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Bilan

Dans une démonstration mathématique les idées doivent s’adapter harmonieusement. La beauté est le premier test : dans le monde, il n’y a pas de place pour la laideur mathématique. Une démonstration mathématique devrait ressembler à une constellation simple et d’une netteté parfaite, pas à une Voie lactée éparpillée.

Godfrey Hardy (1877-1947)

Approche	En dessinant un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4 cm, je vérifie facilement avec mon double-décimètre que le troisième côté, l'hypoténuse, mesure 5 cm. La démonstration consiste à en fournir la preuve irréfutable par une suite de déductions.	Théorème de Pythagore: 3² + 4² = 5² a² + b² = c²
Antiquité Grèce	Une des caractéristiques principales de la géométrie grecque est l'art de la démonstration. Une propriété géométrique peut être visible sur un dessin. Mais les philosophes grecs considéraient que les sens sont trompeurs et qu'il ne faut pas croire ce qu'on voit. La démonstration est le moyen de déduire une vérité par un raisonnement logique. C'est-à-dire en utilisant des règles strictes et rigoureuses reconnues par tous les géomètres. La géométrie grecque s'appuie donc sur le principe philosophique qui veut que la pensée ne dépende pas de la perception visuelle. Voir Histoire des mathématiques durant l'Antiquité
La preuve	Les mathématiques diffèrent des sciences naturelles de par la notion de preuve ou démonstration, due aux Grecs et formalisée depuis le milieu du XIXe siècle. En théorie, une preuve est une suite de formules se déduisant les unes des autres par des règles de logique, de façon vérifiable mécaniquement.

Définition

Démonstration: raisonnement établissant la vérité d'une proposition à partir des axiomes que l'on a posés. Argumentation prouvant qu’une assertion mathématique est vraie Pour faire une démonstration, il faut conduire un raisonnement logique à partir de théorèmes qui eux-mêmes ont été déduits d'autres théorèmes et cela jusqu'à une vérité de base posé comme principe admis, les axiomes (ou postulats).

Type

Démonstration triviale Ex: si n est premier alors 2n est pair. Pas besoin ,d'être premier; tous les nombres en 2n sont pairs. Démonstration selon définition Ex: un nombre est pair car il est divisible par 2. Démonstration (calcul) par fausse position Ex: Mesure de l'écart entre la donnée et une supposition pour conclure. >>> Démonstration par équivalence logique Ex: seules les personnes fortunées sont mes amis. Toute personne non-amie n'est pas fortunée. Démonstration par instanciation Si quel que soit x de X la propriété est vraie. Un x choisi en particulier possède de cette propriété. Démonstration directe >>> Enchaînement logiques de déductions. Ex: si n est pair alors n² est pair. En effet: n = 2k et n² = 4k² qui est pair (et même divisible par 4). Démonstration indirecte Si p q est vrai. alors non-p non-q. Ex: si n est pair alors n² est pair. En effet, si n est impair, alors n = 2k+1 et n² = 4k² + 4k + 1 qui est impair. Dans le cas contraire, si n est pair, alors n² est pair. Démonstration par l'exemple >>> Un cas particulier (contre-exemple) infirmant la propriété est trouvé. Démonstration en distinguant des cas Ex: prouvez que n² - n est toujours pair. Deux cas: 1) n est pair et donc n² est pair (cf. ci-dessus) et la différence entre deux pairs est paire. 2) n est impair et donc n² est impair (cf. ci-dessus) et la différence entre deux impairs est paire. Démonstration par contraposée >>> On cherche à démontrer que si P est vrai alors Q est vraie (P => Q). C'est souvent difficile, notamment en probabilité. On passe par la contraposée (non Q => non P) qui est équivalente et souvent beaucoup plus facile à démontrer. Démonstration par l'absurde ou par contradiction >>> On émet une hypothèse de laquelle on conduit un raisonnement logique. Si cette hypothèse conduit à une absurdité, une conclusion impossible, c'est que l'hypothèse est fausse. Ex: prouvez qu'aucun nombre en n² - m² = 1 pour n et m positifs. On suppose que si. Or n² - m² = (n – m)(n + m) = 1. Chacun des facteurs est un entier et soit n – m = n + m = 1 soit n – m = n + m = -1. Or, n – m = n + m implique que m = 0, ce qui contredit l'hypothèse que m est positif. Démonstration par récurrence ou induction >>> On sait faire deux choses: le premier pas et mettre un pied devant l'autre. Alors, je sais marcher tout le temps. Une mécanique peut s'enclencher jusqu'à l'infini. Démonstration par exhaustion >>> Procédé exhaustif Preuve sur un nombre finis de cas couvrant l'ensemble du problème. Démonstration par descente infinie >>> Procédé qui consiste à montrer qu'il existe un entier toujours plus petit, sans fin, ce qui est impossible. Conjecture La propriété testée semble vraie, mais elle n'est pas formellement démontrée: c'est une conjecture. Démonstration par ordinateur ou preuve par informatique >>>

Limite

Certaines démonstrations ont donné beaucoup de fil à retordre: théorème de Fermat-Willes. Certaines ont nécessité une finition par ordinateur: Théorème des quatre couleurs. Certaines ont conclu à l'impossibilité: quadrature du cercle. Certaines propriétés sont non démontrable, indécidables … Certaines sont paradoxales et font tourner en bourriques. Certaines exigent des temps de calcul faramineux.

