Édition du: 17/09/2026

INDEX Dénombrement Calculs	COMBINATOIRE
	Base – Compter	Débutant	Approche	Types – Synthèse
	P-listes	Arrangements	Permutations	Combinaisons
	Outils	Dérangements	Distributions	Comb. à répétition
	Le monde complet de la combinatoire		Notions avancées en combinatoire

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Panorama des principales situations de combinatoire – Diconombre

Page du Dictionnaire des nombres (diconombre.fr) consacrée à l’art de compter et de dénombrer.

La combinatoire permet de déterminer combien d’objets, de choix, de dispositions ou de configurations sont possibles, sans avoir à les énumérer un à un.

Au premier abord, les problèmes de dénombrement semblent très différents. Pourtant, beaucoup reposent sur quelques structures fondamentales : choisir des objets, les ordonner, les répartir dans des cases ou former des groupes. À ces situations s’ajoutent des contraintes, des répétitions et des symétries qui modifient le dénombrement.

Les pages précédentes ont présenté les quatre situations les plus courantes : p-liste, arrangement, combinaison et permutation. Cette page élargit la perspective. Elle propose une carte d’ensemble des principales situations de la combinatoire et met en évidence les relations qui les relient.

Certaines notions sont transversales : avec répétition, sous contrainte ou sous symétrie peuvent intervenir dans plusieurs familles. Il ne s’agit donc pas d'une classification rigide, mais d'une manière de reconnaître la structure d'un problème.

L’objectif n’est plus seulement de connaître une formule, mais de comprendre d’abord la situation à dénombrer, puis de choisir l’outil adapté.

Sommaire de cette page

>>> Quelles sont les questions à se poser ?

>>> Les principales situations – Tableau

Analyse détaillée

>>> I. Tirages et sélections

>>> II. Permutations et ordonnancement

>>> III. Combinaisons

>>> IV. Répartitions

>>> V. Partitions et regroupements

>>> VI. Principes et outils de comptage

>>> VII. Notions transverses

Débutants

Nombres

Glossaire

Compter

Quelles sont les questions à se poser ?

haut

Une grille de lecture avant la description de la taxonomie (classement)

Les problèmes de combinatoire peuvent être abordés en se posant quelques questions simples :

Que choisit-on ?

Faut-il tenir compte de l'ordre ?

Peut-on répéter un objet ?

Doit-on respecter des contraintes ?

Les objets sont-ils répartis dans des cases ou regroupés ?

Certaines configurations sont-elles considérées comme identiques par symétrie ?

Ces questions ne constituent pas des catégories exclusives. Elles décrivent les caractéristiques d'un problème et peuvent se combiner. Ainsi, les types "avec répétition", "sous contrainte" ou "circulaire" ne sont pas toujours des familles à part entière : ce sont souvent des variantes d'une situation fondamentale.

TABLEAU

Question à se poser	Ce qu'elle permet d'identifier	Exemples
Que choisit-on ?	Tirage ou sélection d'objets	p-liste, arrangement, combinaison
L'ordre compte-t-il ?	Sélection ordonnée ou non	arrangement / combinaison
Peut-on répéter ?	Avec ou sans répétition	p-liste, combinaison avec répétition
Utilise-t-on tous les objets ?	Sélection ou permutation complète	arrangement / permutation
Y a-t-il une contrainte ?	Cas particuliers à dénombrer	séparation, voisinage, dérangement, quotas
Où répartit-on les objets ?	Répartition dans des cases	distribution, affectation
Comment forme-t-on des groupes ?	Groupements et partitions	équipes, partitions
Des configurations sont-elles équivalentes ?	Prise en compte des symétries	permutation circulaire, rotations, réflexions

Les principales situations – TABLEAU

haut

Rubrique et situation	Question fondamentale et exemple	Formule

I. TIRAGES ET SÉLECTIONS L'ordre compte
1. p-liste Ordre + avec remise	Peut-on réutiliser un objet et l'ordre compte-t-il ? Ex. : former un code de 4 chiffres avec les 10 chiffres.
2. Arrangement Ordre + sans remise	Choisit-on et ordonne-t-on p objets parmi n, sans répétition ? Ex. : choisir et classer 3 élèves parmi 10.
3. Arrangement sous contrainte Arrangement + condition	Quelles dispositions restent possibles si certaines sont interdites ou imposées ? Ex. : placer 3 personnes parmi 5 en interdisant que A et B soient côte à côte.	Pas de formule générale. Selon la contrainte : cas, complément, inclusion-exclusion, récurrence…
4. Dérangement Tous les objets + aucun point fixe	Combien de permutations ne laissent aucun objet à sa place ? Ex. : remettre 4 lettres dans 4 enveloppes, aucune lettre dans la bonne enveloppe.

