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Édition du: 12/10/2026 |
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LOGIQUE |
IA |
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Avril 2026 – pdf – 234 pages |
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en haut de page
OpenAI résout 370 problèmes
de maths. Lesquels et que vont devenir les mathématiciens
Page
du Dictionnaire des nombres (diconombre.fr) consacrée à l'informatique et
plus précisément à l'intelligence artificielle (IA).
L’IA
avance plus vite que les mathématiciens ne peuvent suivre Un
médaillé Fields,
Hugo Duminil‑Copin (photo), apparaît bouleversé lors d’une
visioconférence urgente organisée par la Société mathématique de France, au
milieu d’un afflux inédit de plus de 700 manuscrits publiés en quelques
jours. Entre
le 6 et le 8 octobre 2026, la communauté mathématique vit l’un de ses
épisodes les plus déstabilisants depuis l’arrivée des grands modèles de
langage. Le
témoignage de Duminil‑Copin est perçu comme un
signal d’alarme face à une avancée de l’intelligence artificielle dont la
rapidité a surpris même les spécialistes. |
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IA et Révolution en MATHS Le séisme de
2026 : l’IA atteint la recherche mathématique — et change la question de ce
qu’est un mathématicien (suite de la page Machines qui font des maths – Avenir des
mathématiciens Voir Actualités 2026 |
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Sommaire de cette page >>>
La Fin de la Nuit Noire des Mathématiques – Poster >>>
Quand l'IA recompose le paysage de la recherche fondamentale >>> Exemples de conjectures résolues |
Débutants Glossaire |
La
Fin de la Nuit Noire des Mathématiques ?
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1. Avancées sur la conjecture de
Riemann (version quasi-Riemann) Domaine : Théorie analytique des
nombres. Résultat : Sans résoudre le
problème du prix du millénaire
dans sa totalité, l'IA a étendu la zone sans zéros pour la fonction Zêta de
Riemann, démontrant qu'aucun zéro non trivial ne se trouve pour
Re(s)>11/12 (ou 7/8 selon les variantes formalisées). Cela permet de
resserrer considérablement l'écart sur la distribution des nombres premiers. 2.
La conjecture des jeux uniques (unique games conjecture) Domaine : Informatique théorique et
complexité algorithmique. Résultat :
Énoncée par
Subhash Khot en 2002, cette conjecture fondamentale conditionne la limite de
précision que l'on peut atteindre avec des algorithmes d'approximation pour
des problèmes
NP-difficiles. Le modèle d'OpenAI affirme en avoir fourni une
démonstration complète. 3.
La conjecture de Kaplansky sur les anneaux de groupes Domaine : Algèbre abstraite. Résultat : Irving Kaplansky avait
conjecturé plusieurs propriétés algébriques sur les anneaux de groupes
(notamment la finitude directe). Le cas particulier de la caractéristique 2,
qui résistait aux algébristes depuis des décennies, a été résolu et formalisé
en langage de vérification Lean. 4.
Problèmes de percolation et d'invariance conforme Domaine : Physique mathématique et
probabilités. Résultat : C'est le cœur de
spécialité d'Hugo Duminil-Copin (Médaille Fields 2022). Le modèle a publié
une série de manuscrits abordant la marche auto-évitante
(self-avoiding walks) et l'invariance conforme dans les modèles de percolation
et d'Ising, résolvant d'un coup plusieurs questions ouvertes sur les
transitions de phase en physique statistique. 5.
Les conjectures de Kakeya (en dimensions 3 et 4) Domaine : Analyse géométrique et
combinatoire. Résultat :
Issu du problème de l'aiguille de
Kakeya (trouver la surface minimale pour faire tourner une aiguille de
longueur 1), le problème se généralise en dimensions supérieures. L'IA
propose une résolution de la conjecture dimensionnelle pour les dimensions 3
et 4. 6.
Cas particuliers de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer Domaine : Géométrie algébrique et
courbes elliptiques. Voir Problèmes difficiles Résultat :
L'IA a
produit des preuves couvrant la formule complète pour des classes spécifiques
de courbes elliptiques (de corang de Selmer égal à 0 ou 1), apportant une
pierre majeure à cet autre problème du millénaire. 7.
La nature irrationnelle de la constante de Catalan Domaine : Théorie des nombres /
Analyse. Problème :
Définie par
la série alternée
cette constante
intriguait les mathématiciens depuis des siècles sans qu'on sache si elle était
un nombre rationnel ou irrationnel. Résultat :
L'IA affirme
avoir apporté la démonstration formelle de son irrationalité. 8.
