Partition avec des nombres consécutifs

Édition du: 17/11/2025

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Partition avec des NOMBRES CONSÉCUTIFS

Compter la quantité de partitions en nombres consécutifs pour un nombre donné n.

Par exemple, le nombre 15 compte trois telles partitions.

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Nombres

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Nombres

Théorème

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Théorème

Le nombre de façons d’écrire un entier positif (N) comme somme d’entiers consécutifs positifs est égal au nombre de diviseurs impairs de (N).

Autrement dit, si $L est la plus grande partie impaire de N (c’est‑à‑dire N
= 2tL avecL impair), alors le nombre de représentations est d (L) où d(∙) désigne le nombre de diviseurs strictement positifs.$

Exemple

Diviseurs de 15: 1, 3, 5, 15, tous impairs

Quantité de partitions en nombres consécutifs: 4 dont une triviale (15 = 15)

Démonstration		haut
Soit la suite de k entiers consécutifs commençant par a et N leur somme.	N = a + (a+1) + (a+2) + … (a+k–1)
Il s'agit d'une progression arithmétique
En multipliant par 2 k et m sont des entiers
Conséquence avec 2 N d'un côté	m = 2a – k – 1 est de parité opposée à k ð k et m sont de parité opposée

Valeur de a
Condition	Le nombre a est entier (≥ 1) si k divise le numérateur
Notons	k = 2^t q avec q impair
Cas IMPAIR (t = 0)
On a une représentation avec N/k, le nombre central; k étant un diviseur impair de N	Ex: k = 5 est un diviseur impair de 15 a = 15 / 3 – 2/2 = 5 – 1 = 4 Suite: 4, 5, 6
Cas PAIR (t ≥ 1) avec k = 2m
Le nombre a est entier si N/2m est demi-entier