II. PERMUTATIONS Tous les objets
5. Permutation Tous différents	Comment ordonner tous les n objets ? Ex. : placer 5 livres différents sur une étagère.
6. Permutation circulaire Tous autour d'un cercle	Deux dispositions obtenues par rotation sont-elles considérées comme identiques ? Ex. : placer 6 personnes autour d'une table ronde.
7. Permutation avec objets identiques Certains objets indistinguables	Combien d'ordres différents lorsque certains objets sont identiques ? Ex. : combien de mots (anagrammes) peut-on former avec les lettres de MAMAN ?
8. Coloration Dénombrement sous symétrie	Quelles configurations restent différentes après identification par rotation ou réflexion ? Ex. : colorier les sommets d'un polygone, deux coloriages obtenus par rotation étant considérés comme identiques.	Dépend du groupe de symétries. Outils : Burnside, Pólya…

III. COMBINAISONS L'ordre ne compte pas
9. Combinaison Sans ordre + sans remise	Quels p objets choisir parmi n, sans répétition et sans tenir compte de l'ordre ? Ex. : choisir 3 élèves parmi 10 pour constituer une équipe.
10. Combinaison avec répétition Sans ordre + avec remise	Quels p objets choisir si un même objet peut être choisi plusieurs fois ? Ex. : choisir 4 boules de glace parmi 6 parfums.

IV. RÉPARTITIONS Objets dans des cases
11. Objets distincts → cases distinctes Répartition libre	Dans quelle case va chaque objet ? Ex. : répartir 5 personnes dans 3 bureaux, plusieurs personnes pouvant être dans le même bureau.
12. Objets distincts → cases distinctes, sans case vide Surjection	Dans quelle case va chaque objet, en imposant que toutes les cases soient occupées ? Ex. : répartir 5 personnes dans 3 bureaux, chaque bureau devant recevoir au moins une personne.
13. Objets identiques → cases distinctes Répartition libre	Combien d'objets identiques dans chaque case ? Ex. : répartir 7 objets identiques dans 3 boîtes, une boîte pouvant être vide.
14. Objets identiques → cases distinctes, sans case vide Composition	Combien d'objets dans chaque case, avec au moins un dans chacune ? Ex. : répartir 7 objets identiques dans 3 boîtes, chacune devant en recevoir au moins un.

V. PARTITIONS ET REGROUPEMENTS Les groupes sont indistinguables
15. Partition d'ensemble Objets distincts → groupes identiques, non vides	Comment regrouper n objets distincts en k groupes non nommés ? Ex. : répartir 5 personnes en 2 groupes, sans distinguer le groupe 1 du groupe 2.
16. Partition d'entier Objets identiques → groupes identiques, non vides	De combien de façons écrire n comme somme d'entiers positifs, sans tenir compte de l'ordre ? Ex. : .	ou avec exactement k parts

VI. PRINCIPES ET OUTILS DE COMPTAGE
17. Addition Découpage en cas	Les possibilités peuvent-elles être séparées en cas disjoints ? Ex. : choisir une entrée parmi 3 ou un dessert parmi 5 : .
18. Multiplication Choix successifs	La construction comporte-t-elle plusieurs étapes successives ? Ex. : 2 lettres puis 3 chiffres : .
19. Complément Compter le contraire	Est-il plus facile de compter ce qui est interdit ? Ex. : 24 permutations de 4 objets, dont 12 avec A et B côte à côte : .
20. Inclusion-exclusion	Les cas se chevauchent-ils ? Ex. : compter les éléments appartenant à A ou B en corrigeant ceux comptés deux fois.
21. Bijection	Peut-on établir une correspondance parfaite entre le problème et un ensemble déjà dénombré ? Ex. : transformer un problème de choix en problème équivalent dont le nombre est connu.	Pas de formule propre : même cardinal par bijection.
22. Double comptage	Peut-on compter la même collection de deux façons différentes ? Ex. : compter les couples « personne–activité » par personnes puis par activités.	Deux expressions du même nombre sont égales.

ANALYSE DÉTAILLÉE

I. Tirages et sélections

haut

L'ordre compte

On choisit successivement des objets et leur position dans le résultat est importante.

