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Édition du: 10/03/2026 M'écrire Brèves de Maths

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Addition

	Comment changer d'année avec un blague arithmétique (Rappel: n^0 = 1).
2 026 = /	Aucune somme de nombres premiers consécutifs.
2 026 = 1013 + 1013 = 23 + 2003 2 026 = 797 + 1229 = 929 + 1097	Le nombre 2026 est 32 fois somme de deux premiers. Ici, sommes de deux premiers l'un équilibré et l'autre déséquilibré (plus petit et plus grand premiers possibles). Il n'existe que deux cas où l'un des deux termes est palindrome.
2 026 = 23 + 2003 = 2 + 7 + 207 = 3 + 5 + 7 + 2011	Sommes de jusqu'à 4 nombres premiers distincts. Les plus petites dans chaque cas. Sinon, ces partitions sont très nombreuses (90 238).
2 026 = 1012 + 1014	Seule somme de nombres pairs consécutifs; aucune avec les nombres impairs.
2 026 = 505 + 506 + 507 + 508	Nombre 1-poli: seule somme de nombres consécutifs.
2026 = T1 + T44 + T45 = 1 + 990 + 1035	Tout nombre est la somme de trois nombres triangulaires (théorème de Gauss). En l'occurrence, il y a 32 telles partitions. Si on calcule la solution présentée, on retrouve naturellement sur 2026 = 1 + 45². Liste des triplets dont la somme vaut 2026: (0, 4, 63), (0, 34, 53), (1, 44, 45), (2, 22, 59), (3, 19, 60), (4, 38, 50), (5, 15, 61), (5, 24, 58), (6, 30, 55), (6, 39, 49), (7, 9, 62), (9, 31, 54), (9, 43, 45), (11, 19, 59), (12, 40, 47), (13, 14, 60), (14, 20, 58), (14, 25, 56), (14, 34, 51), (15, 16, 59), (15, 22, 57), (15, 32, 52), (18, 35, 49), (18, 40, 45), (19, 26, 54), (19, 33, 50), (20, 23, 55), (24, 39, 43), (25, 36, 45), (28, 35, 44), (30, 38, 40), (32, 34, 42).
2 022 = (498 + 499 + … + 513) / 4 2 026 = (499 + 500 + … + 514) / 4 2 030 = (500 + 501 + … + 515) / 4	Sommes de seize nombres, candidats pour une constante de carré magique 4x4.

Avec les mêmes fonctions, il existe de nombreuses autres solutions pour les quatre bornes suivantes, par exemple: 1 3 5 45 2 5 30 53 1 3 40 60 3 4 6 45 1 4 69 82 4 5 59 73 ….

Somme de deux intégrales conduisant à 2026. Code Python pour vérification from sympy import symbols, integrate # Définir la variable x = symbols('x') # Définir les expressions à intégrer expr1 = 3 * x**2 expr2 = 2 * x # Calcul des intégrales définies integrale1 = integrate(expr1, (x, 9, 14)) integrale2 = integrate(expr2, (x, 5, 6)) # Somme des deux intégrales S = integrale1 + integrale2 print(f"Valeur de l'intégrale S = {S}") Valeur de l'intégrale S = 2026

Voir Programmation – Index / Programmes Python – Index

Multiplication, division

2026 mod 2 = 0

2026 mod 3 = 1

2026 mod 5 = 1

2026 mod 7 = 3

2026 mod 11 = 2

2026 mod 13 = 11

2026 mod 17 = 3

2026 mod 19 = 12

2026 mod 23 = 2

2026 mod 29 = 25

Div(2 026) = [1, 2, 1013, 2026]		Nombre composé mince car maximum quatre diviseurs. Les nombres minces incluent: les carrés de nombres premiers qui ont 3 diviseurs, les cubes de nombres premiers qui ont 4 diviseurs et les nombres semi-premiers qui ont quatre diviseurs.
2 026 = 2 × 1013 Div(2 026) = {1, 2, 1013, 2026}				Facteurs et diviseurs.
2 × 026 + 1 = 53 20 × 26 + 1 = 521 202 × 6 + 1 = 1213 2026 + 1 = 2027	Nombre semi-premier générateur de premiers (Prime productive). Ces quatre nombres sont premiers. Liste de tels nombres à quatre chiffres: 1018, 1108, 1162, 1192, 1228, 1498, 1708, 2002, 2026, 2086, 2686, 2776, 2998, 3136, 3412, 3526, 3592, 4078, 4918, 5008, 5302, 5506, 5518, 6112, 6268, 6802, 7126, 7516, 7606, 7918, 7948, 8536, 8542, 8662, 9532, 9748.
m = 2366, s = 2026, k = 1 m = 3027, s = 1013, k = 2			La somme des diviseurs propres de 2366 est 2026: le nombre 2026 est dit "touchable" La somme des diviseurs propres de 3027 est 1013: le nombre 2026 est dit "2-touchable" Il n'est évidemment pas k-touchable pour k ≥ 3 (propriété faible car simplement liée à la factorisation du nombre).
			Nombres tels que la somme des diviseurs propres est 2026 Il existe seulement trois tels nombres jusqu'à 10 000: 2366, 2510, 2692. Avec double antécédent aliquote, on a: 4402 et 5378 jusqu'à 10 000. Pas d'antécédent triple.
					Égalité de ces deux sommes. σ(n) = somme des diviseurs 𝝋(n) = quantité de premier inférieurs à n