Le 10ᵉ problème de Hilbert étendu aux nombres rationnels Domaine : Logique mathématique et
théorie de la décidabilité. Voir Les 23 problèmes de
Hilbert Problème :
En 1970, Yuri
Matiyasevich a prouvé qu'il n'existe pas d'algorithme général pour déterminer
si une équation diophantienne possède des solutions entières. La question
restait ouverte si l'on cherchait des solutions dans le corps des nombres
rationnels Q. Résultat : Le modèle conclut
également à l'impossibilité algorithmique (réponse négative) pour le cas
rationnel. 9.
Le problème du coloriage du plan (Hadwiger-Nelson) Domaine : Graphes et combinatoire
géométrique. Voir Problème des
quatre couleurs Problème :
Combien de
couleurs faut-il au minimum pour colorier tous les points du plan de sorte
que deux points situés exactement à 1 cm l'un de l'autre n'aient jamais la
même couleur ? Résultat :
L'IA a
démontré que 5 couleurs ne suffisent pas (réduisant les possibilités
restantes à exactement 6 ou 7 couleurs). 10.
La conjecture de Goldfeld pour les courbes elliptiques Domaine : Géométrie algébrique. Problème :
Énoncée par
Dorian Goldfeld en 1979, elle prédit que le rang moyen de la famille des
tordues quadratiques d'une courbe elliptique
donnée est égal à 1/2. Résultat :
Traitée
conjointement avec des travaux sur la conjecture BSD, l'IA affirme avoir
établi la validité de la conjecture de Goldfeld pour la quasi-totalité des
courbes elliptiques rationnelles. 11.
L'approximation de Diophante du nombre Pi (π) Domaine : Théorie de la
transcendance. Voir Constante Pi / Réduites (ou convergents)
de Pi Problème :
Déterminer la
limite théorique de la mesure d'irrationalité de π et la convergence de
certaines séries de fractions associées à π. Résultat :
L'IA démontre
que π ne peut pas être « piégé » ou approché par des fractions au-delà
des bornes standard connues pour les nombres réels ordinaires, résolvant au
passage la convergence d'une série infinie historique. 12.
La conjecture de bornes sur la multiplication de matrices Domaine : Informatique théorique /
Algèbre linéaire. Problème :
Réduire la
complexité algorithmique de la multiplication de deux matrices N×N
(actuellement bloquée autour de Résultat :
Le modèle a
découvert une nouvelle méthode théorique d'assemblage tensoriel abaissant
encore l'exposant de complexité. 13.
Borne Inférieure pour la multiplication des grands entiers Domaine : Algorithmique numérique. Voir
Multiplication des grands
nombres Problème :
On pensait
depuis l'algorithme d'Harvey-Hoeven (2019) avoir atteint la vitesse limite
absolue ( Résultat :
L'IA propose
une structure de transformée accélérée démontrant qu'il est possible de
franchir cette constante dans des modèles de calculs parallèles spécifiques. 14.
Réfutation de conjectures cinquantenaires (contre-exemples) Domaine : Théorie des groupes et
topologie. Résultat :
L'IA a généré
des contre-exemples informatiques explicites à des conjectures formulées dans
les années 1960 et 1970 concernant les groupes finiment présentés et
certaines propriétés de compacité en topologie différentielle. 15.
Équations de Navier-Stokes avec force externe Domaine : Physique mathématique /
Équations aux dérivées partielles. Voir Développements
complets Problème :
L'existence
et la régularité des solutions des équations de Navier-Stokes (un des 7
problèmes du prix du millénaire). Résultat :
OpenAI a
publié un manuscrit traitant un cas restreint mais fondamental où le fluide
est soumis à un champ de forces externes spécifique, démontrant l'absence de
singularités explosives (blow-up) sous ces conditions. 16.
La conjecture de Goormaghtigh sur les repdigits Domaine : Théorie des
nombres / Équations
diophantiennes. Problème :
Formulée par
l'ingénieur belge René Goormaghtigh en 1917, elle conjecture que les seules
solutions entières non triviales à l'équation :
pour x, y
> 1 et m, n > 2 sont (x, y, m, n) = (2, 5, 5, 3) et (2, 2, 31,13,5),
correspondant aux nombres 31 et 8191. Résultat :
L'IA a
produit une preuve formelle (vérifiée sous Lean) éliminant toutes les
branches d'exception potentielles par des méthodes de formes linéaires en
logarithmes. 17.
La constante d'Euler-Mascheroni (γ) Domaine : Analyse et théorie des
constantes mathématiques. Voir Cette constante Problème :
Définie comme
la limite Résultat :
Un des
manuscrits phares affirme établir la transcendance de γ en construisant
une suite d'approximants rationnels à décroissance exponentielle contrôlée. 18.
La constante de Khintchine Domaine : Fractions continues et
théorie ergodique. Problème :
Aleksandr
Khintchine a prouvé en 1934 que pour presque tous les nombres réels, la
moyenne géométrique des coefficients de leur développement en fraction
continue tend vers une constante universelle Résultat :
Le modèle
d'IA apporte la démonstration de son irrationalité. 20.