Arrangement avec répétitions ou p-liste: avec ordre, avec répétition

On effectue p tirages successifs parmi n objets, en remettant l'objet après chaque tirage. Un même objet peut donc être tiré plusieurs fois et l'ordre des tirages compte.

Question fondamentale: L'ordre compte-t-il et un objet peut-il apparaître plusieurs fois ?

Exemple: Un code de 4 chiffres choisi parmi 10 chiffres : 10⁴ = 10 000

À retenir : C’est le cas du « je choisis p fois parmi n, et je peux reprendre le même ».

Piège : Ne pas confondre avec une combinaison avec répétition : ici l’ordre compte.

Arrangement : avec ordre, sans répétition

On effectue p tirages successifs parmi n objets, sans remettre les objets déjà tirés, puis on les ordonne.

Question fondamentale: L'ordre compte-t-il et chaque objet ne peut-il être utilisé qu'une fois ?

Exemple: Choisir et classer 3 personnes parmi 10 :

À retenir : l'ordre des tirages compte. C'est l'arrangements de p objets parmi n. Un arrangement est une p-liste sans répétition.

La permutation apparaît comme le cas particulier avec p = n.

Piège: ne pas confondre avec les combinaison qui ne tiennent pas compte de l'ordre.

Arrangement sous contrainte

On cherche des arrangements, mais certaines dispositions sont interdites ou imposées.

Question fondamentale : Comment compter lorsque le simple ne suffit plus à cause d'une condition supplémentaire ?

Méthodes possibles, selon la contrainte :

compter directement les arrangements autorisés ;

découper en cas ;

compter le complément ;

utiliser une récurrence ;

appliquer inclusion-exclusion ;

construire progressivement les positions.

Exemple : Placer 3 personnes parmi 5, avec l'interdiction que A et B soient côte à côte.

Dérangements

Tous les objets sont placés, mais aucun ne retrouve sa position initiale.

Question fondamentale : Combien de permutations n'ont aucun point fixe ?

Exemple : Pour 4 objets :

À retenir : Le dérangement est un cas particulier de permutation sous contrainte :

tous les objets + aucune position d'origine.

II. Permutations et ordonnancement

haut

Tous les objets sont utilisés

La permutation est le cas où les objets sont tous présents dans le résultat.

Permutation

Disposer dans un ordre les n objets d'un ensemble, chacun étant utilisé une seule fois.

Question fondamentale : Combien de permutations n'ont aucun point fixe ?

Exemple : Pour 4 objets : 4! = 24

À retenir. Une permutation est un arrangement de tous les objets (p = n).

Piège. Avec n objets mais seulement p < n places, on n'est plus dans une permutation complète : c'est un arrangement.

Permutation circulaire

Disposer n objets autour d'un cercle, deux dispositions obtenues par simple rotation étant considérées comme identiques.

Question fondamentale : Les positions absolues ont-elles encore un sens ?

Exemple : 5 personnes autour d'une table : (5 – 1)! = 24

À retenir. On peut fixer un objet pour supprimer les rotations équivalentes.

Attention. Si les réflexions sont elles aussi considérées comme identiques, le calcul change. Il faut préciser quelles symétries sont identifiées. Une disposition circulaire n'est pas nécessairement identique à son image par réflexion. Si les symétries de réflexion sont également identifiées, le problème change.

Permutation avec objets identiques (ou à répétition d'objets)

Tous les objets sont utilisés, mais certains sont indistinguables.

On rencontre naturellement cette situation avec les lettres répétées d'un mot.

Formule: calcul si nobjets comportent des groupes de multiplicités k₁, k₂, …, k₃

Exemple: Le mot MAMAN contient 3 M, 2 A, 1 N. Nombre de dispositions :

À retenir: Les objets identiques ne créent pas de nouvelles dispositions lorsqu'on les échange.

Permutation soumise à des symétries

Des dispositions sont considérées comme identiques lorsqu'elles se déduisent les unes des autres par une symétrie autorisée : rotation, réflexion, etc.

À retenir. Il faut d'abord préciser quelles transformations rendent deux configurations équivalentes.

Piège. Une permutation circulaire ne signifie pas automatiquement que les retournements sont identifiés.

Dénombrement sous symétrie

Plusieurs configurations sont considérées comme équivalentes parce qu'elles se déduisent les unes des autres par une symétrie : rotation, réflexion, etc.

Exemples

colliers ;

coloriages de polygones ;

arrangements sur un cercle avec identification des rotations et/ou réflexions.

