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Édition du: 01/09/2026 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Types de premiers Premiers Nombres Types de nombres	Nombres premiers
	Premiers	Presque Premiers	Probablement P.
	Premiers équilibrés	Premiers forts	Cube (cuban)
	Premiers bons	Premiers inévitables	Multi-Premier (C)
	Emirp et circulaires	Résistants	Multi-Premier (M)
	Super premiers	Stern	Combinaisons

SUPER PREMIERS Premier avec indice premier. Les nombres super-premiers (ou nombres premiers d'ordre supérieur) constituent une sous-classe remarquable de la théorie analytique et algébrique des nombres.
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Super Premier

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En bref

Un super-premier est un nombre premier qui occupe un rang lui-même premier dans la suite ordonnée des nombres premiers. Pour un profane, c'est un nombre premier « doublement sélectionné » par le crible d'Eratosthène.

Nom

Français : Nombres super-premiers ou nombres premiers d'ordre supérieur

Anglais : Super-prime numbers (ou higher-order primes)

Allemand : Superprimzahlen

Famille

Français : Famille des nombres premiers à sous-suite d'indices contraints

Anglais : Sub-sequence indexed prime numbers

Allemand : Unterfolgen-indizierte Primzahlen

Description

Considérons la liste ordonnée des nombres premiers : 2 est le premier, 3 le deuxième, 5 le troisième, et ainsi de suite. Un nombre est dit super-premier lorsqu'il occupe une place elle-même première dans ce classement.

En d'autres termes, on filtre la suite des nombres premiers pour ne conserver que ceux dont la position correspond à un nombre premier.

Un super premier d'ordre 2 est un super premier qui est lui-même de rang premier.

Exemple

N = 157 est le 37^e premier

37 est aussi premier

157 est le 12^e super premier

Liste de nombres

2, 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, 1031, 1063, 1087, 1153, 1171, 1201, 1217, 1297, 1409, 1433, 1447, …

Liste des couples super premiers (rang, premier) jusqu'à 5000

(2, 3), (3, 5), (5, 11), (7, 17), (11, 31), (13, 41), (17, 59), (19, 67), (23, 83), (29, 109), (31, 127), (37, 157), (41, 179), (43, 191), (47, 211), (53, 241), (59, 277), (61, 283), (67, 331), (71, 353), (73, 367), (79, 401), (83, 431), (89, 461), (97, 509), (101, 547), (103, 563), (107, 587), (109, 599), (113, 617), (127, 709), (131, 739), (137, 773), (139, 797), (149, 859), (151, 877), (157, 919), (163, 967), (167, 991), (173, 1031), (179, 1063), (181, 1087), (191, 1153), (193, 1171), (197, 1201), (199, 1217), (211, 1297), (223, 1409), (227, 1433), (229, 1447), (233, 1471), (239, 1499), (241, 1523), (251, 1597), (257, 1621), (263, 1669), (269, 1723), (271, 1741), (277, 1787), (281, 1823), (283, 1847), (293, 1913), (307, 2027), (311, 2063), (313, 2081), (317, 2099), (331, 2221), (337, 2269), (347, 2341), (349, 2351), (353, 2381), (359, 2417), (367, 2477), (373, 2549), (379, 2609), (383, 2647), (389, 2683), (397, 2719), (401, 2749), (409, 2803), (419, 2897), (421, 2909), (431, 3001), (433, 3019), (439, 3067), (443, 3109), (449, 3169), (457, 3229), (461, 3259), (463, 3299), (467, 3319), (479, 3407), (487, 3469), (491, 3517), (499, 3559), (503, 3593), (509, 3637), (521, 3733), (523, 3761), (541, 3911), (547, 3943), (557, 4027), (563, 4091), (569, 4133), (571, 4153), (577, 4217), (587, 4273), (593, 4339), (599, 4397), (601, 4421), (607, 4463), (613, 4517), (617, 4549), (619, 4567), (631, 4663), (641, 4759), (643, 4787), (647, 4801), (653, 4877), (659, 4933), (661, 4943).

Liste des triplets super premiers d'ordre 2 (rang, rang, premier) jusqu'à 2000

(2, 3, 5), (3, 5, 11), (5, 11, 31), (7, 17, 59), (11, 31, 127), (13, 41, 179), (17, 59, 277), (19, 67, 331), (23, 83, 431), (29, 109, 599), (31, 127, 709), (37, 157, 919), (41, 179, 1063), (43, 191, 1153), (47, 211, 1297), (53, 241, 1523), (59, 277, 1787), (61, 283, 1847).

Propriétés et curiosités

Comportement asymptotique : En vertu du théorème des nombres premiers, le -ième nombre premier équivaut à quand tend vers l'infini. Il en découle que le -ième nombre super-premier, noté , admet le comportement asymptotique .

Densité relative : La densité asymptotique des nombres super-premiers au sein de l'ensemble des nombres premiers est nulle, ce qui signifie que ces nombres deviennent extrêmement rares à mesure que l'on avance sur l'axe des entiers.

Itération d'ordre supérieur : Le concept se généralise naturellement par récurrence pour définir des super-premiers d'ordre . Un super-premier d'ordre 2 est un nombre premier dont le rang est un super-premier (), formant des structures chaînées d'évaluation d'indices.

Sous-familles

Super-premiers de Mersenne : Nombres super-premiers pouvant s'écrire sous la forme .

Super-premiers de Fibonacci : Nombres super-premiers figurant simultanément dans la suite de Fibonacci.

Familles voisines

Nombres premiers de Goodstein.

Nombres premiers primoriels.

Suite des nombres premiers affines ().

Historique

L'étude de la sous-suite des nombres premiers indexés par des indices particuliers remonte aux travaux d'analyse combinatoire et d'arithmétique du début du XXe siècle. Les premières formulations explicites des nombres super-premiers sont attribuées au mathématicien indien S. S. Pillai dans les années 1930, qui a cherché à mesurer les sous-ensembles de formés par composition de fonctions d'indexation.

La formalisation moderne et leur intégration dans l'encyclopédie OEIS ont stabilisé leur dénomination et leur étude dans le cadre de la théorie probabiliste des nombres.

English summary

A super-prime (also known as a prime-indexed prime) is a prime number whose position in the ordered sequence of all prime numbers is itself a prime number. Formally, if denotes the -th prime, a super-prime is any term of the form where .

Asymptotically, the -th super-prime behaves like , showing that super-primes grow significantly faster than standard primes and have zero relative density within the set of prime numbers.

Références OEIS

· A006450 : Super-primes: primes with a prime index.

· A175247 : Primes whose index is a prime: version/variant focusing on index representation.

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Sites	Nombre super premier – Wikipédia
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