Accueil Orientation générale Barre de recherche

DicoNombre DicoMot Math DicoCulture

Atlas des maths Rubriques Index alphabétique

Nouveautés Actualités Références

Édition du: 09/03/2026 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Itérations Rubriques	Itérations – Cycles
	Suite de Fibonacci	Triangle de Pascal	Triangle de Leibniz
	Algorithme de Kaprekar	Cycle de Syracuse	Cycle des Carrés
	Nombres de Kaprekar	Cycle de Syracuse Géné.	Suite de Padovan
	Cycle-cube et 153	Nombres Chanceux	Suite de Steinhaus
	Cycle de Keith	Racines numériques	Somme x Produit
	Powertrain	De base en base	Suite Q d'Hofstadter
	Nombres de Gilda	Premier Maison	Carré + 1

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

CYCLE en n² + 1 Appliquer cette itération à n et retrouver n dans le nombre itéré. Le cas du nombre 2026 est à remarquer, car ce nombre fait partie des années courantes. Note : les nombres, qui au carré, se retrouvent en fin de carré sont les nombres automorphiques.
	Sommaire de cette page >>> Cas du nombre 2026 >>> Cycle ou Itération en n² + 1 >>> Coin technique >>> Explications détaillées	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Cycle en n² + 1 pour le nombre 2026

Voir Nombre 2026 / Brève 66-1311

Cycle ou Itération en n² + 1			haut
Procédure Choisir un nombre de départ n. Calculer l’itération n = n² + 1 Arrêt si le nouveau nombre se termine par n. En commençant par n = 0 , il faut 6 itérations		Exemple n = 0 n = 0² + 1 = 1 n = 1² + 1 = 2 n = 2² + 1 = 5 n = 5² + 1 = 26 n = 26² + 1 = 677 n = 677² + 1 = 458 330
Trois premiers cas	n = 0, longueur = 7, L = [0, 1, 2, 5, 26, 677, 458330] n = 1, longueur = 7, L = [1, 2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901] n = 2, longueur = 7, L = [2, 5, 26, 677, 458330, 210066388901, 44127887745906175987802]
Liste de tous les nombres jusqu’à 3000 avec moins de 20 itérations Il y a 14 cas et tous avec sept itérations (y compris le nombre de départ) On donne le dernier nombre avec le final comportant le nombre de départ	n = 0, 7, 458330 n = 1, 7, 210066388901 n = 2, 7, 441 2788774590 6175987802 n = 5, 7, 194727 0476915296 4495597034 4549384893 0452791205 n = 6, 7, 1 5400361863 8170984765 0863257579 5257161700 8781992026 n = 7, 7, 23432 5538173813 0361768030 5511334135 3964080908 6810400677 n = 26, 7, 3 7918623102 6592608286 8235028027 8932773702 3315224738 8584761734 1507177682 5441034117 5325352026 n = 30, 7, 35579 6663339825 4848485460 8122643332 9154880906 2908204176 0279682364 9997794708 1128976806 7186954330 n = 77, 7, 5 4670165078 3639813468 0388845718 4256104944 5828409849 0092463714 7814838804 7056656797 2832757878 2765856484 4790786307 1544864677 n = 205, 7, 89655678 5384856416 3403220417 5826827123 4281183013 0234736752 1429267504 9640287911 0351121356 0088124318 7755311324 6117814103 8472806014 5640234951 9490871205 n = 330, 7, 15 3115715652 4470355803 4722027341 2732931021 7190908326 1968656915 7475837713 6746080549 1752656263 5853442797 6564112419 7708084970 9621429430 2171921526 8135903088 1668874330 n = 677, 7, 14 3782197800 1524628181 8710879551 1676975961 9376766373 6497089725 5243860876 5739055615 2293078723 1532934233 5333087985 6663164406 8096156880 8229785952 6620035327 2914421564 9838079504 0822304677 n = 802, 7, 736514 2886644975 3439649510 4623537746 8618769927 3356182409 3846284366 1670613912 0516806815 5860461931 0276379193 9261219941 0204124509 6913810940 1247358675 6310092198 6024126306 1510574127 1480307802 n = 901, 7, 1265912656 4375311613 8420872356 7332740287 5696455369 3443291543 0476430129 5403725398 2841637543 2285374341 5941585235 8051484670 1358859883 1333956098 0433336736 1410155192 4332113865 3867771214 1505748901 n = 1205, 7, 15246865 6463099311 4139145316 3143703194 1505945659 6063859498 9323638206 9283800012 9904958816 6130254360 0600901905 2062733079 5044552219 5518947413 6060848162 9539216671 5834095220 5855725191 7412204665 0409271205 n = 2026, 7, 42 1626220438 2058947576 3301393483 2949855888 5059750149 6703159869 505429422415405447935 0564265218 1734936693 2281173228 0276482427 6355718732 8577506503 7424861455 0219313663 1059483236 2639814791 4904789382 8475561779 562152026
Liste	0, 1, 2, 5, 6, 7, 26, 30, 77, 205, 330, 677, 802, 901, 1205, 2026, 4330, 4677, 7802, 8901, 48901, 52026, 71205, 74330, 107802, 152026, 271205, 474330, 904677, 948901, 2152026, 5904677, 7271205, 8948901, 9107802, 10474330, 22152026, 55904677, 77271205, 88948901, .. OEIS A350130