Question fondamentale: Deux configurations différentes en apparence représentent-elles en réalité le même objet ?

Outils selon le problème :

quotient par les symétries ;

principe de Burnside ;

lemme de Pólya ;

actions de groupes.

À retenir : Ici, le problème n'est plus seulement de permuter des objets : il faut déterminer quelles configurations doivent être identifiées.

III. Combinaisons

haut

L'ordre ne compte pas

Ici, choisir A puis B produit le même résultat que choisir B puis A.

Combinaison : sans ordre, sans répétitions

On choisit p objets parmi n, sans répétition et sans tenir compte de l'ordre.

Question fondamentale: L'ordre compte-t-il et chaque objet ne peut-il être utilisé qu'une fois ?

Exemple : Choisir 3 personnes parmi 10 :

À retenir

Un arrangement distingue les ordres : ABC ≠ BAC

Une combinaison les identifie : {A, B, C} = {B, A, C}

À retenir : C'est la situation fondamentale de la combinaison.

Combinaison avec répétitions

Choisir p éléments parmi n types, avec possibilité de choisir plusieurs fois le même type, sans tenir compte de l'ordre.

Exemple : Choisir 4 boules de glace parmi 6 parfums, plusieurs boules pouvant avoir le même parfum :

À retenir : C'est le miroir de la p-liste : répétition autorisée + ordre ignoré. On choisit des quantités parmi des types disponibles.

Piège. Ne pas confondre avec : ici l'ordre ne compte pas.

IV. Répartitions

haut

Des objets dans des cases

Répartitions

Que devient le problème lorsqu'on ne cherche plus à ordonner ou à sélectionner les objets, mais à les répartir dans des cases ? Alors, apparaît une structure générale particulièrement importante : le Twelvefold Way.

Le Twelvefold Way : une grille de 12 situations

Pour une répartition de n objets dans k cases, trois questions déterminent la nature du problème.

1. Les objets sont-ils distincts ?

Distincts : A, B et C sont différents.

Indistinguables : seuls comptent les nombres d'objets de chaque type.

2. Les cases sont-elles distinctes ?

Distinctes : boîte 1 et boîte 2 sont différentes.

Indistinguables : échanger les deux boîtes ne produit pas une nouvelle répartition.

3. Quelle occupation est autorisée ?

Quelconque : une case peut recevoir 0, 1, 2, … objets.

Injective : au plus un objet par case.

Surjective : au moins un objet par case.

Ces trois choix donnent 2 × 2 × 3 = 12 situations.

Les 12 situations du Twelvefold Way

Objets	Cases	Quelconque	Injective : au plus 1	Surjective : au moins 1
Distincts	Distinctes
Indistinguables	Distinctes
Distincts	Indistinguables		1 si , sinon
Indistinguables	Indistinguables		1 si , sinon

S(n, k) désigne un nombre de Stirling de seconde espèce ;

P_k(n) désigne le nombre de partitions de l'entier n en exactement k parts.

Première ligne

Objets distincts + cases distinctes

Chaque objet choisit une case.

Sans restriction :

Avec au plus un objet par case :

Avec au moins un objet dans chaque case :

On retrouve donc :

fonction quelconque → injection → surjection.

Deuxième ligne

Objets indistinguables + cases distinctes

C'est une ligne particulièrement intéressante car elle relie plusieurs notions déjà rencontrées.

Quelconque :

→ combinaison avec répétition.

Au plus un par case :

→ combinaison.

Au moins un par case :

→ composition de n en k parts positives.

Ainsi trois problèmes apparemment différents se révèlent être trois cases d'une même grille.

V. Partitions et regroupements

haut

Une distinction fondamentale apparaît maintenant :

Une case distincte possède un nom. Un groupe indistinguable n'en possède pas.

C'est le passage de la répartition à la partition.

Partition d'ensemble

On dispose de n objets distincts et on veut les répartir en k groupes non vides et non nommés.

Formule où S(n, k) est un nombre de Stirling de seconde espèce.

Exemple : Répartir 5 personnes en 2 groupes non nommés :

À retenir : Les groupes sont différents par leur contenu, mais on ne distingue pas le groupe 1 du groupe 2.

Partition d'entiers

On écrit un entier comme somme d'entiers positifs, sans tenir compte de l'ordre des termes.

Exemple

Les partitions de 5 sont :

Il y en a donc :

À retenir 1 + 4 et 4 + 1 représentent la même partition.

