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Axiomatique de Peano Arithmétique de Peano Construction des nombres entiers Comment en 1889, Guiseppe Peano construit une arithmétique à partir de
l'ensemble vide et la notion de successeur. L'axiomatique de Peano définit les nombres entiers naturels sans dire
comment construire leur ensemble. La notion de cardinal le permet >>> |
Anglais: Peano's axioms / Peano Arithmetic
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Pionnier de
l'approche formaliste des mathématiques. Travaux exécutés en
parallèle de ceux de Richard Dedekind
(1831-1916). Voir Courbe de Peano |
Voir
Contemporains
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Définitions |
Dans l'arithmétique de
Peano, on utilise:
Les termes
sont des éléments combinant symboles et fonctions, comme S(x) + S(y). Un énoncé
désigne une propriété qui prendra son sens en fonction de la valeur des
variables qu'il contient: vraie ou fausse, démontrée ou réfutée. |
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Les cinq axiomes définissant l'ensemble des entiers naturels
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1.
L'ensemble contient un
élément particulier noté 0. 2.
À chaque élément n de
l'ensemble correspond un successeur .noté: S(n) 3.
L'élément particulier
noté 0 n'a pas de prédécesseur. 4.
L'application 5.
L'ensemble possède la
propriété de récurrence. Si une propriété est vérifiée pour 0 et si, pour tout entier naturel n
qui la vérifie, S(n) la vérifie également, alors la propriété est vraie pour
tous les entiers naturels. |
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Axiomes de Peano (narratif) |
Il existe un
ensemble N avec:
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Anglais
Écriture
symbolique
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Axiomatisation de l'arithmétique de notions
basiques aux concepts
pointus |
Objectif
double:
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Construction de l'arithmétique Les cinq
axiomes permettent de définir l'addition et la
multiplication,
puis toutes les propriétés classiques de l'arithmétique usuelle:
commutativité, associativité, distributivité, etc. |
Numération Le successeur de 0 est noté 1; celui de 1 est
noté 2, etc. Addition Quelles que soient les valeurs de
a et b, éléments de N: a
+ 0 = a a
+ S(b) = S(a + b) Multiplication Quelles soient les valeurs de a et b,
éléments de N: a x 0 = 0 a x S(b) = a x b + a |
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Outils de la construction |
Parmi les
outils principaux, on trouve:
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Arithmétique élémentaire |
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Exemples de calcul |
Rappels a + 0 = a (1) a + S(b) = S(a + b) (2) Exemples a + 1 = a +
S(0) selon la définition du nombre 1. = S(a + 0) selon (2). = S(a) selon (1). a + 2 = a +
S(1) selon la définition du nombre 2. = S(a + 1) selon (2). = S(S(a)) selon le résultat précédent. a + 3 =
S(S(S(a))) … |
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Voir
Opérations de l'arithmétique
Merci à Serge Paccalin
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Construction
des nombres – Méthode des ensembles dite
de Von Neumann |
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Méthode La
construction est conduite à partir de l'ensemble vide et, elle fait appel à la notion de cardinal (cad: de
simple comptage des éléments). |
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Ensemble vide. |
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Ensemble comprenant un unique élément, l'ensemble
vide. |
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Ensemble comprenant l'ensemble vide et l'ensemble
comportant un élément, soit deux ensembles. |
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Ensemble comprenant les ensembles 0, 1 et 2, soit
trois ensembles. |
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Théorie |
Point de
départ: la théorie des ensembles et l'ensemble vide identifié à 0. On construit
les entiers naturels de la façon suivante: · L'ensemble vide · Soit n un entier naturel, alors l'ensemble
·
Tout entier naturel est construit à partir de ces deux règles. Exemples Successeur
de 0: Successeur
de 1: Successeur
de 2: Pour assure
l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels, il faut aussi
introduire l'axiome de l'infini . |
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Zéro
barré: unicode hexadécimal 00D8
Voir
Système de numération
unaire / Union
(U) / John von
Neumann
Merci
à
Philippe Caillaud pour ses remarques et corrections
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Focus : La quête de la
définition logique du nombre entier Qu’est-ce
qu’un entier naturel
? Notre intuition y voit l'outil fondamental pour compter les objets d'une
collection finie. Mais d'un point de vue purement mathématique, comment définir
ce qu'est un entier sans déjà présupposer la notion de nombre ? L'histoire
de cette définition est une aventure intellectuelle fascinante, à la
frontière de la philosophie et de la logique mathématique. 1.
L'approche philosophique : Le nombre comme « forme pure » (Husserl) Le
philosophe et mathématicien Edmund Husserl, ami de Georg Cantor (le père de
la théorie des ensembles), cherchait à comprendre la nature du nombre par le
prisme de l'abstraction. Pour
Husserl, le nombre d'éléments d'un ensemble fini s'obtient en faisant
abstraction de la nature de ses éléments. Du point de vue de l'arithmétique,
peu importe ce que l'on compte : Un
ensemble composé d'un crayon, d'une banane et d'une chaussure...
a exactement la même « forme » qu'un ensemble composé d'une maison,
d'une voiture et d'un arbre. Cette
« forme pure de la multiplicité », dépouillée du contenu concret des objets,
est le nombre 2.
