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Édition du: 13/05/2026 |
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INDEX |
Nombres RETOURNÉS |
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Nombres retournés par BLOCS Nombres retournées ou
inversés en considérant des blocs de k chiffres. Page
élaborée à partir des idées mises en évidence par Dominique Tremblay (mai
2026) |
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Sommaire de cette page >>> Rappel MODULO >>> Nombre et son retourné >>> Nombre et son retourné par blocs >>> Nombre en blocs décimaux et son retourné >>>
Conclusion |
Débutants Glossaire |
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Reste
de la division par 9 Il
existe une manière très simple d’obtenir le reste d’un nombre dans la
division par 9 : il suffit d’additionner ses chiffres, puis de recommencer
jusqu’à obtenir un seul chiffre. Cette réduction progressive condense le
nombre en une sorte de signature numérique qui résume son comportement vis‑à‑vis
du 9. Nombres
avec mêmes chiffres Grâce
à cette propriété, deux nombres composés exactement des mêmes chiffres — même
réarrangés — possèdent automatiquement la même signature. Ils se comportent
donc de la même manière dans la division par 9. Leur structure interne, et
non leur ordre, détermine leur reste. Différence
entre deux nombres Lorsque
l’on soustrait deux nombres ayant la même signature, on soustrait en réalité
deux restes identiques. Leur différence laisse alors un reste nul. Les deux
nombres sont nécessairement divisibles par 9. Cette idée, simple, sert de
base à de nombreuses constructions arithmétiques, y compris celles présentées
dans la suite de cette page. Congruence
(modulo) On
comprend alors l’intérêt de travailler non plus sur les nombres eux‑mêmes,
mais sur leurs restes. Cette manière de raisonner, plus légère et plus
efficace, a conduit au développement d’un outil opératoire devenu central en
arithmétique : le calcul des congruences, ou plus simplement le calcul modulo.
Il permet de manipuler des équivalences plutôt que des valeurs absolues, et
de simplifier des problèmes parfois très complexes. Comparaison Pour
se représenter intuitivement cette idée, on peut imaginer un bûcheron qui
débite du bois en tronçons d’un mètre. Ce qui l’intéresse, ce n’est pas la
longueur totale de chaque bûche, mais la chute qui reste après chaque
découpe. Il travaille donc en “modulo 1 mètre” : tout ce qui dépasse un
multiple de 1 mètre devient le reste pertinent. Le calcul modulo fonctionne
exactement de la même manière : il s’attache à ce qui subsiste après avoir
retiré tout ce qui peut l’être. |
Voir
Divisibilité par 9
/ Preuve par
9 / Racine
numérique
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Définition Soit un nombre N de k chiffres, et son retourné
R. Quelles sont les propriétés de divisibilité de N
– R ? |
Exemple N = 1234 (k
= 4) R = 4321 |
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Théorème Pour tout entier k > 1et tout nombre N à k
chiffres, de retourné R, la différence N – R est divisible par 9. Si k est impair, elle est divisible par 99 (donc
par 9 et par 11). |
Exemples k = 2: 74 – 47 = 27 = 9 × 3 k = 3: 321 – 123 = 198 = 99 × 2 k = 4: 9876 – 6789 = 3087 = 9 ×
343 k = 5: 46512 – 21564 = 24948 =
99 × 252 |
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Démonstration
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Définition On fixe un
entier k ≥ 1. On considère un nombre décimal N formé de b blocs de k
chiffres où chaque bloc B est
un entier entre et 10k – 1, écrit sur k chiffres
(avec éventuellement des zéros initiaux dans le bloc). Le retourné
R par blocs tel qu’on inverse l’ordre des blocs, sans toucher à l’intérieur
de chaque bloc. On cherche
les propriétés de divisibilité de la différence N – R. |
Exemple 4 blocs de 2
chiffres N = 12 34 56
78 R = 78 56 34
12 |
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Théorème Pour tout nombre N formé de b blocs de k ≥
1 chiffres, de retourné par blocs R,
la différence N – R est toujours divisible par 10k – 1. Conséquences: la différence est toujours
divisible par 9 et par 99 = 9 × 11 si k est pair. |
Exemples 3 blocs de 2
chiffres N = 12 34 56 R = 56 34 12 R – N = 439 956 = 9 × 48 884 4 blocs de 2
chiffres N = 12 34 56
78 R = 78 56 34 12 R – N = 66 217 734 = 99 × 668 866 |
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Démonstration
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Définition On considère
n blocs de k chiffres. Le nombre N
est obtenu en plaçant ces blocs dans l’ordre naturel, chacun pondéré par une
puissance les puissances de 10 successives. Le retourné
est obtenu de la même manière en inversant l’ordre des blocs. On cherche
les propriétés de divisibilité de la différence N – R. |
Exemples 3 blocs de k
= 2 chiffres B = {12, 34,
55} N = 1200 +
340 + 55 = 1595 R = 5500 +
340 + 12 = 5852 R – N = 5852 – 1595 = 4257 = 99 × 43 3 blocs de k
= 3 chiffres B = {123,
345, 555} N = 12300 +
3450 + 555 = 16305 R = 55500 +
3450 + 123 = 59073 R – N = 59073 – 16305 = 42768 = 99 × 528 |
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Théorème Pour tout
choix de k ≥
1 de n ≥
2, la
différence est divisible par 9 si k est
pair ou par 99 si
k est impair. |
Exemples N = 3 blocs, k = 3
chiffres
Divisibilité par 99 confirmée, car N = 2 blocs (pair)
Pas de divisibilité par 11. n = 4 blocs (pair)
Toujours divisible par 9, pas par 11. |
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Démonstration
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Dans tous les modèles étudiés:
On observe un phénomène commun : dès
que deux nombres sont formés des mêmes blocs ou des mêmes chiffres, mais dans
un ordre différent, leur différence est toujours divisible par 9. Ce fait est une conséquence directe des
congruences en base 10, où
Ainsi, toute permutation des blocs ou
des chiffres laisse le nombre inchangé modulo 9, ce qui entraîne
immédiatement :
Dans certains modèles,
la symétrie est plus forte : Si la structure du retournement est symétrique
autour d’un centre (par exemple : nombre de chiffres impair, ou nombre de
blocs impair), alors la même idée appliquée modulo 11 donne aussi
d’où une divisibilité par 99. En résumé :
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Note : la barre verticale se lit "
divise"
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Suite |
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Voir |
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