Base de numération ternaire

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Base de numération

TERNAIRE (base 3)

Base utilisée lorsque les choses vont par trois. C'est le cas des pesées avec balance à plateaux avec trois issues: plateau gauche descend, plateau droit descend ou équilibre des plateaux.

La base ternaire est caractérisée par trois états notés classiquement par: {0, 1, 2}.

Autre notation possible plus pratique pour certains emplois: { –1, 0, +1 } ou, plus usité: {T, 0, 1}. Cette numération ternaire est dite équilibrée.

Anglais: Ternary system

Numération ternaire classique ou équilibrée
La numération ternaire classique, ou à base 3, utilise les chiffres: 0, 1 et 2. On compte: 0, 1, 2, 10, 11, 20, 21, 22, 100 … En binaire on parle de bit; en ternaire, les chiffres sont appelés: trit (trinary digit). La numération ternaire équilibrée utilise les chiffres { –1, 0, +1 }, souvent notés {T, 0, 1}. Le système nonaire (base 9) permet de regrouper les trits par deux. Un compactage de numération comme l'octal pour le binaire.		3₁₀ = 10₃ 9₁₀ = 100₃ 27₁₀ = 1000₃ 81₁₀ = 10000₃ 243₁₀ = 100000₃ 8₁₀ = [2, 2]_TC = [1, 0, -1]_TE = 2x3 + 2x1 = 1x9 – 1x3
Usages	Mathématique avec {0, 1, 2} ou {négatif, nul, positif}. Mathématique comparaison {inférieur, égal, supérieur)}. Logique et jeux, comme les énigmes de pesées avec poids ou sans poids . Physique pour caractériser trois états {petit, moyen, grand}. Électronique {négatif, neutre, positif}.

Table de conversion décimale / ternaire des nombres de 0 à 100

Voir Table – Index

Le ternaire classique et le ternaire équilibré

haut

Il existe plusieurs versions pour la numérisation ternaire.

Ici, nous donnons la définition canonique utilisée en informatique théorique, en arithmétique équilibrée, et dans toutes les publications sérieuses.

Présentation

Les systèmes de numération en base trois occupent une place singulière dans l’histoire des représentations numériques.

Ils sont à la fois simples, élégants et étonnamment puissants.

Deux variantes coexistent

Le ternaire classique, fondé sur les chiffres {0,1,2}, et le ternaire équilibré, qui utilise les valeurs {–1, 0, +1}.

Ces deux systèmes partagent la même structure positionnelle, mais ils diffèrent profondément dans leur philosophie et leurs applications.

Le ternaire classique : la base 3 dans sa forme la plus directe

Le ternaire classique est l’analogue exact du système décimal, mais avec trois chiffres seulement : {0, 1, 2}.

Chaque position représente une puissance de 3 :

unités :

trois :

neuf :

vingt-sept : , etc.

Ainsi, le nombre ternaire signifie :

Le ternaire équilibré : un système symétrique et élégant

Le ternaire équilibré utilise trois chiffres, mais centrés autour de zéro : {-1, 0, 1} ou {T, 0, 1}

Chaque position représente une puissance de 3, mais avec la possibilité d’utiliser un coefficient négatif. Ainsi, le nombre équilibré 1T0 signifie :

Cette symétrie autour de zéro donne au système une élégance remarquable : tout entier, positif ou négatif, possède une représentation unique sans signe explicite.

Conversion décimal → ternaire classique

La méthode est identique à celle utilisée pour passer en base 2 :

1. Diviser le nombre par 3.

2. Noter le reste (0, 1 ou 2).

3. Recommencer avec le quotient.

4. Lire les restes de bas en haut.

Exemple

46₁₀ → 1201₃ - 46₁₀ → - 1201₃

Le ternaire classique est simple, direct, et parfaitement adapté aux représentations compactes.

Conversion décimal → ternaire équilibré

La méthode est légèrement différente :

1. Diviser par 3.

2. Si le reste vaut 0 ou 1, on le garde.

3. Si le reste vaut 2, on le remplace par T (–1) et on ajoute 1 au quotient (report).

4. Continuer jusqu’à obtenir un quotient nul.

5. Lire les chiffres de bas en haut.

Exemple

13₁₀ → 111_3B -13₁₀ → TTT_3B

Le passage au négatif est d’une simplicité absolue : il suffit d’inverser les signes des chiffres.

Pourquoi ces systèmes sont-ils intéressants ?

Un système minimaliste et naturel
La base 3 est la plus petite base permettant une représentation positionnelle avec un chiffre strictement positif autre que 1. Elle est donc un terrain d’étude privilégié pour comprendre la structure des systèmes de numération.

Le ternaire équilibré : un bijou d’élégance mathématique
Il n’a pas besoin de signe : les nombres négatifs sont intégrés dans la structure même du système.
Il est parfaitement symétrique autour de zéro.
Il est utilisé en informatique théorique, en arithmétique équilibrée, et dans certains modèles de circuits ternaires.

Applications en logique et en calcul

Le ternaire équilibré minimise les reports et simplifie certaines opérations arithmétiques.

Il est utilisé dans des algorithmes de recherche, des systèmes de hachage, et des représentations géométriques (fractales, arbres ternaires).

