NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Division

Fonctions

ARITHMÉTIQUES

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

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Sommaire

 

Liste des fonctions

 Diviseurs

 

Sommaire de cette page

>>> Fonctions arithmétiques les plus utilisées

>>> Fonctions arithmétiques

>>> Notations

>>> Autres fonctions

 

 

 

 

 

 

INVENTAIRE des

FONCTIONS ARITHMÉTIQUES

 

Certaines fonctions sont bien connues.

Elles ont été vues dans le début de ce texte

*          quantité de diviseurs

*          somme des diviseurs

*          quantité de nombres premiers inférieurs à n

 

Il en existe beaucoup d'autres

Il est difficile d'arrêter l'imagination des mathématiciens …

 

 

 

Les six fonctions les plus utilisées

 

Exemples avec 107 (premier) et 108 (composé)

 

 

Voir Nombre 107 / Nombre 108

 

 

Explications

 

(n)

Phi de n

Totient, ou

Indicateur d'Euler

Table

Quantité d'entiers inférieurs à n et n'ayant aucun diviseur commun avec n.

The function phi will compute the totient function of n, which is the number of positive integers not exceeding n and relatively prime to n.

 (n)

Tau de n

Table

Quantité de diviseurs.

The function tau (n) will compute the number of positive divisors of n.

 (n)

Sigma de n

Table

Somme des diviseurs.

The function sigma(n) will compute the sum of the positive divisors of n

Pi de n

Table

Quantité de nombre premiers p  n

The function pi(n) computes the number of prime numbers less than or equal to the given integer n.

Mu de n

Fonction de Moebius (Möbius)

Table

Caractérise la quantité de facteurs.

The function mobius(n) gives the Mobius function of n (lattice of divisors). It returns 1, -1, or 0 depending on the factorization of n.

M(n)

M de n

Fonction de Mertens

Table

Cumul de  

M(n) is the count of square-free integers up to n that have an even number of prime factors, minus the count of those that have an odd number.

 

Voir Table complète des six fonctions pour n de 0 à 200

 

 

 

FONCTIONS ARITHMÉTIQUES – Liste détaillée

Pour un nombre n donné

 

 

FACTEURS

 

 

*       Quantité de facteurs

(n)

>>>

*       Quantité de facteurs premiers distincts

(n)

>>>

*       Radical d'un nombre: produit des facteurs (non répétés)

(n)

>>>

*       Signature première (exposants de la factorisation)

>>>

*       Fonction lambda de Liouville – Parité de la quantité de facteurs

(n)

>>>

*       Fonction de Möbius – Nature des facteurs de n

(n)

>>>

*       Fonction de Mertens – Somme sur la fonction de Möbius

M(n)

>>>

DIVISEURS

 

 

*       Quantité de diviseurs

 (n)

>>>

*       Quantité de diviseurs sauf n

'(n) ou s(n)

 

*       Quantité de diviseurs sauf n et 1

*(n) ou s*(n)

 

*       Fonction d'abondance

(n)

 

*       Fonction de déficience

(n)

 

*       Somme des diviseurs

 (n)

>>>

*       Somme des diviseurs sans n

'(n)

 

*       Somme des diviseurs unitaires de n

*(n)

 

*       Taux d'abondance

 (n) / n

>>>

*       Différence entre quantité de diviseurs
de la forme 4k+1 et ceux en 4k+3

E(n)

 

*       Moyenne arithmétique des diviseurs

A(n)

 

*       Moyenne géométrique des diviseurs

G(n)

 

*       Moyenne harmonique des diviseurs

H(n)

 

PUISSANCE

 

 

*       Somme de la puissance k des diviseurs d'un nombre

k (n)

 

*       Somme des diviseurs d'un nombre premier élevé à la puissance k

 (pk)

 

CHIFFRES

 

*       Somme des chiffres de n (digsum)

>>>

*       Cumul de la somme des chiffres de n

>>>

 

Pour tous les nombres n inférieur ou égaux à x

 

 

FACTEURS

 

 

*   Quantité de nombres sans carré  x

S(x)

>>>

*   Quantité de nombres n  x tels que  est pair

E(x)

 

*   Quantité de nombres n  x tels que  est impair

O(x)

 

DIVISEURS

 

 

*       Plus petit entier ayant k diviseurs

D(k)

 

*   Quantité de nombre premiers p  n

p(n)

 

*       Quantité d'entiers inférieurs à n et n'ayant aucun diviseur commun avec n

(n)

>>>

 

 

Explications

 

Diviseurs unitaires

d est un diviseur unitaire si (d, n/d) = 1.
Ce qui veut dire que:
d et le nombre divisé par d sont premiers entre eux.

 

Exemple

*    Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12

*    Les diviseurs unitaires de 12 sont 3 et 4

 

Sans carré

          Squarefree

Nombre dont aucun des facteurs n'est répété.

 

Exemples

*    7  = 1 x 7

*    15 = 1 x 3 x 5

*    30 = 1 x 2 x 3 x 5

 

 

NOTATIONS

Notations

Qui veut dire

Exemples

n = …

Produit des facteurs p
      à leur puissance  respective

Voir  Forme canonique des nombres

  12 = 22 . 3

360 = 23 . 32 . 5

dn

d divise n

3|12

5|360

Somme des diviseurs d
      pour tous les diviseurs de n

d|12 (d)

= 1+2+3+4+6+12

= 28

Somme de la valeur 1
      pour tous les diviseurs de n

d|12 (1)

= 1+1+1+1+1+1

= 6

Produit des diviseurs d
      pour tous les diviseurs de n

d|12 (d)

= 1x2x3x4x6x12

= 1728

 

 

Autres FONCTIONS

SOMME de CARRÉS

 

 

*       Indicateur de somme de deux carrés

h(n)

>>>

*       Quantité de représentations de somme de 2 carrés

f(n)

>>>

 

 

 

 

Suite

*         Fonction arithmétiques – Diviseurs

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*         Nombres parfaits

Voir

*         Théorie des nombres – Introduction

*         Théorie des nombres – Index

*         Diviseurs – Familiarisation

*         Jeux et énigmes – Index

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