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Édition du: 14/10/2026 |
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INDEX |
INFINI
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Introduction à la
notion d'infini
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Sommaire de cette page >>> En bref et
avec humour >>> L'infini
fascinant – Poster >>> Nombres >>> Escalier >>> Demi-cercle >>> Cercles >>> Boules |
Débutants Glossaire |
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En bref et avec humour |
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Il
faut imaginer Sisyphe heureux. Albert Camus – Le mythe de Sisyphe Sisyphe refuse de mourir. Il s'oppose eux dieux
dont Thanatos. Il en sera puni et condamné à pousser un rocher sur une
colline. Lorsqu'il approche du sommet, le rocher se met à redescende, et cela
éternellement. Odyssée - Homère |
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Voir Pensées
& humour / Expressions avec
"infini"
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Nous savons que les nombres entiers sont en quantité
infinie : il en existe toujours un plus grand que les autres. Chacun des nombres entiers possède un carré ;
les nombres carrés sont donc, eux aussi, en nombre infini. Mais chaque carré
est plus grand que le nombre dont il est issu… Y aurait‑il alors plus
de nombres carrés que de nombres entiers ? Non ! C’est la même infinité. >>> En mathématiques de l’infini, il faut bien admettre
que les comparaisons sont délicates. |
Il y une infinité de nombres entiers, une infinité de carrés, une infinité de cubes, une infinité de puissances m. La même infinité. |
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Quelle est la
distance la plus courte pour aller de A à C ?
Oui ! Un paradoxe semble montrer
que la diagonale aurait la même longueur que la somme de la largeur et de la
hauteur. Le seul moyen de lever ce paradoxe est d’admettre qu’il existe
différents niveaux d’infini. Il y a en effet plus de points sur la
diagonale que dans le nombre d’escaliers que l’on peut construire pour
l’approcher. Soit la conclusion
suivante: L'infini des nombres
entiers est
"moins riche " que l'infini de la quantité de points sur une droite. |
Parcours
possibles
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Voir Périmètre de l'escalier
/ Fractions en zigzag / Diagonale de Cantor / Marche de l'ivrogne
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Les trois courbes L1,
L2 et L3 ont même longueur. Et, ce serait le cas pour
les courbes suivantes, en divisant à chaque fois le rayon par 2. À la limite, cette courge se rapproche du diamètre. On aurait
donc D = 2R =
3,14… R, ce qui est absurde. Encore un paradoxe
qui montre que le passage à la limite n'est pas licite. Les
petits ponts se comptent en nombre
entiers: 1, 2, 4, 16, … 2k …, mais cela reste un nombre entier
même à l'infini. Alors
que la mesure du diamètre est en nombres réels. Et, il y a beaucoup plus de
réels que d'entiers. Le paradoxe: l'un
des infinis est plus grand que l'autre. Ce sont pourtant des infinis. |
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À première vue, le
plus grand cercle
(circonférence) devrait contenir plus de points que le petit. Or à chaque point P
ou Q, il est possible d'associer un point P' ou un point Q'. Il y a donc la même
quantité de points sur les deux cercles. Et si le petit
cercle était réduit à un point et le grand à un cercle de rayon infini ? |
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Voir
Quantité infinie de points
sur une droite
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Expérience Une expérience qui
peut partir dans une infinité de directions ! On tire une boule, puis on la remet dans la boîte
en ajoutant une boule de la même couleur. Après un certain nombre de tirages, la proportion
de boules rouges et de boules bleues converge vers une valeur fixe. Mais cette valeur
change à chaque fois que l’expérience est recommencée : chaque série de
tirages construit sa propre
limite.
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Interprétation À mesure que le
nombre total de boules augmente, la variance de la fréquence au tirage
suivant — sachant la fréquence actuelle — diminue. L’amplitude des variations
d’un tirage à l’autre devient de plus en plus faible : la fréquence
doit donc converger. En revanche, le
point d’arrivée reste totalement imprévisible. Toute valeur entre 0 et 1 est
possible, et toutes sont équiprobables. |
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Voir Jeux / Statistiques
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Suite |
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