|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Les 198 palindromes jusqu'à 10000
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101,
111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252,
262, 272, 282, 292, 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393, 404,
414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494, 505, 515, 525, 535, 545, 555,
565, 575, 585, 595, 606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696, 707,
717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797, 808, 818, 828, 838, 848, 858,
868, 878, 888, 898, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999, 1001,
1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, 2002, 2112, 2222, 2332,
2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992, 3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663,
3773, 3883, 3993, 4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994,
5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995, 6006, 6116, 6226,
6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996, 7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557,
7667, 7777, 7887, 7997, 8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888,
8998, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999. OEIS
A002113 |
Les 113 palindromes PREMIERS jusqu'à 100000
|
2,
3, 5, 7,
11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919,
929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831,
13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971,
18181, 18481, 19391, 19891, 19991, 30103, 30203, 30403, 30703, 30803, 31013,
31513, 32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263,
36563, 37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 70207, 70507, 70607, 71317,
71917, 72227, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 75557, 76367, 76667,
77377, 77477, 77977, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019,
93139, 93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469,
96769, 97379, 97579, 97879, 98389, 98689. Suivant: 1003001. OEIS
A002385 |
Note: pas de
palindrome premier avec une quantité paire de chiffres: ils sont divisibles par
11.
|
NOMBRES PALINDROMES
Monsieur,
prénom et nom, SVP? LÉON NOËL Que faire ? ENGAGE LE JEU QUE JE LE GAGNE |
Voir Anacyclique
|
Trouver la somme de tous les
palindromes à trois chiffres divisibles par 13. |
|
En 2016,
Cilleruelo, Luca et Baxter prouvent que: Tout
nombre est la somme de trois
palindromes en base b (b > 4). For integer b > 4, any positive integer can be
written as a sum of three palindromes in base b. Exemple: 389 = 11 + 55 + 323 En
2017, A. Rajasekaran, J. Shallit, T.
Smith complètent: Tout nombre
est la somme d'au plus quatre nombres naturels dont la représentation en base 2 est un palindrome.
Résultats similaires pour les bases 3 et 4. Exemples
|
Voir Somme de trois
nombres triangulaires (théorème des nombres polygonaux)
Brève 47-931
|
|
|||||||||
|
MOTS
PALINDROMES Les
mots palindromes sont des mots à symétrie bilatérale (qui
s'épellent de la même façon dans les deux sens) Exemples RADAR ROTOR ÉTÉ Une
phrase complète possédant une symétrie bilatérale est
un palindrome. Exemple ÉSOPE RESTE ICI ET SE REPOSE NOMBRES
PALINDROMES Un
nombre palindrome est un nombre qui
garde la même valeur quand
on prend ses chiffres à l'envers. Exemples 11 101 45654 12345678987654321 Voir Nombres palindromes ANNÉES
PALINDROMES
Voir Dates palindromes |
|||||||||
|
|
|||||||
|
0 |
|
101 |
1001 |
10001 |
100001 |
... |
|
|
1 |
11 |
111 |
1111 |
10101 |
101101 |
|
|
|
2 |
22 |
121 |
1221 |
10201 |
102201 |
|
|
|
3 |
33 |
131 |
1331 |
10301 |
... |
|
|
|
4 |
44 |
141 |
1441 |
10401 |
|
|
|
|
5 |
55 |
151 |
1551 |
10501 |
|
|
|
|
6 |
66 |
161 |
1661 |
10601 |
… |
|
|
|
7 |
77 |
171 |
1771 |
10701 |
765567 |
… |
|
|
8 |
88 |
181 |
1881 |
10801 |
… |
|
|
|
9 |
99 |
191 |
1991 |
10901 |
|
|
|
|
|
202 |
2002 |
11011 |
|
|
|
|
|
|
212 |
2112 |
11111 |
|
|
|
|
|
|
222 |
2222 |
11211 |
|
|
|
|
|
|
232 |
2332 |
11311 |
|
|
|
|
|
|
242 |
2442 |
11411 |
|
|
|
|
|
|
252 |
2552 |
11511 |
|
|
|
|
|
|
262 |
2662 |
11611 |
|
|
|
|
|
|
272 |
2772 |
11711 |
|
|
|
|
|
|
282 |
2882 |
11811 |
|
|
|
|
|
|
292 |
2992 |
11911 |
|
|
|
|
|
|
303 |
3003 |
12021 |
|
|
|
|
|
|
313 |
3113 |
12121 |
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|
979 |
9779 |
99799 |
|
|
|
|
|
|
989 |
9889 |
99899 |
|
|
|
|
|
|
999 |
9999 |
99999 |
|
|
|
|
Voir Tables
Devinette
|
Quel est le palindrome suivant? Un automobiliste constate que son compteur
indique un kilométrage palindromique: 15 951 km. Coïncidence, pile poil une
heure plus tard, il constate qu'il vient d'atteindre le palindrome suivant!