Le projet logiciste de Gottlob Frege : Éviter le piège de la psychologie Au
même moment, Gottlob Frege poursuit un objectif monumental : fonder
l'arithmétique sur la seule logique pure. Frege
rejetait catégoriquement le « psychologisme » — l'idée reçue selon laquelle
les mathématiques dépendraient de nos perceptions ou de nos représentations
mentales. Pour lui, la vérité mathématique est absolue : le nombre Pour
définir le nombre sans recourir à la psychologie, Frege propose une idée
révolutionnaire : un nombre est l'extension d'un concept (ce que nous
appelons aujourd'hui l'ensemble des objets qui possèdent une même propriété). 3.
La solution de l'équinuméricité : Compter sans
savoir compter Comment
définir le fait que deux ensembles ont « le même nombre d'éléments »
sans utiliser le mot « nombre » (ce qui serait un raisonnement circulaire) ? C'est
ici que réside le génie de Frege : il utilise la notion d'appariement
un-à-un, formalisée en théorie des ensembles par la notion de bijection. Vocabulaire
: Bijection et Équipotence ·
Bijection : Une correspondance parfaite entre deux ensembles ·
Équipotence : Deux ensembles L'analogie
de la table : Pour vérifier qu'il
y a autant d'assiettes que de couteaux sur une table, vous n'avez pas besoin
de compter les assiettes (1, 2, 3...), puis les couteaux (1, 2, 3...). Il
vous suffit de poser un couteau à côté de chaque assiette. S'il ne reste
aucun couteau ni aucune assiette isolée, les deux ensembles sont équipotents. 4.
La définition de Frege-Russell dans le langage des ensembles En
traduisant la pensée de Frege dans le langage de la théorie des ensembles de
Cantor et de la théorie des classes de Bertrand Russell, on obtient cette
définition saisissant d'élégance : "Le nombre d'un ensemble "
A" est la classe de tous les ensembles équipotents
à " A. Par
exemple, le nombre Vocabulaire
: Ensemble vs Classe propre Pour
éviter les paradoxes logiques (comme le fameux paradoxe de Russell qui
montre qu'il ne peut exister d'« ensemble de tous les ensembles »), les
logiciens distinguent : ·
Les Ensembles : Les collections d'objets standards manipulées en mathématiques. ·
Les Classes propres : Des collections « trop grosses » pour être
contenues dans des ensembles. La
collection de tous les ensembles à 3 éléments est une classe propre. 5.
Des « monstres » de Russell aux ordinaux de von Neumann Bien
que logiquement parfaite, la définition de Frege-Russell présentait un
inconvénient pratique pour les mathématiciens : manipuler des classes propres
(des objets infiniment gigantesques, « absolument infinis » au sens de
Cantor) pour représenter de simples petits nombres entiers comme C'est
John von Neumann qui va parachever cette construction en apportant une
simplification magistrale. En
mathématiques, on distingue deux aspects du nombre : ·
Le Cardinal : La mesure d'une quantité (combien d'éléments ?). ·
L'Ordinal : La mesure d'un ordre ou d'une énumération (quel rang ?). Pour
les entiers naturels finis, ces deux aspects se confondent. Von Neumann a
donc proposé de construire chaque entier naturel sous la forme d'un ensemble
fini élégant et bien réel, construit uniquement à partir de l'ensemble vide ( ·
·
·
·
·
Et de manière générale, chaque entier En
résumé Grâce
aux ordinaux de von Neumann, chaque entier naturel devient un objet
mathématique parfaitement défini, d'une sobriété exemplaire, et qui contient
exactement le nombre d'éléments qu'il représente. Le projet logiciste
initié par Frege trouve ainsi son aboutissement : les entiers naturels ne
sont ni des abstractions psychologiques, ni des notions primitives
incertaines, mais de pur objets logiques construits au sein de la théorie des
ensembles. |
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Problème des quatre
couleurs pour les cartes ·
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Sites |
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Arithmétique
de Peano – BibM@th.net ·
Axiomes de Peano
– Wikipédia ·
Axiomes de Peano
- Définition et Explications – Techno-Science ·
Axiomatique
des nombres – Christine Laurent-Thiébaut – 2014 – pdf 61 pages ·
Axiomes
et nombres – Gys
M. Tuyman – pdf 300 pages ·
Construction
des entiers naturels – Wikipédia ·
Entiers
naturels et relatifs – Daniel Perrin ·
Logique et théorie du
calcul – Arithmétique de Peano ·
Peano's
Axioms – Wolfram MAthWorld |
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