Coin technique			haut
Analyse des unités des nombres itérés Observation : on liste ls unités des nombres itérés 1) Cycle de six nombres. 2) Pour ces nombres (0, 1, 2, 5, 6, 7), le cycle se termine par le nombre de départ. 3) Ce n’est pas le cas pour les autres. Inutile de calculer ces nombres (3,4, 8, 9) ne se termineront jamais par le nombre de départ.	0 [1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, …] 1 [2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, …] 2 [5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, …] 3 [0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, …] 4 [7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, …] 5 [6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, …] 6 [7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, …] 7 [0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, …] 8 [5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, …] 9 [2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 0, 1, 2, …]
Unités des carrés En observation les seules unités possibles pour les carrés, on retrouve les seules possibilités pour n² + 1. Et cette propriété est valable quelle que soit la valeur de n.		Seules possibilités des unités Pour n² : 0, 1, 4, 5, 6, 9. Pour n² + 1 : 1, 2, 5, 6, 7, 0.
Mathématiquement Avec k, la quantité d’itération ; Et d, la quantité e chiffres de n. Ce problème relève de la théorie générale des itérations et points périodiques (théorie avancée des nombres).
Observations modulo 10 000 Il existe un cycle sur six valeurs		1205² + 1 ≡ 2026 2026² + 1 ≡ 4677 4677² + 1 ≡ 4330 4330² + 1 ≡ 8901 8901² + 1 ≡ 7802 7802² + 1 ≡ 1205

