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PUZZLES ARITHMÉTIQUES

Cryptarithmes ou Arithmétique verbale

Aussi: alphamétique ou cryptarithmétique

Arithmétique cryptée

Cryptogrammes

Alphametic

Casse-tête, cryptogramme, pour lequel une lettre correspond à un chiffre. On donne l'opération en lettres, il faut trouver celle en chiffres.

Lorsque les lettres ont une signification J. Hunter a introduit le terme: alphametic.

Quatre beautés (mais pas toujours au rendez-vous):

une manière logique de le résoudre;

tous les chiffres sont utilisés (0 à 9);

la solution est unique; et

les mots sont significatifs.

Anglais: Verbal arithmetic, alphametics, cryptarithmetic, cryptarithm or word addition

Pour un cryptarithme avec résolution expliquée en détail voir

One two five eight

Pour le fun, trouvez celui-ci

Voir Solution

Alphamétique

Définition

Cryptarithme dans lequel les éléments forment des mots qui ont une signification. Une opération en mots ayant un sens est proposée; il faut trouver les chiffres associés à chaque lettre pour obtenir une opération exacte.

Historique

SEND + MORE = MONEY => 9567 + 1085 = 10 652

Le premier alphamétique connu, proposé par Ernest Dudeney (1857-1930).

Le nom a été donné en 1955 par James Aiston Hope Hunter (canadien).

Exemples

CINQ × SIX = TRENTE => 5409 × 142 = 768 078

FRAISE + CITRON + CERISE = RAISIN => 297 610 + 368 945 + 309 610 = 976 165
LIMACE × 3 = MALICE => 123 750 × 3 = 371 250*

PAPA + PAPA = MAMAN => 7 575 + 7 575 = 15 150* (Voir résolution ci-dessous)

Cas AB + CD = EF
12 + 35 = 47 est une solution parmi 238 (zéro admis).
124 + 659 = 783 est une solution parmi 168 (zéro non admis).

* Créé par Matthieu Dufour

Pour se lancer

Voir Brève 875

Cryptarithme à trois chiffres

Cette addition ne comporte que trois chiffres différents, chacun est représenté par une lettre.

Rétablir la solution unique.

			A	A
		B	A	B
	C	B	C	B
+	C	B	A	A
	B	A	C	B

Avec si peu d'inconnues, les équations semblent un bon moyen.

L'addition est donc posée sans oublier de tenir compte des retenues.

Idée: garder les retenues comme seules inconnues, car elles ne prennent que peu de valeurs (0, 1 ou 2).

			A	A
		B	A	B
	C	B	C	B
+	C	B	A	A
+	t	s	r
	B	A	C	B

Aux extrêmes, les équations sont simples.

2A + 2B = 10r + B => B = 10r – 2A

2C + t = B => C = (B – t) /2

En utilisant la représentation décimale des nombres, la somme complète s'écrit:

		10A	+A
	100B	+10A	+B
1000C	+100B	+10C	+B
1000C	+100B	+10A	+A
1000B	+100A	+10C	+B

32A + 302B + 2010C = 100A + 1001B + 10C

68A + 699B = 2000C

En remplaçant B et C:

68A + 699(10r – 2A) = 1000(10r – 2A – t)

670A = 3010r – 1000t

Or r et t valent (0, 1, 2)

Calcul ou tableur =>

t, r	0	1	2
0	0,00	4,49	8,99
1	-1,49	3,00	7,49
2	-2,99	1,51	6,00

Valeur entière de A (= 6) seulement pour r = t = 2

Calcul de B et C:

B = 10r – 2A = 20 – 12 = 8

C = (B – t)/2 = (8 – 2)/2 = 6

Seule solution =>

Une exploration par programmation confirme cette unicité.

			6	6
		8	6	8
	3	8	3	8
+	3	8	6	6
	8	6	3	8

Merci à Claude Renouf pour l'idée de cette énigme

Cas simples pour mise en bouche

Résoudre cette opération où chaque couleur représente un chiffre.

Solution

Unités:
0 + 0 + 0 = 0 ne convient pas car la somme serait nulle.
5 + 5 + 5 = 15 convient avec retenue de 1.

Dizaines: 3d + 1 = …5 => d = 8 avec 2 de retenue.

Centaines: 3c + 2 = 5 = > c = 1.

Bilan: 3 x 185 = 555.

Il existe sept nombres à trois chiffres dont le triple est un repdigit: 111x3 = 333; 148x3 = 444; 185x3 = 555; 222x3 = 666; 259x3 = 777; 296x3 = 888 et 333x3 = 999.

Seul 185 reproduit ses unités (555).

Notez que: 37 x 3 = 111 et 74 x 3 = 222.