Formalisme	Une démonstration doit toujours être rigoureuse, universelle reproductible … Mais, elle peut présenter plusieurs formes extrêmes selon les auteurs: très concise, difficilement abordable par le profane et même par certains spécialistes; ou amplement développée pour une compréhension par la majorité des lecteurs. On la trouve dans le devoir des élèves ou présentée dans les ouvrages à des fins pédagogiques.
Présentation typique	Énoncé Exact libellé du problème posé.	Figure Une figure rigoureuse (pas forcément précise) est la moitié de la solution.
	Références - hypothèses (rappel) - ce qu'il faut démontrer (rappel) - observation (si nécessaire) - théorèmes invoqués: énoncé général des théorèmes et leurs références autant que possible.	Développement de la démonstration. Les théorèmes sont repris appliqué au cas à démontrer. Une déduction est présentée par - donc, ou - le signe implique =>, ou - trois petits points La démonstration se termine par - la propriété à démonter, ou - la mention CQFD (ce qu'il fallait démonter) - ou QED (Quod Erat Demonstrandum) ou - un carré coloré (notation préférée).
	Exemples Présentation typique d'une démonstration Angle au centre dans un cercle. Présentation typique d'une démonstration Droite de Simson dans un triangle.

Démonstration par ordinateur ou preuve par informatique

Au XX^e siècle, arrivent les ordinateurs et leur puissance de calcul; en parallèle la logique fondamentale implantée sur ordinateurs se développe. Le terrain est prêt pour développer des preuves par informatique, là où l'homme est dépassé par la tâche surhumaine à déployer. En France, nous connaissons le système COQ fondé sur le travail de Gérard Huet et Thierry Coquand. Quelques réalisations: En 2006, Georges Gonthier a montré, grâce à COQ, le théorème des quatre couleurs qui dit que toute carte de géographie peut être coloriée avec quatre couleurs sans que deux pays ayant une frontière commune n'aient la même couleur. En 2013, avec une équipe Inria, il a prouvé en machine le grand théorème de Feit-Thompson sur la classification des groupes, dont la preuve originale comporte 250 pages de mathématiques lourdes. Sa preuve repose sur une superbe architecture informatique implémentant et articulant le grand nombre de théories mathématiques impliquées. Enfin, en 2014, Thomas Hales prouve la conjecture de Kepler (1610) sur l'empilement des sphères: les épiciers rangent les oranges de manière optimale sur leurs étals, Outre leur impact mathématique, ces travaux fondamentaux cassent une barrière psychologique en informatique : avec les mêmes outils, on prouve maintenant des programmes aussi essentiels que des systèmes d'exploitation, des protocoles de sécurité, ou des compilateurs de langages de haut niveau en langage-machine. C'est essentiel en pratique, car les tests ne suffisent pas à garantir leur validité. Ici encore, ce n'est pas le nez collé dans un sujet qu'on trouve sa solution ! D'après Gérard Berry, informaticien, professeur au Collège de France, membre de l'Académie des sciences (Les Échos – 31/08/2015).

Est-il possible de toujours trouver une démonstration avec des figures, sans calculs?

C'est possible, mais pas toujours, même … pas souvent.

Les démonstrations muettes vont même plus loin. Une simple figure suffit à visualiser la démonstration. Parmi toutes les démonstrations du théorème de Pythagore, il y en a au moins une muette. Voir aussi sur cette page la démonstration physique (avec de l'eau). Lorsque ce type de démonstration existe, on s'empresse de nous les montrer.

Cependant, dans certains cas, le chemin pour arriver à la conclusion est si complexe qu'il est rare d'avoir le choix. C'est le cas de la démonstration du théorème de Fermat Wiles (a³ +b³ = c³ n'existe pas, y compris pour plus grand que 3). Wiles a dû avoir recours à de nombreux outils mathématiques complexes pour y arriver.

Une autre race de démonstrations a vu le jour avec les ordinateurs. Une grande partie du chemin théorique est faite par le mathématicien. Le problème est alors bien cerné, mais des cas particuliers résistent à la démonstration. Le calculateur est utilisé pour examiner ces cas un à un. Un exemple classique est la démonstration du théorème des quatre couleurs (quatre couleurs suffisent pour colorier une carte quelconque).

Anglais

To prove: to show something to be true or correct; Can you prove your theory? Proof: a piece of evidence that shows definitively that something is true. Evidence = proof (preuve, c'est un faux-amis). A proof is a demonstration that, given certain axioms, some statement of interest is necessarily true Type of proofs: direct proof; proof by induction; proof by contradiction; proof by construction; proof by exhaustion. Example of proof in English (extract): Proof. Because AD = AC the BCD = the ADC Theorem 3 But the … is greater than … Hence … are together greater than BC. QED

Voir	Liste des démonstrations sur ce site.
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