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Que lisez-vous ?
Le nombre 2025 et ses retournés 2505, 5052 et 5202
Notez que 2 et 5, avec ces
formes, sont l'un le retourné de l'autre.
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Nombres retournés ou réversibles Motifs obtenus en
prenant un nombre et son retourné ou symétrique dans un miroir (presque).
Objets d'amusements divers. Types de réversibles
Retournés et opérations |
Anglais: Reversal of a positive integer / digit reversal
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Quel est l'animal représenté par cette
opération:
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Quel est le nombre de deux chiffres qui
présente une différence de |
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Quel est le numéro de la place de
parking masqué par la voiture?
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Quelle est la suite de cette série:
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Solutions / Somme
30 avec trois nombres
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Un nombre de deux
chiffres ajouté à son retourné est divisible par 11 et par la
somme de ses chiffres. >>> Exemple: 23 + 32 = 55 = 5 x 11. |
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1,
3, 6, 8 et 9 |
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11 88 |
Autre: 0, 1, 8, 11,
69, 88, 96, 101, 111 … |
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9 89 98 99 696 969 999 … |
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69 6 969 … |
Suite >>> |
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196
= 14² 169
= 13² 961
= 31² |
Suite >>> |
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11
et 333 |
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121 et 45654 |
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123
et 321 |
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123
et -123 |
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123
et 1/123 |
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11,
69, 88 … |
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Voir Nombres et
motifs avec les chiffres / Crème renversée
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122 x 213 = 25 986 221 x 312 = 68 952 |
Relations
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73 = 37 x 2 – 1 799..993 = 399..997 x 2 – 1 41 = 14 x 3 – 1 |
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Certains
nombres soustrait de leur retourné produisent des
nombres en 9: Propriété
assez banale que l'on retrouve 20 fois pour la centaine en 700: |
Ils sont 17 de n = 10 à 99 avec somme 9 Ils sont 170 de n = 100 à 999 avec
somme 99 100, 102, 110, 112, 120, 122, 130, 132, 140, 142,
150, 152, 160, 162, 170, 172, 180, 182, 190, 192 … 908, 918, 928, 938, 948,
958, 968, 978, 988, 998 Ils sont 170 de n = 1 000 à 9 999 avec
somme 999 1000, 1002, 1110, 1112, 1220, 1222, 1330, 1332,
1440, 1442, 1550, 1552, 1660, 1662, 1770, 1772, 1880, 1882, 1990, 1992… 9008,
9118, 9228, 9338, 9448, 9558, 9668, 9778, 9888, 9998 Ils sont 1700 de n = 10 000 à 99 999
avec somme 9999 10000, 10002, 10100, 10102, 10200, 10202, 10300,
10302, 10400, 10402, 10500, 10502, 10600, 10602, 10700, 10702, 10800, 10802,
10900, 10902, 11010, 11012, 11110, 11112, 11210, 11212, 11310, 11312, 11410,
11412, 11510, … 99098, 99198, 99298, 99398, 99498, 99598, 99698, 99798,
99898, 99998 Le plus grand est toujours de la forme:
999…98. |
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Suite Nombres somme de
retournés / Nombre
666
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Nombres dont
la somme des chiffres est l'un des diviseurs et l'autre diviseur est le
retourné du premier. Seuls quatre
nombres partagent cette propriété (dont un trivial). |
1729 = 19 x 91 & 1 + 7 + 2 + 9 = 19 1458 = 18 x 81 & 1 + 4 + 5 + 8 = 18 81 = 9
x 9 & 8 + 1 = 9 1 = 1
x 1 & 1 = 1 |
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Programme Maple
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Commentaires Remise à zéro des
paramètres internes. Boucle de balayage des
nombres de 1 à 100. Le produit donne le