Explications détaillées		haut
Quand n² + 1 fait apparaître des cycles Les mathématiques réservent parfois des surprises inattendues. Prenons une règle extrêmement simple : partir d’un nombre entier et lui appliquer toujours la même transformation. La transformation choisie est : f(x) = x² + 1 Autrement dit : on prend un nombre, on le met au carré, puis on ajoute 1. Par exemple, si l’on part du nombre 2 : 2 → 5 → 26 → 677 → 458330 → … Les nombres deviennent très vite énormes. Mais si l’on ne conserve que les quatre derniers chiffres à chaque étape, la situation change complètement.	Une expérience numérique surprenante Imaginons que l’on travaille uniquement avec les quatre derniers chiffres de chaque résultat. Autrement dit, à chaque étape on garde le reste de la division par 10 000. Partons par exemple de 1205. On calcule successivement : 1205 → 2026 2026 → 4677 4677 → 4330 4330 → 8901 8901 → 7802 7802 → 1205 Et là, surprise. Nous revenons exactement au nombre de départ. Le processus recommence alors indéfiniment : 1205 → 2026 → 4677 → 4330 → 8901 → 7802 → 1205 → … Un cycle de longueur 6 apparaît.
Pourquoi les cycles sont inévitables Ce phénomène n’est pas un accident. Lorsque l’on ne garde que les quatre derniers chiffres, il n’existe en réalité que 10 000 nombres possibles : de 0 à 9999. Or chaque nombre possède un unique successeur obtenu par la règle n² + 1. On a donc un système fini où chaque nombre pointe vers un autre. Dans une telle situation, deux comportements seulement sont possibles : Soit la suite finit par tomber sur un nombre déjà rencontré ; Soit elle entre dans une boucle qui se répète. Autrement dit : toute trajectoire finit forcément par un cycle. La vraie question devient alors : quelles longueurs de cycles sont possibles ?	Un cycle particulièrement stable Les calculs montrent qu’un cycle de longueur 6 apparaît déjà avec les nombres à quatre chiffres : 1205 → 2026 → 4677 → 4330 → 8901 → 7802 → 1205 Plus surprenant encore : ce cycle ne disparaît pas si l’on travaille avec davantage de chiffres. Par exemple, avec cinq chiffres : 52026 → 24677 → 94330 → 98901 → 07802 → 01205 → 52026 La structure est la même : les derniers chiffres suivent exactement le même cycle. En réalité : Ce cycle existe pour toutes les puissances de 10 : 10⁴, 10⁵, 10⁶, etc. Pourquoi cette remarquable stabilité ?
Une idée clé : décomposer le nombre 10 Pour comprendre ce phénomène, il faut observer que : 10 = 2 × 5. Plus généralement : 10ᵏ = 2ᵏ × 5ᵏ. Travailler avec les derniers chiffres d’un nombre revient donc à combiner deux comportements indépendants : Ce qui se passe modulo 2ᵏ ; et Ce qui se passe modulo 5ᵏ. Cette idée est formalisée par un résultat classique appelé théorème des restes chinois. Théorème Étudier un phénomène modulo 10ᵏ revient à étudier séparément : Le phénomène modulo 2ᵏ, Le phénomène modulo 5ᵏ, Puis à combiner les deux.	Ce qui se passe modulo 2ᵏ Regardons maintenant l’itération de la fonction n² + 1 lorsque l’on travaille modulo une puissance de 2. Un petit calcul modulo 16 donne par exemple : 2 → 5 → 10 → 2 On obtient un cycle de longueur 3. Et ce cycle ne disparaît pas lorsque l’on augmente la puissance de 2 : il se prolonge modulo 32, 64, 128, etc. Autrement dit, la dynamique de la transformation n² + 1 possède naturellement des cycles de longueur 3 dans l’univers des puissances de 2. Ce qui se passe modulo 5ᵏ Faisons maintenant la même observation avec les puissances de 5. Dans ce cas, les calculs montrent l’existence d’un cycle de longueur 2 : a → b → a Là encore, cette structure persiste lorsque l’on passe de 5 à 25, 125, 625, etc. La dynamique liée aux puissances de 5 crée donc naturellement des cycles de longueur 2.
La rencontre des deux dynamiques Lorsque l’on travaille modulo 10ᵏ, les deux phénomènes se combinent. Un nombre doit revenir à sa position initiale : après 3 étapes pour la partie liée à 2ᵏ, après 2 étapes pour la partie liée à 5ᵏ. Pour que les deux retours coïncident, il faut attendre le plus petit nombre d’étapes multiple de 3 et de 2. Ce nombre est le PPCM (3,2) = 6. La combinaison des deux dynamiques produit donc naturellement un cycle de longueur 6.
Une vision encore plus profonde Derrière cette explication se cache une idée encore plus riche. Les mathématiciens étudient ces phénomènes dans un domaine appelé dynamique arithmétique. On y analyse le comportement des itérations de fonctions polynomiales sur les entiers ou sur les nombres p-adiques. Dans cette perspective, les nombres que nous écrivons sous forme décimale (1205, 2026, etc.) ne sont que les premières approximations d’objets plus profonds appelés nombres 10-adiques. Dans cet univers : Il existe exactement six nombres qui forment un cycle parfait pour la transformation n² + 1. Les nombres que nous voyons apparaître dans nos calculs ne sont que leurs ombres décimales.	Une leçon de mathématiques Ce petit jeu avec la fonction n² + 1 illustre parfaitement une idée centrale des mathématiques : Une règle extrêmement simple peut produire des structures riches et inattendues. À partir d’une transformation élémentaire et de quelques calculs numériques, on découvre : L’apparition inévitable de cycles, Une structure arithmétique cachée, Et un lien profond avec la décomposition des nombres. Ainsi, derrière la suite apparemment innocente 1205 → 2026 → 4677 → 4330 → 8901 → 7802 se cache toute une architecture mathématique où se rencontrent arithmétique, dynamique et théorie des nombres. Et tout cela commence simplement… par un carré et un +1.

Pour aller plus loin

Quelques expressions (en vrac) pour ceux qui voudraient poursuivre des recherches sur ce domaine de la théorie des nombres (niveau avancé).

Théorie du point fixe Méthodes itératives de type point fixe Relèvement p-adique (type lemme de Hensel) The arithmetic of dynamical systems Arithmetic dynamics quadratic polynomials modulo p^k Lifting (type Hensel) des cycles

Haut de page (ou double-clic)

Suite	Autres séquences de ce type Nombres narcissiques Retournés et premiers Cycle de Syracuse Autres en haut de page
Voir	Boucle infernale Calcul mental Division qui retourne le nombre Géométrie Nombres automorphiques Nombre Harshad	Nombres retournés Palindrome retard Preuve par neuf en pratique RADD Récurrence Théorie des nombres
Diconombre	Nombre 2026
Sites	Fixed-point iteration – Wikipedia
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Iteration/CarreP1.htm