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COURBES ELLIPTIQUES Une introduction Résoudre les équations
diophantiennes consiste à trouver des racines en nombres entiers.
Résoudre une équation elliptique consiste à trouver des nombres rationnels
(des fractions) en tant que racines. Les courbes elliptiques sont des courbes munies d'une loi de groupe
(définition d'une addition de points). Les
coordonnées du point-somme s'exprimant de façon polynomiale à partir de
celles des points à additionner. Les courbes elliptiques (courbes en y2 et x3)
ont de nombreuses applications. On connait de réputation leur emploi dans la
démonstration du théorème
de Fermat-Wiles. |
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Les courbes
elliptiques sont des courbes algébriques qui tirent leur nom du fait qu'elles
peuvent servir à calculer la longueur d'arc d'ellipse. Mais …l'ellipse n'est
pas une courbe elliptique ! |
Applications
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La courbe
est définie par une fonction du type (équation de Weierstrass). |
y2 = x3 + Ax + B Notez: pas de x² |
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Exigence Tangente
définie en chaque point, pas de point double, pas de point de rebroussement. Delta est le
discriminant. |
x3 + Ax + B a
des racines distinctes, ou
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COURBE de type 1 avec trois racines réelles Exemple: y² = x3 – 4x
+ 1 Quelques points entiers x = –1 y = 2 et y = –2 x = 0 y = 1 et y = –1 x = 2 y = 1 et y = –1 x = 3 y = 4 et y = –4 Et aussi, points
rationnels x = 1/4 y = 1/8
et y = –1/8 x = 6/25 y = 29/125
et y = –29/125 x = 33/16 y = 79/64
et y = –79/64 x = 91/25 y = 736/125 et y = –736/125 x = 92/49 y = 113/43
et y = –113/343 La quantité de chiffres du numérateur et du
dénominateur s'appelle la taille (ou
hauteur) du point rationnel. La courbe est constituée de deux morceaux, on
dit: de deux composantes connexes. |
Graphe
Discriminant
= -16 ( -256 + 27) = 16 x 229 = 3664 Il est
positif => 3 racines réelles Racines –2,1149… ; 0,2541… ;
1,8608… |
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COURBE de type 2 avec une racine réelle Exemple: y² = x3 – x +
1 Quelques points entiers x = –1 y = 1 et y = –1 x = 0 y = 1 et y = –1 x = 3 y = 5 et y = –5 x = 5 y = 11 et y = –11 Et aussi, points
rationnels x = –11/9 y = 17/27 et y = –17/27 x = 1/4 y = 7/8 et y = –7/8 x = 19/25 y = 103/125 et y = –103/125 |
Graphe
Discriminant
= -16 ( -4 + 27) = 16 x (-4) = - 368 Il est
négatif => 1 seule racine réelle Racines: une réelle et deux complexes –1,3247… 0,6623… – 0,5622… i 0,6623… + 0,5622… i |
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Quelques exemples de courbes elliptiques
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Propriété Il se trouve (et on peut
le démontrer) que: une droite sécante passant par deux points de la courbe (P
et Q) recoupe la courbe en un troisième point R (distinct ou non). Addition générale Elle est définie de
sorte que les propriétés de l'addition soient réunies. On choisit le point S,
symétrique de R (de même abscisse, mais d'ordonnée opposée). La figure montre la
construction qui est très simple. Il y a cependant quelques cas particuliers à
examiner. |
Principe de l'addition de deux points
Courbe y2 = x3
– 5x + 8 |
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Addition d'un point à lui-même Si le point Q se
rapproche du point P, la droite PQ tend vers la tangente en P à la courbe. La construction de la
somme est identique en prenant non plus la sécante, mais la tangente. So far, so good! Jusque là tout va bien. Reste à analyser deux cas particuliers liés à la
verticalité. |
Addition de P et P
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Addition de points sur une verticale Si les points P et Q
sont situés sur une verticale (même abscisse), alors P = Q = –P La verticale ne rencontre pas la courbe en
un troisième point. Le point R n'existe pas. Que faire? On imagine tout de même
un troisième point, dit rejeté à l'infini et que l'on nomme O. En fait, ce point se
trouve n'importe où sur la verticale. Ce nouveau pseudo-point
est l'élément neutre de l'addition des points. Le pendant du zéro pour l'addition
arithmétique. Notez bien que ce pseudo-point n'est pas à l'origine des
axes. |
Additions de points de même abscisse
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Addition de points sur la tangente verticale Comme précédemment (cas
n°2), on a recourt à la tangente et alors P + P = 2 P = O |
Addition de deux points
sur la tangente verticale
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Conclusion On se souvient qu'il
s'agit d'une définition s'appuyant sur une construction simple. Muni de l'artifice du
point neutre O, l'opération possède
toutes les propriétés habituelles de l'addition. Il s'agit alors de voir comment calculer les
coordonnées du point somme. |
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P + O
= O + P = P P + ( –P) = O P + Q = Q + P P + (Q + Q') = (P + Q) + Q' |
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Une courbe
elliptique: Deux points: Et la
sécante passant par P1 et P2: |
y2 = x3
+ Ax + B P1 (x1,
y1) et P2 (x2, y2) y = ax + b |
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Calcul de la
pente a : |
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Classiquement
la valeur de b |
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Les abscisses
des trois points d'intersection sont solutions de => Soit avec le
produit impliquant les trois racines => |
(ax + b)2 = x3 + Ax + B x3 + Ax + B – (ax + b)2 = (x – x1) (x – x2) (x – x3) |
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En
développant des deux côtés |
x3– a2x2 + (A –
2ab)x + B – b² = 0 |
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En égalant
les coefficients de x² |
a2 = x1+x2+ x3 x3 = a2 – x1 – x2
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Et
l'ordonnée du point P3 sur la sécante: |
y3 = ax3
+ b
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Coordonnées
de la somme |
x4 = x3 et
y4 = - y3 |
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Exemple: y² = x3
– 5x + 8 Points quelconques en rouge x1
= -2,5 et y1 = 2,21 x2
= -1 et y2 = 3,46
y3
= 7,8 et y4 = - 7,8 Points rationnels en noir x1
= 1 et y1 = 2 x2
= -7/4 et y2 = 27/8 x3
= 1 y3
= 2 et y4 = - 2 |
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Présentation Harold Edwards a étudié ce genre de courbes en
2007. Ce sont des courbes elliptiques. Application en cryptographie
par Daniel J. Bernstein et Tanja Lange. Elles seraient plus avantageuses que les courbes
plus connues de Weierstrass. Équations de ces courbes
Courbes bleues: k = 1000 (interne) et 300. Courbes rouges: k = 10 puis 1. Courbe noire: k = 0 (cercle) Courbe verte: k = – 0,9 puis – 1
(carré) Courbe violette: k = –
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Équation du carré
Voir Carré Autour du carré (Voir le graphe) Courbe bleue: k = – 0,95 Courbe rouges: k = –
1 Courbe noire: k = – 1,1 |
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Voir Brève
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Voir |
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