nombre p, objet de nos recherches. Il
est converti pour donner la liste des chiffres, lesquels sont sommés en s. Si cette somme s est
égale au nombre n alors nous avons la configuration cherchée. En bleu, les quatre cas que nous avons identifiés
ci-dessus. La poursuite de l'examen des nombres (> 100) ne donnent aucun autre résultat. |
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n . r = 100 ab + 10(a²
+ b²) + ab
n . n = n² = 100 a² +
20 a² + a² = 121 a² 13 x 31 = 100 x 3 + 10
(9 + 1) + 3 = 300 + 100 + 3 = 403 52 x 25 = 100 x 5 x 2
+ 10 (5² + 2²) + 5 x 2 = 1 000 + 290 + 10 = 1 300 99 x 99 = 100 x 81 + 10
x 2 x 81 + 81 = 8 100 + 1 620 + 81 = 9 801 |
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Voir Calcul
mental / Carré des
repdigits
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Observations Quantité paire de chiffres n + r
divisible par 11 n – r
divisible par 9 Quantité impaire de chiffres n – r
divisible par 99 Voir Divisibilité |
Exemples avec quantité (#)
croissante de chiffres
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Démonstration Quantité impaire de chiffres avec pour modèle les nombres à trois chiffres Généralisation à n'importe quelle quantité impaire
de chiffres en donnant le développement
décimal classique de n. |
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Quantité paire de chiffres avec pour modèle les nombres à quatre chiffres Même remarque sur la généralisation qui me semble
évidente, mais fastidieuse. . |
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Pour vous
convaincre, prenez seulement deux
chiffres de plus:
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Multiples de 9 et de 99
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Tous les multiples,
de 2 à 10, de 9 ajouté
à son retourné donne 99. Tous les multiples,
de 2 à 10, de 99
ajouté à son retourné donne 1
089. Avec 999 x k => Avec 9999 x k => Etc. |
M = 5 x 9 = 45 Mr = 54 M + Mr = 99 M = 5 x 99 = 495 Mr = 594 M + Mr = 1 089 = 99 +
990 M + Mr = 10 989 = 999 +
9990 M + Mr = 109
989 = 9999 + 99990 … |
Voir Preuve
par neuf / Démonstrations / Tour de magie utilisant ces
propriétés / Repdigits en 9
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Les sommes complètement retournées sont nombreuses. Elles sont présentes
tant que les sommes n'impliquent aucune retenue. Avec 12, on trouve ainsi 63 configurations
possibles.
Quantité
de configurations
(12, 63; 13, 55; 14,
47; 15, 40; 16, 32; 17,
24; 18, 16; 19, 8) Avec 19,
elles sont toutes triviales, du
type: 20 + 10 = 30 et 1 + 2 = 3 Avec
trois chiffres, également de nombreuses configurations
Elles sont 447 pour 123 et 25 pour 246, par exemple. Avec
quatre chiffres
Avec
production de retenues
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Voir Nombres sommes de
nombres et retournés
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Les
nombres + retournés = carrés
Avec deux chiffres, ils sont 2 x 4 = 8 avec 11² pour somme. Aucun à quatre chiffres. Le premier à cinq chiffres: 10 148 + 84
101 = 307². Avec plus de chiffres, ils sont de plus en plus nombreux. |
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Carré avec
le produit On élimine les cas évidents
Le produit d'un nombre de deux chiffres
par son retourné n'est jamais un carré (sauf repdigits. Ex: 33 x 33 = 33²;
trivial). Avec trois chiffres, il y en a cinq cas, et cinq autres en inversant les nombres. Avec quatre chiffres, ils sont 3: 1 089, 1 584 et 2 178 et trois autres par
inversion. Ils sont 2 x 18 avec cinq
chiffres, le premier étant 10 404 et
le dernier 99 375. Ce triplet est amusant: n
= 20 808, r
= 80 802, nr = 41 004² Puissances
supérieures Seules connues: |
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Voir Et avec la
division? Ce sont les palintiples / Brèves de maths
484
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Commentaires Boucle de recherche pour
chaque nombre n. Conversion en base 10 qui
produit la liste des chiffres; quantité de chiffres en q. Calcul du nombre
retourné en additionnant les chiffres à l'envers, et chacun pondéré par la
bonne puissance de 10. Calcul du produit en a. Si le nombre n'est pas
