NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 20/07/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Définition >>> Propriétés >>> Ce nombre est-il entier? >>> Cas de m + 1/m entier ? >>> Cas de 1 + 1/2 + 1/3 + … entier ?

NOMBRES ENTIERS NATURELS

ENTIERS: nombres les plus ordinaires, les nombres ronds.

Voir Nombres ronds

Une fraction qui engendre les nombres entiers de 1 à 99

0,01020304050607080910111213141516171819

2021222324252627282930313233343536373839

4041424344454647484950515253545556575859

6061626364656667686970717273747576777879

8081828384858687888990919293949596979900

010203040506

Voir Fractions à développement décimal particulièr

Définition

Nombres entiers naturels, abrégé en naturels. Vient de naturale (Peano). Ce sont les nombres de tous les jours. Ceux qui servent à compter. Sans confusion possible, on dit "entiers" et pour les distinguer des entiers relatifs, on dit "entiers naturels". Ils sont toujours positifs et l'on omet de placer un signe plus devant ces nombres. { 0, 1, 2, 3 … } { 1, 2, 3 … } N* représente l'ensemble des entiers privé du zéro. Les nombres PREMIERS sont des entiers naturels particuliers. De même que les nombres PARFAITS ou AMICAUX, etc. Natural Numbers and Whole Numbers are the counting numbers from 0 or 1 upwards. The set of natural numbers is {1, 2, 3, ...} and the set of whole numbers is {0, 1, 2, 3, ...}. Nombre entier primaire Un entier primaire est un nombre entier, puissance d'un nombre premier. 16 = 2^4, 25 = 5^2, 81 = 3^4, 243 = 7^3 sont des entiers primaires. Voir Histoire de la définition des nombres entiers Voir Facteurs primaires

Propriétés

Les nombres entiers Les nombres les plus simples – 1, 2, 3, … – sont appelés: les entiers les entiers naturels les nombres naturels, les nombres entiers, les entiers positifs, les entiers rationnels positifs les nombres cardinaux Tout nombre entier naturel est décomposable de façon unique en produit de ses diviseurs premiers, sans tenir compte des permutations: théorème fondamental de l'arithmétique. Les équations diophantiennes sont des équations avec coefficients entiers dont les racines sont des nombres entiers.

Ce NOMBRE est-il ENTIER
Curiosité La formule suivante, incluant des fractions, produit des nombres entiers. La clé du mystère réside dans le fait que 3n^5 + 5n^3 + 7n est divisible par 15. Démonstration >>> Autre curiosité Est-ce que le nombre est un nombre entier ? Réponse >>>

Cas de m + 1/m entier ?		haut
Problème Si m est un nombre rationnel positif,	alors m + 1/m est un entier que si m = 1.
Solution 1 Si m est rationnel :	avec p et q deux entiers positifs premiers entre eux.
Déduction:
Si cette expression est un entier:	p et q divise p² + q²
Implique que:	p divise q² et q divise p²
Ce qui est impossible car p et q dont premiers entre eux.	p = q = 1 & m = 1

Solution 2 avec équation	x + 1/x = k x² – kx + 1 = 0
Racines
Si ces racines sont rationnelles, alors:	k² – 4 est un carré.
On vérifie cette inégalité qui montre que k n'est pas 3 ou plus.	pour n > 2 (k – 1)² < k² – 4 < k² Pour k = 3 => 4 < 5 < 9
Or, avec k = 1, k² – 4 est négatif	La seule valeur possible pour k est 2. Et x = m = 1

Cas de 1 + 1/2 + 1/3 + … entier ?		haut
Problème Montrer que: n'est jamais un entier pour n un entier positif.	Solution Mettre toutes les fractions au même dénominateur. Exemple  Tous les termes au numérateur sont pairs sauf le dernier. La somme est impaire. Le dénominateur est pair. L'un ne peut pas diviser l'autre. L'expression n'est jamais un nombre entier.

Voir Nombre harmonique / Brève 784

Suite	Nombres relatifs Types de nombres – Index Nombre – Glossaire Découverte des nombres Entiers en polynômes Entiers de Gauss Presque entiers Somme des entiers
DicoNombre	Liste des nombre de 0 à l'infini et de leurs propriétés Infini Un Zéro
Voir	Calcul mental – Index Carré magique débutant Ensemble – Glossaire Équations diophantiennes Inverse des entiers Nombre et anglais Rubriques débutants Théorie des nombres
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