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INFINI – TRANSFINIS George Cantor est le
mathématicien de l'infini ou des différentes sortes d'infinis, les
transfinis. |
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Est-ce que la quantité des nombres entiers est plus grande
que celle de leur carré. Il
est évident que la plupart des nombres ne sont pas des carrés. Alors leur
quantité devrait largement surpasser la quantité des nombres carrés. Et
pourtant, à chaque nombre on peut associer son carré. Conclusion: à l'infini, la notion de
" plus grand, plus petit ou égal " n'est pas applicable. |
Voir Paradoxe
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On dit que tous ces ensembles sont équipotents.
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Voir Compter les nombres
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Soit un hôtel ayant une infinité de
chambres occupées. Un nouveau client arrive. Que faire? Simple! On met le client 1 en chambre
2, le 2 en chambre 3, etc. La chambre 1 devenue libre est
attribuée au nouveau client. Maintenant, arrive une infinité de
clients. On met le client 1 en chambre 2, le
client 2 en chambre 4, le client 3 en chambre 6, etc. Les chambres impaires deviennent
disponibles pour y loger les nouveaux venus. L’hôtel de Hilbert : l’hôtel aux chambres infinies –
Narratif Un voyageur arrive devant un hôtel étonnant :
l’hôtel de Hilbert. Il possède une infinité de chambres,
numérotées Un nouveau client demande une chambre. Le directeur
ne refuse pas : il demande simplement à chaque occupant de changer de
chambre. Le client de la chambre 1 va en chambre 2, celui de la chambre 2 va
en chambre 3, et ainsi de suite. Chaque client trouve une nouvelle place, et
la chambre 1 devient libre pour le nouveau venu. Un peu plus tard, un car arrive avec une infinité
de voyageurs. Le directeur ne panique pas. Il demande aux clients déjà
présents de multiplier leur numéro de chambre par 2 : le client de la chambre
1 va en chambre 2, celui de la chambre 2 en chambre 4, celui de la chambre 3
en chambre 6, etc. Toutes les chambres impaires deviennent alors disponibles
pour accueillir les nouveaux voyageurs. Enfin, un jour, une infinité de cars contenant
chacun une infinité de voyageurs arrive devant l’hôtel. Même ce défi semble
possible : le directeur utilise une organisation plus subtile pour attribuer
à chacun une chambre. La morale de l’histoire : dans le monde des infinis, un hôtel peut être «
plein » tout en ayant encore de la place. L’hôtel de Hilbert illustre une
propriété surprenante des ensembles infinis dénombrables : on peut parfois
ajouter de nouveaux éléments sans augmenter leur taille apparente.
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Voir
Brève 66-1318
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Voir Cardinal
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Voir procédé Zigzag.
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Conclusion Il
y a autant de points dans un segment d'un milliardième de millimètre que dans
un cube immense ou une hyper sphère ou un volume de 7e dimension
ou même de dimension infinie! |
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Voir Hypothèse du
continu pour détails et nuances / Calculs avec
Aleph |
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Il
n'existe pas de plus grand infini ou d'infini absolu. En effet: imaginons
l'ensemble qui a le plus grand cardinal possible,
alors l'ensemble des parties de cet ensemble aurait un cardinal strictement
plus grand. Il est donc toujours possible de pousser plus loin l'infini. Rappel: soit un ensemble de deux éléments {A, B}; son cardinal est 2 (la
quantité d'éléments dans l'ensemble). L'ensemble de ses parties {(A), (B),
(AB)} a un cardinal 3. Cette propriété est
généralisable. Le cardinal d'un ensemble formé des parties d'un ensemble
est plus grand que le cardinal de cet ensemble. |
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Suite |
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Voir |
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