles A et B ne sont pas côte à côte. C'est le principe du complément : Compter tout ce qui est possible, puis retirer ce qui est interdit. Cette méthode est souvent beaucoup plus simple que de construire directement
les dispositions autorisées. |
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Les permutations avec éléments imposés ou
interdits D'autres contraintes
peuvent apparaître :
À ce stade, le problème reste lié aux permutations, mais la formule n!
n'est plus nécessairement la réponse finale. Le factoriel fournit souvent le point de départ du raisonnement ; la
contrainte impose ensuite une méthode supplémentaire. |
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MATHS: la permutation comme opération Jusqu'ici,
"permutation" signifiait surtout une disposition possible. En mathématiques, le mot
possède aussi un sens plus structurel : une permutation est une bijection
d'un ensemble sur lui-même. Autrement dit, chaque
élément reçoit une nouvelle position et :
Cette définition
explique pourquoi les permutations jouent un rôle important dans de nombreux
domaines :
Les n! permutations des
n éléments forment le groupe
symétrique Sn. Pour le dénombrement élémentaire,
cette définition est plus abstraite que nécessaire ; mais elle explique
pourquoi le même mot "permutation" réapparaît ensuite dans des
contextes mathématiques beaucoup plus avancés. |
Et en INFORMATIQUE ? Le mot permutation est
également courant en informatique. On peut, par exemple,
chercher :
Ainsi, la liste : [A, B,
C] possède les six permutations : [A,B,C] [A,C,B] [B,A,C] [B,C,A] [C,A,B]
[C,B,A] En programmation,
produire systématiquement ces n! possibilités est un problème classique. Mais
attention : le nombre de permutations augmente très rapidement.
C'est pourquoi un problème qui paraît innocent — « essayer tous les
ordres possibles » — peut devenir impossible à traiter par énumération dès
que le nombre d'éléments augmente. Cette croissance explique également l'importance des algorithmes qui
évitent de parcourir inutilement toutes les permutations. |
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On peut finalement
distinguer plusieurs situations.
Voir Dérangements |
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Avant de calculer, prendre
quelques secondes pour répondre à quatre questions : 1. Tous les éléments sont-ils utilisés ? 2. L'ordre compte-t-il ? 3. Les éléments sont-ils tous distincts ? 4. Les dispositions obtenues par rotation ou
retournement sont-elles considérées comme identiques ? Et s'il existe des règles
supplémentaires — éléments voisins, positions interdites, ordre imposé, aucun
élément à sa place, etc. — il faut les intégrer au dénombrement. |
La difficulté
essentielle n'est donc pas de connaître la permutation. Elle consiste à reconnaître la structure du problème
et à déterminer exactement ce qui compte comme une disposition différente. C'est cette lecture de
l'énoncé — tous les éléments ? ordre
? répétitions ? cercle ? contraintes ? symétries ? — qui permet de choisir
correctement l'outil de dénombrement. |
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Code from itertools import permutations from math import factorial # Exemple : n = 4 n = 4 objets = ['A', 'B', 'C', 'D'] # Calcul du nombre de
permutations quantite = factorial(n) print(f"Nombre de permutations de {n} objets : {quantite}") # Liste des
permutations liste_permutations = list(permutations(objets)) for i, p in enumerate(liste_permutations, start=1): print(f"{i}. {p}") |
Résultats Nombre de
permutations de 4 objets : 24 1. ('A',
'B', 'C', 'D') 2. ('A',
'B', 'D', 'C') 3. ('A',
'C', 'B', 'D') 4. ('A',
'C', 'D', 'B') 5. ('A',
'D', 'B', 'C') 6. ('A',
'D', 'C', 'B') 7. ('B',
'A', 'C', 'D') 8. ('B',
'A', 'D', 'C') 9. ('B',
'C', 'A', 'D') 10. ('B',
'C', 'D', 'A') 11. ('B',
'D', 'A', 'C') 12. ('B',
'D', 'C', 'A') 13. ('C',
'A', 'B', 'D') 14. ('C',
'A', 'D', 'B') 15. ('C',
'B', 'A', 'D') 16. ('C',
'B', 'D', 'A') 17. ('C',
'D', 'A', 'B') 18. ('C',
'D', 'B', 'A') 19. ('D', 'A',
'B', 'C') 20. ('D',
'A', 'C', 'B') 21. ('D',
'B', 'A', 'C') 22. ('D',
'B', 'C', 'A') 23. ('D',
'C', 'A', 'B') 24. ('D',
'C', 'B', 'A') |
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Voir Programmation
/ Programmation Python
Suite en détail pour:
Rappel: Faites un double-clic pour un retour en haut de page
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Suite |
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Rappel |
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Voir |
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