NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/07/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	FACTORISATION
Débutants Multiplication	Conjecture ABC			Glossaire Facteurs et Diviseurs
INDEX Facteurs et diviseurs	Facteurs	Nombres riches	Conjecture	Commentaires
		Sommaire de cette page >>> Point en juillet 2026 >>> La conjecture ABC en bref >>> Familiarisation >>> Conjecture d'un peu plus près >>> Expériences >>> Conjecture forte >>> Record

CONJECTURE ABC

Conjecture d'Oesterlé-Masser

Problème d'analyse diophantienne.

Appréciation de la quantité de facteurs répétitifs dans deux nombres et leur somme.

La conjecture dit en gros que: si les facteurs de A et de B sont très répétitifs, alors il y a de peu de chances pour que les facteurs de la somme C le soient aussi.

ou encore: si deux nombres sont riches, leur somme l'est rarement.

Importance de la conjecture. Si elle était prouvée alors seraient également prouvés

le théorème de Fermat-Wiles;

la quantité finie de solutions de l'équation n! + 1 = m² (Brocard)

la quantité infinie de premiers de Wieferich

Voir Rappel des définitions

Point en juillet 2026

La conjecture abc : une conjecture simple d'énoncé, immense par ses conséquences

La conjecture en quelques mots La conjecture abc, proposée indépendamment par David Masser (1985) et Joseph Oesterlé (1988), établit un lien inattendu entre l'addition et la factorisation des entiers. Considérons trois entiers positifs premiers entre eux deux à deux vérifiant On appelle radical de leur produit, le produit des facteurs premiers distincts intervenant dans la décomposition de . Ainsi, La conjecture affirme essentiellement que le résultat d'une addition ne peut être beaucoup plus grand que le produit des facteurs premiers distincts mis en jeu. Sous sa forme classique : Pour tout , il existe une constante telle que Autrement dit, il peut exister quelques triplets « exceptionnels » pour lesquels est beaucoup plus grand que son radical, mais ces exceptions restent extrêmement limitées. Une autre formulation utilise la qualité La conjecture revient à dire que, pour tout , il n'existe qu'un nombre fini de triplets tels que

Cette formulation met en évidence les rares triplets dits de grande qualité, recherchés par de nombreux programmes informatiques. L'intérêt de cette conjecture dépasse largement son énoncé. Elle implique ou simplifie plusieurs dizaines de résultats majeurs de théorie des nombres : conjecture de Szpiro, versions asymptotiques du théorème de Fermat, problèmes de Pillai, estimations sur les points entiers des courbes algébriques, etc. Dorian Goldfeld l'a qualifiée de « problème non résolu le plus important de l'analyse diophantienne ».

Historique succinct L'origine intellectuelle de la conjecture provient du théorème de Mason-Stothers sur les polynômes, parfois surnommé le « théorème abc des polynômes ». Ce résultat montre qu'un phénomène analogue est vrai dans l'algèbre des polynômes et suggère fortement qu'une version arithmétique devrait exister. 1985 — David Masser remarque ce principe général dans ses travaux sur les équations diophantiennes. 1988 — Joseph Oesterlé formule explicitement la conjecture devenue aujourd'hui la conjecture abc ou conjecture d'Oesterlé-Masser. Pendant les années 1990 et 2000, la conjecture devient progressivement l'un des pivots de la théorie des nombres moderne. Des centaines d'articles montrent que, si elle était démontrée, elle entraînerait immédiatement une cascade de résultats jusque-là indépendants. En 2012, le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki annonce une démonstration de près de 500 pages fondée sur une théorie entièrement nouvelle : Inter-universal Teichmüller Theory (IUT). Cette annonce provoque un immense intérêt mais aussi une profonde perplexité. La théorie développée est tellement originale qu'elle introduit un langage, des objets et des méthodes presque entièrement nouveaux. En 2018, Peter Scholze et Jakob Stix identifient un point précis de la démonstration qu'ils jugent insuffisamment justifié. Mochizuki conteste cette analyse, estimant que ses critiques interprètent mal la philosophie de sa théorie. En 2021, malgré cette controverse, les quatre articles de Mochizuki sont publiés dans les Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS), revue dont il est lui-même rédacteur en chef. Cette publication ne met toutefois pas fin au débat : la très grande majorité de la communauté considère toujours que la conjecture abc n'est pas démontrée.