Racine primitive de 2026 = 3, 5, 7, 17, 27, 29, 31, 33, 37, 39, …, 363, 365, 369, …, 2021, 2023.

Exemple pour 365: Les puissances de 365 modulo 2026 parcourent exactement les 1012 entiers compris entre 1 et 2025 qui sont premiers avec 2026, c’est-à-dire les entiers impairs non multiples de 1013, avant de revenir à 1. Autrement dit, 365 engendre tout le groupe multiplicatif modulo 2026. Le nombre 365 a été choisi en rapport avec l'année 2026 et son nombre de jours. Métaphore Pensons à une horloge de 1012 positions : certains nombres avancent par petits pas et retombent vite sur 1, Le nombre 365 avance avec un pas particulier qui l’oblige à passer par toutes les positions avant de revenir au point de départ. Plus petites racines primitives Le nombre 2026 possède 440 racines primitives dont les dix plus petites sont données. Entre 2020 et 2023, seuls les nombres: 2003, 2011, 2018, 2019, 2026, 2027, 2029 ont des racines primitives.

Exposant en 2026

haut

Première démonstration

Démontrer que ce nombre est composé
n = 2²⁰²⁶ + 5²⁰²⁶

Il est facile de démontrer qu'il est divisible par :
2² + 5² = 29

Ce nombre comporte 1417 chiffres et son quotient q = n/29 en compte 1415.

Ce quotient est composé selon Wolfram Alpha sans que ce logiciel puisse calculer les facteurs

En tout cas: aucun facteur inférieur à 10⁸ (mes propres tests).

Premier ?	2^2026 + 5^2026
Exposant impair	4^1013 + 25^1013
Théorème (ci-dessous)	(a + b) | (a^n + b^n) si n impair
Application	29 |4^1013 + 25^1013
Conséquence	2^2026 + 5^2026 est composé
Valeur numérique	4^1013 + 25^1013 = 1,29786 … 10^1416

Théorème	(a + b) | (a^n + b^n) si n impair
Si n est impair	a^n + b^n = (a + b) (a^n-1 – a^n-2b + a^n-3b² – … + ab^n-2 – b^n-1)
Vérification	= (a^n – a^n-1b + a^n-2b² – … + a²b^n-2 – ab^n-1) + (a^n-1b – a^n-2b² + a^n-3b^3 – … + ab^n-1 – b^n)
Télescopage	= (a^n – a^n-1b + a^n-2b² – … + a²b^n-2 – ab^n-1) + (a^n-1b – a^n-2b² + a^n-3b^3 – … + ab^n-1 – b^n)
Il reste	= a^n + b^n

Rappel a | b veut dire a divise b

Note Téléscopage: les termes s'élimnent deux à deux.

Démonstration alternative avec les congruences

Premier ?	2^2026 + 5^2026
Exposant impair	n = 4^1013 + 25^1013
Mod	25 ≡ – 4 (mod 29)
1013 impair	25^1013 ≡ (– 4)^1013 ≡ –4^1013 (mod 29)
Retour	n ≡ 4^1013 – 4^1013 ≡ 0 (mod 29)
Conclusion	29 divise n

Généralisation : autres bases

n = 2²⁰²⁶ + 3²⁰²⁶ = (4² + 9²)K = 13K

n = 5²⁰²⁶ + 7²⁰²⁶ = (5² + 7²)K = 74K

n = 7²⁰²⁶ + 11²⁰²⁶ = (7² + 11²)K = 170K

n = 2²⁰²⁶ + 11²⁰²⁶ = (2² + 11²)K = 125K

n = 3²⁰²⁶ + 8²⁰²⁶ = (9² + 64²)K = 73K

Etc.

Diviseur = Somme des carrés des bases, premières ou composées.

Généralisation autres exposants

n = 2⁶ + 3⁶ = (4² + 9²)K = 13K (n = 262 973 et K = 3 601)

n = 2¹⁰ + 3¹⁰ = (4² + 9²)K = 13K (n = 1 073 800 873 et K = 14 709 601)

Etc.

Chaque exposant = multiple d'un nombre premier.

Voir Brève 66-1307

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