	1	8	5
	1	8	5
+	1	8	5
	5	5	5

Chaque lettre doit être remplacée par un chiffre

Après deux essais, la solution est trouvée

Exemple avec les quatre plus petits nombres premiers

Cité par Martin Gardner en 1962, sans doute plus ancien.

Voir Nombre 25 575

ADDITIONS CLASSIQUES

Soleil, sable et bikini

+	S	O	L	E	I	L	=>	4	9	6	7	3	6
		S	A	B	L	E			4	1	5	6	7
	B	I	K	I	N	I		5	3	8	3	0	3

Solution unique, bien sûr

Cryptarithme "casse-tête", même en indiquant que le chiffre 2 n'est pas utilisé.

Voir Résolution de ce problème

Four, way et stop

Question

	F	O	U	R
+		W	A	Y
=	S	T	O	P

Solution

	1	9	5	6
+		8	3	4
=	2	7	9	0

Clou, ocue et zero

Question

	C	L	O	U
+	O	C	U	E
=	Z	E	R	O

avec OCUE = 2 x CLOU

Solution

	3	1	6	2
+	6	3	2	4
=	9	4	8	6

Stir, two et wheat

Question

		S	T	I	R
+			T	W	O
=	W	H	E	A	T

Solution

		9	7	5	4
+			7	1	3
=	1	0	4	6	7

Cette solution ne respecta pas la règle: R et E devraient être différents. Mais …

Ce cryptarithme est faible. En effet, il y a bien dix lettres différentes pour dix chiffres, mais: aucune solution sans chiffre doublé et chiffre manquant.

Alors, il existe des dizaines de solutions (plus de 80), comme les six suivantes:

Merci à M Barcanan pour ses remarques

Send more money

Question

		S	E	N	D
+		M	O	R	E
=	M	O	N	E	Y

Solution

		9	5	6	7
+		1	0	8	5
=	1	0	6	5	2

Solution unique, bien sûr

Cats hate dogs

Question

	C	A	T	S
+	H	A	T	E
=	D	O	G	S

Solution

	1	2	3	5
+	7	2	3	0
=	8	4	6	5

Cette énigme a 288 solutions. Celle présentée est la plus petite pour CATS. Pour toutes, E vaut évidemment 0. Conclusion, toute solution comportera tous les chiffres de 0 à 9, sauf un.

Quelques solutions avec mise en évidence des chiffres utilisés

Énigme "HELLLO"		haut
Problème Résoudre ce cryptarithme en HELLO. Piste La répétition des lettres sur une colonne permet de transformer une addition en multiplication. Ainsi: O + O + O + O + O = 5O Seule possibilité: O = 5 et 5O = 25 O = 5 avec une retenue de 2. Résolution	Énoncé Solution

Voir Brève 66-1305

Donald, Gerald et Robert

Question

	D	O	N	A	L	D
+	G	E	R	A	L	D
=	R	O	B	E	R	T

Solution

	5	2	6	4	8	5
+	1	9	7	4	8	5
=	7	2	3	9	7	0

On donne D = 5 au départ pour faciliter la recherche

Beau, car tous les chiffres sont présents

Solution unique, bien sûr

Ce problème est souvent donné comme exercice aux étudiants en programmation ou en intelligence artificielle

Introduire ces trois noms dans un moteur de recherche et vous aurez les sites qui en parlent

Résolution pas à pas

Valeur

Explications

Cryptogramme

D = 5

T = 0

Proposé dans l'énoncé

D + D = 10

Notons la retenue 1 pour la colonne L + L

Bilan des chiffres utilisés

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T					D

1 

5ONAL5
+GERAL5
 ROBER0

E = 9

O + E = O

Deux possibilités

Sans retenue: O reste O si on lui ajoute 0

=> E = 0, or 0 est déjà pris

Avec retenue: O reste O si on lui ajoute 1 et 9

=> E = 9 avec une retenue

Notons tout de suite la retenue

Et celle qui va être engendrée par l'addition

de 1 + O + 9 = O

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T					D				E

11 1

5ONAL5
+G9RAL5
 ROB9R0

R = 7

L + L = 2 L est pair

R = 2L + 1 est impair

La colonne de gauche montre que R est supérieur à 5

Or, le seul impair disponible, supérieur à 5, est 7

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T					D		R		E

11 1

5ONAL5
+G97AL5
7OB970

G = 1

L'opération est immédiate en colonne de gauche:

1 + 1 + 5 = 7

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T	G				D		R		E

11 1

5ONAL5
+197AL5
7OB970

A = 4

A + A = 2A pair

Or le résultat est 9 qui est impair

=> A = 4 et 4 + 4 + 1 = 9

Il y a une retenue

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T	G			A	D		R		E

11 11

5ON4L5
+1974L5
7OB970

L = 8

Car 1 + 2L = 17

Et 2L = 16 => L = 8

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T	G			A	D		R	L	E

11 11

5ON485
+197485
7OB970

N = 6

B = 3

Posons l'équation, en tenant compte de la retenue

N + 7 = 10 + B

Il reste seulement trois chiffres: 2, 3 et 6

N = 2 ne convient pas

N = 3 donne B = 0, non!