Borne supérieure pour les nombres super-premiers Domaine : Théorie analytique des
nombres premiers. Problème :
Un nombre
super-premier est un nombre premier dont le rang dans la suite des
premiers est lui-même un nombre premier (ex. 3 est le 2ᵉ premier, 5 est
le 3ᵉ, 11 est le 5ᵉ). La distribution exacte de leur densité
asymptotique présentait des termes d'erreur non résolus. Résultat :
L'IA résout
la conjecture sur le terme d'erreur résiduel de la fonction de comptage des
super-premiers. 21.
La conjecture de Gilbreath sur les différences successives Domaine : Combinatoire
arithmétique. Problème :
Si l'on
applique de manière répétée l'opération de différence absolue ordonnée à la
suite des nombres premiers (2,3,5,7,11,13…), le premier terme de chaque ligne
résultante semble toujours être égal à 1. Résultat :
L'IA a validé
la conjecture de
Gilbreath pour tout N arbitrairement grand grâce à une borne asymptotique
rigoureuse sur les écarts entre premiers. 22.
La conjecture de Bunjakovsky pour les polynômes de degré 2 Domaine : Distribution des
nombres premiers. Problème :
Déterminer si
un polynôme à coefficients entiers P(x) donne une infinité de valeurs
premières (ex. x² + 1). Résultat :
Sans résoudre
le cas général, l'IA établit une démonstration sous condition minimale de
régularité pour des familles quadratiques irréductibles spécifiques. 23.
Borne de Singer sur les ensembles de différences finies Domaine : Combinatoire et géométrie
finie. Problème :
Optimalité
des structures de blocs et des ensembles de différences dans les plans
projectifs finis Résultat :
Résolution
d'un problème ouvert sur l'existence d'ensembles de différences parfaites
pour certaines puissances de premiers non carrées. 24.
Propriétés des nombres pseudo-premiers de Fermat Domaine : Arithmétique
algorithmique et cryptographie. Problème :
Comportement
asymptotique de la densité des nombres
pseudo-premiers d'Euler-Jacobi et de Carmichael dans des intervalles
courts. Résultat :
Démonstration
d'une nouvelle borne inférieure stricte sur la quantité de pseudo-premiers de
Carmichael inférieurs à une valeur X. 25.
La conjecture du coloriage des graphes planaires de Grünbaum Domaine : Théorie des graphes. Problème :
Posée par
Branko Grünbaum en 1970, elle concernait la colorabilité des arêtes des
graphes planaires réguliers sans cycles courts. Résultat :
L'IA fournit
une preuve complète, mettant fin à un débat de plus de 50 ans sur l'existence
de certains contre-exemples de petite taille. 26.
Géométrie algébrique : invariants de Gromov-Witten Domaine : Géométrie symplectique et
théorie des string. Problème :
Calcul
universel des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau de
dimension 3. Résultat :
Démonstration
d'une formule close reliant ces invariants aux formes modulaires de Siegel. 27.
Problème de la somme des sous-ensembles (subset sum) Domaine : Complexité algorithmique. Problème :
Déterminer la
limite exacte d'accélération quantique/classique pour le problème NP-complet
du sac à dos. Résultat :
Établissement
d'un algorithme déterministe sous-exponentiel pour les instances creuses. 28.
Conjecture de Casas-Alvero sur les polynômes Domaine : Algèbre / Polynômes en
caractéristique zéro. Problème :
Si un
polynôme de degré n partage une racine avec chacune de ses n-1 premières
dérivées, est-il nécessairement de la forme c(x-a)^n ? Résultat :
Démonstration
formelle de la conjecture pour tout degré n, alors qu'elle n'était prouvée
que pour certains degrés spécifiques (ex. puissances de nombres premiers). 29.
Convergence de la série d'inverses des nombres de kummer Domaine : Théorie des corps de
classes. Problème :
Propriétés de
régularité des p-groupes de classes associés aux corps cyclotomiques créés
par Ernst Kummer. Résultat :
Résolution
d'une question ouverte sur le comportement asymptotique des indices de
régularité pour de grands nombres premiers p. 30.
Invariance de croisement pour le modèle de potts Domaine : Physique statistique. Problème :
Comportement
à la criticité du modèle de Potts à q états sur réseau carré pour q∈(1,4]. Résultat :
Démonstration
de l'universalité des probabilités de croisement de Cardy. 31.
Décomposition en sommes de puissances (k-ièmes) Domaine : Problème de Waring
/ Arithmétique additive. Problème :
Détermination
de la valeur exacte de g(k), le nombre minimal de puissances k-ièmes
nécessaires pour représenter tout entier positif, pour des valeurs de k très
grandes. Résultat :
Preuve fermant
définitivement l'écart entre la borne théorique et la valeur conjecturée de
g(k) pour tout k≥5. |
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