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Édition du: 07/01/2026 |
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INDEX |
GRAPHES |
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Chemin du serpent et création de carrés sur une
grille
Le serpent suit sa route sur les segments d'un quadrillage. Son
parcours forme parfois des carrés. En adaptant son trajet, combien peut-il
former de carrés au maximum. Pour une grille 46 × 46, le serpent peut former 2026 carrés au maximum.
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Sommaire de cette page >>>
Chemin du serpent >>>
Q(n) pour grilles de 1 à 5 >>>
Cas des grilles d'ordre pair >>>
Cas des grilles d'ordre impair >>>
Nombres serpents >>>
Article publié par Tangente |
Débutants Glossaire |
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Construction Une
grille 3 × 3 pour commencer. Le
serpent parcourt les segments unité sans jamais repasser par le même segment.
Son
trajet enveloppe des carrés unités de la grille (pastille orange). Le but est
de concevoir le trajet pour former un maximum de carrés (Q). Avec cette grille 3 × 3,
le maximum est cinq carrés. q(3) = 5 Cas particulier (à droite) En
acceptant de fermer la première case, il serait possible d'ajouter un carré (une
bille) et Q(3) = 6 |
Optimisation en fermant les carrés des extrémités
q(3) = 5 & Q(3) = 6 |
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Grille 1 × 1 Q(1)
= 1 Grille 2 × 2 Q(2)
= 3 Grille 3 × 3 Q(3)
= 6 Grille 4 × 4 Q(4)
= 11 Grille 5 × 5 Q(4)
= 18 |
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Exemple avec la grille 8 × 8 La
première ligne peut créer 4 carrés La
dernière ligne peut créer aussi 4 carrés; plus un carré si on admet le retour
du serpent sans l'arrêter sur le coin bas-gauche. Ensuite
nous avons trois jeux de lignes de type deuxième et troisième ligne qui
créent 8 et 5 carrés respectivement. Le tableau résume le
décompte:
Bilan Avec
une grille 8 × 8, il est possible de créer 50 carrés avec
un serpent qui termine sa course sur un coin; ou 51 si on admet la suite de
son parcours (rouge). Formule Le
tableau pour 8 × 8 est généralisé pour une grille n ×
n avec n pair. Tous
calculs effectués, la formule devient: Q(n) = n² – 2n + 3 |
Chemin optimum du serpent
q(8) = 50 & Q(8) = 51 Dénombrement des carrés
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Liste pour arrêt au coin (Sans la bille rouge) Notez : q(46) = 2026 |
2, 10, 26,
50, 82, 122, 170, 226, 290, 362, 442, 530, 626, 730, 842, 962, 1090, 1226,
1370, 1522, 1682, 1850, 2026,
2210, … |
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Exemple avec la grille 9 × 9 Même
décompte que pour le cas pair. Tableau
avec billes rouges
En
admettant les billes rouges (fermeture des carrés initiaux et finaux), la
formule de calcul est valable pour tous les cas, pairs comme impairs) Sinon
faire -1 pour pair et -2 pour impairs. |
q(9) = 64 & Q(9) = 66 |
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Liste pour Q(n) dans (avec
les billes rouges) |
3, 6, 11,
18, 27, 38, 51, 66, 83, 102, 123, 146, 171, 198, 227, 258, 291, 326, 363,
402, 443, 486, 531, 578, 627, 678, 731, 786, 843, 902, 963, 1026, 1091, 1158,
1227, 1298, 1371, 1446, 1523, 1602, 1683, 1766, 1851, 1938, 2027, 2118, 2211, 2306, 2403, 2502, 2603, 2706,
2811, 2918, 3027, 3138, 3251, 3366, 3483, 3602, 3723, 3846, 3971, 4098, 4227,
4358, 4491, 4626, 4763, 4902, 5043, 5186, 5331, 5478, 5627, 5778, 5931, 6086,
6243, 6402, 6563, 6726, 6891, 7058, 7227, 7398, 7571, 7746, 7923, 8102, 8283,
8466, 8651, 8838, 9027, 9218, 9411, 9606, 9803 |
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Des petits carrés sans lever le crayon
Partez d’un coin d’une grille carrée de côté 3 puis parcourez
les segments unité sans lever le crayon et sans jamais repasser par le même
segment. Vous devriez réussir à dessiner ainsi 5 carrés de côté 1 mais jamais
un de plus. Si vous partez d’une grille de côté 46,
vous pourrez atteindre au maximum 2026 petits
carrés. |
Cette affirmation pour 2026 est exacte sans compter la fermeture
possible en extrémité (bille rouge). Le maximum étant 2027 avec fermeture. |
Voir Heureuse année 2026
– Tangente – Fabien Aoustin – Janvier 2026
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