N = 6 donne B = 3, c'est la solution

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
T	G		B	A	D	N	R	L	E

11 11

5O6485
+197485
7O3970

O = 2

Le seul qui reste

526485
+197485
723970

Voir Résolution par programmation / Autre cryptarithme résolu par programmation

ADDITION RÉSOLUE

Résoudre

ROLLS + ROYCE = AUTOS

pour AUTOS minimum

	R	O	L	L	S
+	R	O	Y	C	E
=	A	U	T	O	S

Solution

D'abord: S + E = S => E = 0.

AUTOS minimum => recherche solution avec R = 1

	1	O	L	L	S
+	1	O	Y	C	0
=	2	U	T	O	S

Si O = 3 (2 déjà pris) alors U vaut 6 ou 7

Il reste 4, 5, 7 ou 6, 8 et 9.

L'addition L + Y aura toujours une retenue, même si on prend 4+5 =9,

car la somme précédente (L+C=3 avec L et C différents de 1 ou 2 déjà pris) produit une retenue.

U = 7. En poursuivant on tombe sur une impossibilité.

Si O = 4, U vaut 8 ou 9; En essayant de poursuivre, ça ne marche pas;

Si O = 5, U vaut 0 ou 1, déjà utilisés

Si O = 6:

	1	6	L	L	S
+	1	6	Y	C	0
=	3	2	T	6	S

A vaut 3, il a une retenue et U ne peut prendre que la valeur 2 ( "3 étant déjà prise).

Or avec les chiffres qui restent, on ne peut pas produire L+Y sans retenue.

Si O = 7, U vaut 4 ou 5. Essayons 4, valeur la plus faible:

	1	7	L	L	S
+	1	7	Y	C	0
=	3	4	T	7	S

Chiffres encore disponibles: 2, 5, 6, 8 et 9

Seule façon pour L + C = 7 => L = 2 et C = 5 ou l'inverse.

En essayant, on trouve la solution:

	1	7	2	2	9
+	1	7	6	5	0
=	3	4	8	7	9

Voir nombre 34 879

---

ADDITIONS MULTIPLES

Question

		F	L	Y
		F	O	R
+	Y	O	U	R
=	L	I	F	E

Indices

O = 0 et I = 1

Solution

		5	9	8
		5	0	7
+	8	0	4	7
=	9	1	5	2

ADDITIONS À MOTIFS

Question

		A	A	A	A
		B	B	B	B
+		C	C	C	C
=	B	A	A	A	C

Solution

		9	9	9	9
		1	1	1	1
+		8	8	8	8
=	1	9	9	9	8

Explications

Unités	A + B + C = 10 + C A + B = 10
Dizaines	A + B + C + 1 = 10 + A B + C + 1 = 10 B + C = 9
Milliers	Rien à déduire
Dix milliers	A + B + C + 1 = 10.B + A B + C + 1 = 10.B
Substitution B + C = 9	9 + 1 = 10.B B = 1
Avec A + B = 10	A = 9
Avec B + C = 9	C = 8

Dans sa plus simple expression et dans sa forme générique

Voir Nombre 198

Cas de 2026 et autres

Deux solutions, dont un seule sans "0": Solutions pour N = 2026 : a = 0, b = 9, c = 7, d = 4 a = 1, b = 4, c = 7, d = 4 Nombre total de solutions : 2
Solutions pour N = 1000 : a = 0, b = 4, c = 6, d = 5 a = 0, b = 5, c = 0, d = 0 a = 1, b = 0, c = 0, d = 0 Nombre total de solutions : 3	Solutions pour N = 1234 : a = 0, b = 5, c = 7, d = 6 a = 0, b = 6, c = 1, d = 1 a = 1, b = 0, c = 7, d = 6 a = 1, b = 1, c = 1, d = 1 Nombre total de solutions : 4
Solutions pour N = 2000 : a = 0, b = 9, c = 6, d = 5 a = 1, b = 4, c = 6, d = 5 a = 1, b = 5, c = 0, d = 0 a = 2, b = 0, c = 0, d = 0 Nombre total de solutions : 4	Solutions pour N = 2008 : a = 0, b = 9, c = 6, d = 7 a = 1, b = 4, c = 6, d = 7 a = 1, b = 5, c = 0, d = 2 a = 2, b = 0, c = 0, d = 2 Nombre total de solutions : 4

Solution

Si vous lisez à l'envers vous trouverez l'égalité

77 x ( 7 + 7 – 1 ) = 1001

Génial, non!

D'après Jean-Louis Alexandre

Voir Chiffres romains pour une autre du même type

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