État actuel des tentatives de démonstration Une conjecture réputée extraordinairement difficile Contrairement au dernier théorème de Fermat, qui pouvait être rattaché progressivement aux courbes elliptiques et aux formes modulaires, la conjecture abc semble résister à toutes les méthodes classiques. Aucune des grandes techniques de théorie analytique des nombres, de géométrie arithmétique ou de théorie des formes automorphes n'a permis jusqu'à présent d'en approcher une démonstration complète. Les spécialistes distinguent aujourd'hui deux grandes familles de recherches : · les approches classiques, qui établissent des versions partielles ; · l'approche radicalement nouvelle de Mochizuki.

Les démonstrations partielles Depuis trente ans, plusieurs résultats montrent que la conjecture est vraie dans la majorité des cas, sans toutefois atteindre l'énoncé général. Des travaux récents de Browning, Lichtman et Teräväinen ont notamment amélioré les estimations sur le nombre de triplets pouvant constituer des exceptions. Jared Lichtman a également publié un exposé montrant qu'au sens statistique la conjecture est satisfaite « presque toujours ». Ces résultats constituent un progrès important, mais ils ne contrôlent pas les rares triplets exceptionnels qui sont précisément au cœur de la conjecture. Autrement dit, la difficulté n'est plus de comprendre le comportement moyen, mais d'exclure des exceptions extrêmement rares.

La révolution de Mochizuki L'annonce de 2012 constitue probablement l'épisode le plus singulier de l'histoire récente des mathématiques. Au lieu de prolonger les outils existants, Mochizuki construit un édifice entièrement nouveau. Sa théorie IUT combine notamment : · la géométrie anabélienne ; · la théorie d'Arakelov ; · les groupes fondamentaux ; · des structures appelées Hodge theaters ; · des « liens » (links) permettant de comparer des univers arithmétiques différents. L'idée générale consiste à comparer plusieurs copies d'un même objet arithmétique après leur avoir fait subir certaines transformations, afin de mesurer des informations qui deviennent invisibles dans le cadre habituel. Cette approche est tellement éloignée des méthodes classiques que très peu de spécialistes sont aujourd'hui capables de lire la totalité des quatre articles.

La controverse Scholze–Stix En 2018, Peter Scholze, considéré comme l'un des plus grands géomètres arithmétiques contemporains, se rend à Kyoto avec Jakob Stix afin de comprendre la démonstration. Après plusieurs jours de travail avec Mochizuki, ils concluent qu'un passage essentiel n'est pas démontré. Selon eux, un argument traite implicitement comme équivalents deux objets mathématiques qui ne le sont pas. Mochizuki répond que cette critique provient d'une incompréhension profonde de la philosophie même de la théorie IUT. Depuis lors, aucune des deux positions n'a évolué. Cette situation est exceptionnelle dans l'histoire récente des mathématiques : la preuve n'est ni reconnue ni réfutée, mais demeure suspendue à un désaccord conceptuel majeur.

La publication de 2021 La publication dans PRIMS a parfois été interprétée dans la presse comme une validation. Il n'en est rien. Une revue scientifique vérifie qu'un article satisfait ses critères éditoriaux ; elle ne garantit pas qu'une démonstration extrêmement complexe fasse ensuite l'objet d'un consensus. Dans le cas présent, la communauté internationale continue majoritairement à considérer que la conjecture abc demeure ouverte.

Le projet LANA : l'ordinateur comme arbitre ? L'évolution la plus importante de l'année 2026 est le lancement du projet LANA (Lean for Anabelian Geometry), dirigé par Fumiharu Kato. Son objectif est ambitieux : traduire toute la démonstration de Mochizuki dans le langage du démonstrateur formel Lean. Un assistant de preuve ne raisonne pas comme un mathématicien humain. Chaque définition, chaque hypothèse et chaque inférence doivent être explicitées avec une rigueur absolue. Une preuve acceptée par Lean élimine pratiquement tout risque d'erreur logique ou d'omission. La formalisation de la preuve de Mochizuki représente donc un test exceptionnel. Si Lean accepte l'ensemble de la démonstration, le débat pourrait être profondément renouvelé ; si, au contraire, une étape ne peut être traduite, cela mettrait en évidence une lacune précise. Le premier rapport d'étape publié à la mi-juillet 2026 montre cependant que la formalisation se bloque exactement au point déjà signalé en 2018 par Scholze et Stix. Les développeurs de LANA ne concluent ni à une erreur de Mochizuki ni à une insuffisance de Lean. Ils constatent simplement qu'à ce stade ils ne disposent pas d'une justification formelle permettant de franchir cette étape. Il s'agit d'un résultat particulièrement intéressant : un ordinateur ne « réfute » pas la preuve ; il révèle avec une précision chirurgicale le lieu exact où les interprétations divergent.