VI. Principes et outils de comptage

haut

Les rubriques précédentes décrivent des situations.

Les principes suivants sont des méthodes générales permettant de les résoudre.

Situations et Outils

Cette nomenclature décrit des situations combinatoires. Elle ne doit pas être confondue avec les outils mathématiques permettant de les résoudre.

Un même outil peut donc intervenir dans plusieurs familles.

La formule n'est pas la situation.
C'est une distinction importante pour comprendre la combinatoire : une même formule peut compter des objets dans des contextes très différents, tandis qu'une même situation peut être résolue par plusieurs méthodes.

Outils principaux

le principe additif ;

le principe multiplicatif ;

Complément — compter le contraire;

le raisonnement par complément ;

l'inclusion-exclusion ;

la bijection;

le double comptage

la méthode des blocs ;

la méthode des étoiles et barres ;

les coefficients binomiaux ;

les coefficients multinomiaux ;

les nombres de Stirling ;

les nombres de Bell ;

les raisonnements par récurrence ;

les méthodes utilisant les symétries.

Addition — découper en cas

Si les possibilités sont réparties en cas disjoints, on additionne.

Exemple : Un menu propose 3 entrées ou 5 desserts, avec un seul choix : 3 + 5 = 8

Piège : Les cas doivent être disjoints. Si une possibilité appartient à deux cas, elle risque d'être comptée deux fois.

Multiplication — choix successifs

Lorsque la construction d'une possibilité comporte plusieurs étapes, on multiplie le nombre de choix disponibles à chaque étape.

Exemple : Une plaque comporte 2 lettres puis 3 chiffres : 26² × 10³

Attention : Les choix successifs n'ont pas besoin d'être indépendants.

Par exemple, choisir 3 personnes successivement sans remise donne : 10 × 9 × 8.

Complément — compter le contraire

Lorsqu'il est plus facile de compter les possibilités interdites que les possibilités autorisées :

Exemple : Avec 4 personnes : 4! = 24 dispositions au total.

Si 12 comportent A et B côte à côte : 24 – 12 = 12 dispositions où A et B ne sont pas côte à côte.

À retenir : Parfois, compter le contraire est le chemin le plus court.

Inclusion-exclusion

Lorsque plusieurs ensembles de possibilités se chevauchent, on corrige les doubles comptes.

Pour deux ensembles :

Pour trois ensembles :

À retenir : On additionne les cas, soustrait les chevauchements, puis réajuste les intersections multiples.

Bijection

Pour compter un ensemble difficile, on établit une correspondance un à un avec un ensemble dont le nombre d'éléments est connu.

Si deux ensembles sont en bijection, ils ont le même cardinal.

Question fondamentale : Puis-je remplacer mon problème par un autre problème équivalent mais plus facile à compter ?

À retenir : La bijection ne donne pas nécessairement une formule nouvelle. Elle permet de transférer un dénombrement.

Double comptage

On compte le même ensemble de deux manières différentes.

Si les deux méthodes comptent exactement les mêmes objets :

Cette méthode produit souvent des identités combinatoires remarquables.

À retenir : Une même collection peut parfois être comptée de deux façons ; leur égalité révèle une relation mathématique.

VII. Notions transverses

haut

Certaines notions ne constituent pas des situations particulières : elles interviennent dans plusieurs rubriques.

Multiset

Un multiset est une collection dans laquelle un même élément peut apparaître plusieurs fois.

Par exemple : {A,A,A,B, B, C}

Les multiplicités sont ici : 3, 2, 1.

Le multiset intervient notamment dans :

les permutations avec objets identiques ;

les combinaisons avec répétition ;

certaines répartitions ;

les problèmes portant sur des mots comportant des lettres répétées.

Le multiset est donc une notion transverse, et non une rubrique supplémentaire de la taxonomie.

Fonction

Dans le Twelvefold Way, répartir objets distincts dans cases distinctes revient à associer à chaque objet une case.

C'est une fonction :

Cela donne :

fonctions possibles.

Injection et surjection

Injection

Une fonction est injective si deux objets différents ne peuvent pas être envoyés dans la même case.

Chaque case reçoit donc au plus un objet.

Surjection

Une fonction est surjective si toutes les cases sont utilisées.

Chaque case reçoit donc au moins un objet.

Partition

Une partition regroupe des objets en classes ou en blocs sans donner de nom aux groupes.

C'est pourquoi la partition d'ensemble et la partition d'entier occupent une place particulière dans la taxonomie du domaine combinatoire.

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