Il apparaît dans des travaux sur les ordinateurs ternaires, notamment le célèbre ordinateur soviétique Setun (1958).

Table de conversion décimale / ternaires classique et équilibré des nombres de -13 à +13

N	Classique	Équilibré	N	Classique	Équilibré
0	0	0
1	1	1	-1	-1	T
2	2	1T	-2	-2	T1
3	10	10	-3	-10	T0
4	11	11	-4	-11	TT
5	12	1TT	-5	-12	T11
6	20	1T0	-6	-20	T10
7	21	1T1	-7	-21	T1T
8	22	10T	-8	-22	T01
9	100	100	-9	-100	T00
10	101	101	-10	-101	T0T
11	102	11T	-11	-102	TT1
12	110	110	-12	-110	TT0
13	111	111	-13	-111	TTT
14	112	1TTT	-14	-112	T111
15	120	1TT0	-15	-120	T110
16	121	1TT1	-16	-121	T11T
17	122	1T0T	-17	-122	T101
18	200	1T00	-18	-200	T100
19	201	1T01	-19	-201	T10T
20	202	1T1T	-20	-202	T1T1
21	210	1T10	-21	-210	T1T0
22	211	1T11	-22	-211	T1TT
23	212	10TT	-23	-212	T011
24	220	10T0	-24	-220	T010
25	221	10T1	-25	-221	T01T
26	222	100T	-26	-222	T001
27	1000	1000	-27	-1000	T000
28	1001	1001	-28	-1001	T00T
29	1002	101T	-29	-1002	T0T1
30	1010	1010	-30	-1010	T0T0
31	1011	1011	-31	-1011	T0TT
32	1012	11TT	-32	-1012	TT11
33	1020	11T0	-33	-1020	TT10
34	1021	11T1	-34	-1021	TT1T
35	1022	110T	-35	-1022	TT01
36	1100	1100	-36	-1100	TT00
37	1101	1101	-37	-1101	TT0T
38	1102	111T	-38	-1102	TTT1
39	1110	1110	-39	-1110	TTT0
40	1111	1111	-40	-1111	TTTT
41	1112	1TTTT	-41	-1112	T1111
42	1120	1TTT0	-42	-1120	T1110
43	1121	1TTT1	-43	-1121	T111T
44	1122	1TT0T	-44	-1122	T1101
45	1200	1TT00	-45	-1200	T1100
46	1201	1TT01	-46	-1201	T110T
47	1202	1TT1T	-47	-1202	T11T1
48	1210	1TT10	-48	-1210	T11T0
49	1211	1TT11	-49	-1211	T11TT
50	1212	1T0TT	-50	-1212	T1011

Voir Énigme de la pesée des douze billes et sa solution ternaire

Pesée binaire ou ternaire ?
Binaire (Leibniz) Avec des poids de 1, 2, 4, 8 kg, donc en puissances de 2, il est possible de composer tous les poids de 1 à 15 kg en utilisant un seul poids de chaque catégorie. Illustration La valise pèse 4 + 2 + 1 = 7 kg En binaire: {1, 1, 1} Tableau des pesées	Ternaire ( Bachet) Avec des poids de 1, 3, 9 et 27 kg, donc en puissances de 3, il est possible de peser jusqu'à 40 kg en utilisant les poids de chaque côté et, en utilisant un seul poids de chaque catégorie. Illustration La valise pèse 9 – 3 + 1 = 7 kg En ternaire équilibré: {1, –1, 1} Tableau des pesées Exemple de conversion {1, 1, –1, –1}₃ = 27 + 9 – 3 – 1 = 32₁₀
Commentaires Avec le système ternaire à quatre chiffres, on peut compter de: de {–1, –1, –1, –1} = –27 – 9 – 3 – 1 = –40 à {1, 1, 1, 1} = 27 + 9 + 3 + 1 = 40 La moitié des valeurs sont négatives et ignorées dans le cas de la pesée et l'autre moitié positive. Soit, les 40 valeurs du tableau. Conversion décimale du nombre en ternaire Comme le binaire, la conversion décimale du ternaire s'obtient en multipliant chaque chiffre { –1, 0 ou +1} par son poids (… 27, 9, 3, 1)

Anglais: Weighing with counterbalances

Historique

Leibniz a démontré qu'on pouvait faire toutes les pesées possibles avec une série de poids dont chacun est le DOUBLE du précédent. On ne dispose qu'un seul de chaque, évidemment.

Bachet a montré qu'on peut faire la même chose avec des poids TRIPLES, mais en utilisant les deux plateaux d'une balance.

	Leibniz	Bachet
1	1	1
2	2	3 - 1
3	1 + 2	3
4	4	3 + 1
5	4 + 1	9 - 3 - 1
6	4 + 2	9 - 3
*etc.*

Retour	Binaire
Suite	Base 8 (octal) Pesée de Bachet et Leibniz Pesée avec des 4 et des 7 Poids et étiquettes mélangées Pesée des nombres avec leurs diviseurs Trichotomie Voir index en haut de page
Voir	Nombres Numération
DicoNombre	Nombre 20
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