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Le CYCLE ou le PROBLÈME 3x + 1 Conjecture ou problème ou cycle ou transformation
Il s'agit
d'une séquence très simple d'opérations sur les nombres qui ramène toujours
au même endroit, le nombre 1. D'abord un amusement, cette étonnante suite est devenue troublante pour les
mathématiciens qui ne se lassent pas de l'explorer sans avoir encore réussi à
la domestiquer. Statistique sur les temps d'arrêt jusqu'à 100
millions => |
Voir Découverte Junior des cycles
tels que celui de Syracuse / Conjectures
En bref
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Citations
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Selon Paul Erdös (1913-1996), Richard
Guy (1983) et Jeffrey Lagarias (2010), les mathématiques ne seraient pas
encore assez mûres pour espérer résoudre cet innocent petit problème.
1 Ripe (mûr) semble être l'original plutôt que ready (prêt). Traduction: Les mathématiques
sont sans doute pas prêtes (mûres) pour de tels problèmes. Ne tentez
pas de résoudre de tels problèmes. C'est un problème extraordinairement
difficile, complètement hors d'atteinte des mathématiques actuelles. |
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Le mathématicien Terence Tao vient de
démontrer que: Théorème La
conjecture est "presque" vraie pour "presque" tous les
entiers. Presque vrai pour une
propriété P en math signifie que le rapport n(P) / n tend vers 1 pour n
tendant vers l'infini. Sachant que l'on compte n(P), la quantité de nombres
plus petits que n et vérifiant la propriété P. La démonstration de
Terence Tao est plus générale et s'applique à une fonction f(n) qui associe
un nombre réel à un entier n et qui tend vers l'infini lorsque n tend vers
l'infini. Il choisit des entiers représentatifs. Pour cette conjecture, il
s'agit de la congruence par toutes les puissances de 3. Cette démonstration ne
conclut pas que l'aboutissement est le nombre 1, mais passe toujours par un
minimum. Tao conclut: You can get as close as you want to the Collatz conjecture, but it’s
still out of reach. (La
conjecture de Collatz peut être approchée d'aussi près que l'on veut, mais
elle est toujours hors de portée). Tous les nombres jusqu'à
environ 1020 ont été testés positivement à cette conjecture. |
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Approche
si le nombre
est impair on le gonfle s'il est pair
on l'amorti.
Règle
Exemple départ avec 5
La procédure nous entraîne vers 1. En poursuivant nous entrons dans une
boucle avec le 4. Exemple départ avec 13
Après quelques étapes, nous rencontrons
le 5, objet de l'exemple précédent. Avec 13, la procédure conduit également
vers le 1 et sa boucle en 4. |
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Quantité
d'étapes pour atteindre le nouveau passage par n (en rose).
Numérateur
= max / 2, et Note: chaque
auteur précise ces notions en tête de leurs articles. |
Voir ce même graphique pour n = 27 |
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Conjecture Pour tout n, la fin de cycle est
1. Pas
encore démontrée, mais vérifiée jusqu'à n = 1020
.
Voir Présentation sous forme d'un arbre On
donne le nombre et son temps de vol (comme 7 avec un temps de vol de 16). Le
nombre qui suit est celui qui produit un temps de vol supérieur (ici 9 avec
un temps de vol de 19). On
a effectivement: [7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8,
4, 2, 1] – 16 étapes [8, 4, 2, 1] [9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,
10, 5, 16, 8, 4, 2, 1] Voir Programme Table des records de
durée de vol pour n de 1 à 1 000 000
J'ai été étonné de trouver (chez beaucoup
d'amateurs de cette suite) un nombre pair le 54 (vol 112) juste après le 27
(vol 111), ce qui me semble une évidence car 54 est l'antécédent de 27 (54/2)
et dans ce cas 108, 216, etc. vont être des records trop faciles à atteindre. En fait seul les multiples
de 3 sont des records intéressants car ils n'ont pas d'antécédents en dehors
des multiples de 2, les nombres de la forme 3x+1 ou 3x+2 ont un antécédent
relativement simple à calculer. Puisqu'on parle de vol, disons qu'ils sont
sur la même "ligne". Par exemple j'ai trouvé ce
record sur le site Calculis: durée de vol 2284 du nombre
2361235441021745907775 avec la Calculatrice
en ligne webCalc. N = 2361235441021745907775
(3x + 1) pour remonter vers l'antécédent on calcule [(N – 1)/
3] × 4 + 1 car les successeurs des nombres de la forme 4X + 1 sont 3
× (4X + 1) + 1
= 4 × (3X + 1)
soit 3X + 1 après les divisions par 2.
3148313921362327877033 (3x + 2) dans ce cas il faut multiplier
par 2 ce qui nous ramène à un nombre de la forme 3 × (2x + 1) + 1 et on peut calculer [(N – 1) /
3] × 4 + 1
8395503790299541005421 (3x + 1)
11194005053732721340561 (3x + 1)
14925340071643628454081 (3x + 0) =3 × 4975113357214542818027 fin de la remontée mais nouveau RECORD. Calcul
des antécédents:
7 (3 × 2 + 1)
antécédent 9= 4 × 2 + 1
=> 3 × 9 + 1 = 28 => 14 => 7 25 (3 × 8 +
1) antécédent 33= 4 × 8 +
1 73 (3 × 24 + 1) antécédent 97= 4 × 24 + 1 97 (3
× 32 + 1) antécédent 129= 4 × 32 + 1 |
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Voir Cas du nombre 27/ Suite en Tables valeurs et records
Organisation
en rond des suites de Collatz
Extrait de la
séquence animée sur 19 itérations de Jason Davies – À voir absolument!
Figure aussi
en Mathematician Proves Huge
Result on ‘Dangerous’ Problem – Kevin Hartnett
Représentation
esthétique en arbre (il en existe d'autres de ce type)
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Il existe
une constante C telle que, si n est assez grand, alors le nombre de valeurs
inférieures à n qui atterrissent en 1 est supérieur à nC.
Cycle
Approche
probabiliste
Voir Point de la situation concernant la démonstration
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Photo de
1990 => Dans les années
1930, il étudie les œuvres d'Edmund Landau, Oskar Petron et Isaac Schur. Il
s'intéresse aux fonctions en théorie des nombres et à la théorie des graphes.
Il a l'idée de conjuguer les deux domaines et de s'interroger sur la
structure graphes en relations avec le comportement des fonctions. En 1932, il
s'intéresse à une fonction qui progresse selon le mod 3 (voir encadré).
Il formalise
la conjecture qui porte son nom en 1937 sans la publier. En 1950, il la
présente dans divers séminaires. En 1952, il la présente à Helmut Hasse,
lequel la diffuse à l'université de Syracuse. De son côté, Stanislas Ulam en
fait état au Laboratoire national de Los Alamos. La conjecture atteint Yale
et Chicago dans les années 1960 avec Shizuo Kakutani. Elle créa un
tel engouement auprès des mathématiciens durant la guerre froide que certains
plaisantaient en faisant croire à un complot soviétique destiné à ralentir le recherche américaine.
De nombreux
mathématiciens se sont cassés les dents sur un problème pourtant bien simple
en apparence. La conjecture à ce jour n'est toujours pas démontrée. Elle a
été testée à maintes reprises avec de puissants moyens de calcul. Le record
actuel est de 262 (= 4.6… 1018) obtenu par Tomas
Oliveira e Silva depuis 2009.
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Voir Variantes du
cycle de Collatz
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