Quelle est sa vitesse? Pour calculer le palindrome suivant, il
faut partir du centre et ajouter 1. Le 9
devient 0 et les chiffres de chaque côté sont incrémentés en 6. Soit
15 9 51 qui devient 16 0 61 km. La différence est égale à 110 et sa
vitesse est de 110 km/h. |
|
|
||
|
Quelques
propriétés Pratiquement
toutes les questions intéressantes sur les
nombres premiers palindromes sont
encore sans réponse. On
n'a même pas démontré qu'il y en a une infinité... Somme 38
+ 83 = 121 Produit du nombre et son
retourné 1089 x 9 = 9801 2178 x 4 = 8712 10989 x 9 = 98901 21978 x 4 = 87912 109989 x 9 = 989901 219978 x 4 = 879912 Les
seuls à 4, 5, 6, etc. chiffres avec ce motif. On note que 2178 est le double de 1089. Le motif sous-jacent est le suivant, encore un coup
des repunits: 1089 = 11 x 11 x 9 et 9801 = 11 x 11 x 9 x 9 10989 = 111 x 11 x 9 et 98901 = 111 x 11 x 9 x 9 109989 = 1111 x 11 x 9 et 989901 = 1111 x
11 x 9 x 9 Même motif avec 3 chiffres: trois cas seulement
(hors triviaux) 510 = 015 x 34 540 = 045 x 12 810 = 018 x 45 Voir Nombres de Friedman / Nombres retournés Retourné d'un nombre et
palindrome |
||
|
|
Les opérations (en vert) son l'image l'une de l'autre par retournement. |
|
|
Quelques
curiosités Le
plus grand nombre non palindrome connu (5
juillet 2024 – Patrick De Geest) dont le carré est un
palindrome est:
Le
plus grand nombre non palindrome qui était connu en 1997 dont le carré est un
palindrome était:
Les
cubes
palindromiques dont les racines cubiques ne sont pas des palindromes sont
si rares que l'on n'en connaît qu'un:
Une
somme avec 4 palindromes premiers à 5 chiffres
Il
existe bon nombre de telles curiosités Note: 30503
n'est pas premier. Chiffre
unique Les
Repdigits (ex: 666) et Repunits (ex: 1111) sont, bien évidemment, des
palindromes à un seul chiffre. |
|
|
|
|
Propriété Tous
les palindromes sont des sommes de multiples de 102k+1 +1 Exemples k
= 0 101 + 1
= 11 k = 1 103 + 1 = 1001 k
= 2 105 + 1
= 100001 3223
= 3 x (103 +1)
+ 20 x (101 +1) Voir Exemple d'emploi |
|
Quantité de palindromes (*sans les repdigits)
Le nombre 504 est le plus petit avec trois fois la somme.
En rouge, 202 est le plus petit palindrome, somme deux fois
de deux palindromes.
En rouge, 47874 est le record de multi-sommes et il se
trouve qu'il est palindrome.
Voir Nombre 202 / Nombre 504 / Nombre 47 874
|
|
|
|
Tous
les palindromes à nombre pair de
chiffres sont divisibles par 11. Exemples 8
8 = 11 x 8 45
54 = 11 x 414 789
987 = 11 x 71817 987 6 6 789 = 11 x 8 978 799 Voir Démonstration |
|
|
|
||
|
Facteurs sans exposants Exemple: 6006 = 2 x 3 x 7 x 11x 13. Le plus
petit palindrome parmi tous les palindromes à cinq facteurs sans exposant
(sans puissance).
|
Facteurs avec exposants Exemple: 88 est
le palindrome le plus petit à quatre facteurs, y compris répétés.