divisible par 10, si le nombre n'est pas égal à son retourné et si le produit
est un carré (la racine est entière, integer), alors imprimer le
nombre, son retourné, le produit et la racine carrée. En bleu le résultat de
la recherche |
Voir Programmation – Index
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Comparaison
entre:
En jaune, les cas où il y a égalité, offrant un motif palindrome, comme:
Les repdigits, comme 11 ou 22, produisent un motif trivial. D'autres
cas se produisent, lorsque l'effet de
retenue dans les calculs est absent: 101²
= 10201 et 10201 = 101² 102²
= 10404 et 40401 = 201² 113²
= 12769 et 96721 = 311² etc. Suite en Nombres carrément réversibles Recherche des carrément réversibles
– Programme |
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Cas de 33 et 99
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33² =
1089 et 9801 = 99² Moins joli: 3168² = 10036224 et 42263001 = 6501² |
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En ajoutant
autant de 9 que l'on veut dans ces nombres,
on retrouve la même propriété. Exemples:
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954 – 459
= 495 450
– 405 = 45 7641
– 1467 = 6174 98754210
– 1245789 = 97508421 987654321
– 12345678 = 864197532 9876543210
– 12345678 = 975308421 |
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Nombre qui
s'exprime par deux produits, au
moins, dont l'un est le retourné de
l'autre. Nombre
défini par Shyam Sunder Gupta. |
Le plus petit 2520 = 120 x 021 =
210 x 012 |
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Autres exemples |
4030 = 130 x 031 = 310 x 013, 144648 = 861 x 168 = 492 x 294, 185472 = 672 x 276 = 384 x 483, 9949716 = 2583 x 3852 = 1476 x 6741, 16746912 = 2556 x 6552 = 4473 x 3744. |
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Liste de tels nombres EPRN (Equal Product of Reversible Numbers) |
2520,
4030, 5740, 7360,
7650, 9760, 10080,
12070, 13000, 14580,
14620, 16120, 17290,
18550, 19440, 22680,
22960, 24300, 25200,
26680, 27010, 29440,
31540, 34780, 36270,
36400, 40300, 40320,
42750, 46060, 49300,
50920, 56050, 57400 … |
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Quel est l'animal représenté par cette
opération? En retournant l'opération: (Les nombres sont écrits en fontes type calculette) En retournant le résultat: |
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Voir Jeux
avec lettres pour chiffres
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Quel est le
nombre de deux chiffres qui présente une différence de 33 lorsqu'il est lu
sur la calculette retournée? Nombres
tels qu'en tournant un peu la tête, on
peut lire les deux possibilités => Deux réponses possibles: le nombre
29, lu en retournant la
calculette, donne 62 et la différence est
33. C'est le cas aussi pour 66 qui donne 99. Avec trois chiffres: 699 – 666 = 999 – 966 = 33. Notez
aussi: 999 – 669 = 330. Il faut bien noter que seuls {0, 1,
2, 5, 6, 8
et 9} sont lisibles une fois retournés,
et que 6 devient 9 et réciproquement. Alors,
les différences possibles sont indiquées dans le tableau (sans compter
les cas comme 88 qui devient 88 avec différence nulle). Le choix de 33 est amusant, bien que non lisible à l'envers, mais on aurait pu choisir tout autre nombre
ce cette liste (ceux en rose sont lisibles à l'envers). |
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Quel est le numéro de la place de parking masqué par la voiture?
L'astuce: en se plaçant de l'autre côté, on voit cette configuration:
Avec cette fonte, les
nombres de 86 à 91, sauf 87, sont réversibles |
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Suite des carrés dont ceux à plusieurs
chiffres ont été retournés. 16 est devenu 61; 25 est passé à 52;
etc. Pour 10² = 100 le retourné est 001 qui
devient simplement 1. La suite sera 11² = 121 qui restera
lui-même. Puis 12² = 144 qui devient 441; et. |
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Suite |
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Voir |
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DicoNombre |
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