|
|
Voir Repdigits – Records
|
|
|
|
On cherche les nombres palindromes qui sont
premiers. Unique 11 est le seul nombre palindrome premier a avoir un nombre de chiffres
pair. Propriétés Un
nombre premier palindrome doit commencer et finir avec 1, 3, 7 ou 9 et avoir un nombre impair de chiffres. Rappel : Avec un
nombre pair, c'est multiple de 11. Les
premiers PALINDROMES PREMIERS Il y en a
15 à 3 chiffres 101 131 151 181 191 313 353 373 383 727 757 787 797 919 929 Il y en a 0
à 4 chiffres Il y en a 93
à 5 chiffres 10301
10501 10601 11311 11411 12421 12721 128 ... Il y en a 0
à 6 chiffres Il y a 668
palindromes premiers de 7 chiffres Il y a 83 duos de palindromes premiers
jumeaux dont 3 sont triplés et 1 quadruplé. Duos 1092901
– 1093901 1177711
– 1178711 1242421
– 1243421 ... Triplés 1968691
- 1969691 - 1970791 ... Quadruplé 1878781
– 1879781 – 1880881 – 1881881 Curiosité 777
8 777 Plus
petit premier palindrome de 7 chiffres avec les
chiffres 7 & 8. Le
plus petit premier pannumérique 102 345
698 7 896 543 201 Voir Pannumérique / Diconombre Le plus petit palindrome premier de rang palindrome 143 787
341 est premier de rang 81 14 118. On a aussi
11 de rang 5, trivial. |
|
|
|
|||||||
|
Définition Nombre n qui, dans toutes les bases de 2
à n – 2, n'est jamais palindrome. Exemples
(Voir Tableau) Pour n = 4, la seule base à considérer est la base
2 et, en binaire,
4 vaut 100 (chiffre indiqué à l'envers
sur le tableau). Ce nombre binaire n'est pas palindrome. Le nombre 4 est
strictement non palindrome. Pour n = 5, sa valeur binaire (101) est un palindrome
(jaune). Le nombre 5 n'est pas strictement palindrome. Pour n = 6, pas de palindrome en base 2, 3 et 4. Le
nombre 6 est strictement non palindrome (marron). Etc. Notes La base n est exclue de la définition,
car n en base n vaut 10 (en effet 1010 = 1010). Alors, n est toujours non palindrome en base n. La base n – 1 également, car n s'écrit
alors 11 (en effet: 1010 = 119). Alors, n est toujours palindrome en base n – 1. Propriétés Après n = 6, tous ces nombres sont
premiers. Par
contre, aucun premier de Mersenne et Fermat ne se
trouve dans cette catégorie. |
|
||||||
|
Liste
des strictement non palindromes jusqu'à n = 10 000 0, 1, 2, 3, puis: |
|||||||
|
4 6 11 19 47 53 79 103 137 139 149 163 167 179 223 263 269 283 293 311 317 347 359 367 389 439 491 563 569 593 607 659 739 827 853 877 977 983 997 |
1019 1049 1061 1187 1213 1237 1367 1433 1439 1447 1459 1511 1553 1579 1669 1709 1753 1759 1907 1949 1993 1997 2011 2063 2087 2099 2111 2137 2179 2207 2287 2309 2339 2417 2459 |
2503 2657 2677 2683 2693 2713 2749 2897 2963 3023 3089 3119 3229 3253 3259 3323 3371 3407 3449 3547 3559 3583 3623 3643 3833 3847 4007 4073 4091 4099 4139 4157 4211 4283 4337 4339 4349 4391 |
4463 4523 4549 4643 4679 4729 4787 4871 4909 4919 4933 5011 5021 5039 5059 5099 5179 5231 5297 5303 5309 5351 5387 5417 5431 5471 5503 5527 5653 5693 5711 5791 5827 5839 5939 |
6047 6067 6079 6089 6131 6199 6229 6247 6269 6277 6311 6343 6359 6389 6551 6599 6653 6793 6871 6947 6983 6991 7019 7079 7159 7213 7247 7283 7433 7487 7691 7817 7877 7949 7963 |
8017 8069 8089 8123 8147 8221 8243 8287 8291 8293 8423 8539 8573 8669 8699 8783 8863 8941 9043 9059 9067 9173 9209 9227 9277 9337 9341 9377 9419 9421 9533 9587 9643 9689 9739 9781 9887 |
||
Voir Programmation de cette recherche
|
Trouver la somme de tous les
palindromes à trois chiffres divisibles par 13. Solution – Identification
des palindromes N = Mettons en évidence le 13 avec 100 = 91
+ 9 = 13 x 7 + 9 N = 13 x 7 a + 10 (a + b) Le palindrome N est divisible par 13 si
chaque terme est divisible. par 13. Or le premier l'est; le second 10 (a + b)
doit l'être. Donc: a + b = 13k avec a et b de 0 à 9;
seule possibilité k = 1. Ce qui donne les valeurs des
palindromes à trois chiffres divisibles par 13: 494, 585, 676, 767, 858 et 949. Calcul de la somme (avec un
peu d'astuce) S = 444 + 50 + 555 + 30 + 666 + 10
+ 767 – 10 + 888 – 30 + 999 – 50 S = 111 (4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)
= 111 x 3 x 13 = 111 x 39 = 3900 + 390 + 39 = 4 329 On aurait pu tenir le
raisonnement voisin pour 11 N
= 100a + 10b + a = 99a + 2a + 10b Ce qui impose: a + 5b = 11k ou a = 11k
– 5b
|
|
|
|
|
Aussi |
|
|
Voir |
|
|
DicoNombre |
|
|
Sites |
Voir site
de Patrick De Geest Voir aussi Patrick De Geest
|
|
Cette page |