Quelle est aujourd'hui la position de la communauté ? Le consensus actuel peut être résumé ainsi : · personne n'a produit de contre-exemple à la conjecture ; · aucune démonstration classique n'est connue ; · la théorie IUT demeure comprise par un cercle très restreint de spécialistes ; · la démonstration de Mochizuki n'est pas acceptée comme acquise par la majorité des experts ; · la formalisation informatique, avec le projet LANA, constitue aujourd'hui la tentative la plus objective pour clarifier définitivement le débat. Ainsi, près de quarante ans après sa formulation, la conjecture abc reste l'un des grands défis de la théorie des nombres. Plus qu'un simple problème isolé, elle est devenue un véritable carrefour conceptuel : sa résolution établirait un pont entre l'arithmétique élémentaire, la géométrie diophantienne et les méthodes modernes de vérification formelle des démonstrations. Le projet LANA marque une étape nouvelle de cette histoire, non parce qu'il apporte une preuve, mais parce qu'il inaugure une manière inédite de soumettre une théorie d'une extrême complexité au contrôle systématique d'un assistant de preuve.

La conjecture ABC en bref
Exemple 1 Prenons un exemple de deux nombres et leur somme. Développons avec leurs facteurs. Premier constat: exposants élevés à gauche, pas d'exposant à droite. Comparons le produit des facteurs de ces trois nombres (radical du triplet – noté r(n)) à la somme. Second constat: il n'y a pas photo, il est plus grand.	A= 1 024 B = 81 C = 1 024 + 81 = 1 105 1024 + 81 = 1105 2^10 + 3^4 = 5 x 13 x 17 2 x 3 x 5 x 13 x 17 = 13 260 13 260 > 1 105 Deux nombres a et b sans facteurs communs et leur somme c: Le produit des facteurs r(abc) est plus grand que la somme (c). Autrement dit, le nombre abc n'est pas très composé. Ou encore, le ratio r(abc) / c est très petit.
Exemple 2 Dans ce cas, le produit des facteurs est nettement plus petit. Cas inverse du cas précédent.	3 + 125 = 128 3 + 5^3 = 2^7 3 x 5 x 2 = 30 30 < 128
Ce qui est constaté par l'expérience Le cas de l'exemple 1 est beaucoup plus fréquent que celui de l'exemple 2. En portant le radical à une puissance, le constat est encore plus étrange. Si l'exposant K vaut 1 (cas vu dans nos deux exemples), nous pouvons trouver autant d'exemples type 2 que nous voulons. Par contre, en prenant une puissance supérieure à 1, même d'extrêmement peu, alors il n'existe qu'un certain nombre fini de cas de type 2. Une autre recherche consiste à trouver si K peut prendre toute valeur ou s'il est borné.	En général: r(A.B.C) > C Exceptions: r(A.B.C) < C r(A.B.C) ^K K = 1 engendre une infinité d'exceptions. K = 1 + engendre une quantité finie d'exceptions. (epsilon) est une valeur très petite du type 1/ 10^n très grand. La conjecture ABC formalise ces constats, sous une forme un peu plus compliquée.

Inspiré de la vidéo en anglais sur Numberphile

Familiarisation avec des nombres en 2 x 3
Voici un calcul simple avec le nombre A = B = 108. Nous calculons le produit P = ABC et sa richesse.	108 + 108 = 216 2^2 x 3^3 + 2^2 x 3^3 = 2^3 x 3^3 108 x 108 x 216 = 2 519 424 = 2^7 x 3^9
Même calcul avec 216 = 2 x 108. En augmentant A et B, tout en conservant un petit radical, la richesse du produit ABC est aussi grande que l'on veut.	216 + 216 = 432 2^3 x 3^3 + 2^3 x 3^3 = 2^4 x 3^3 216 x 216 x 432 = 20 155 392 = 2^10 x 3^9

Exemple de calcul de richesse des triplets de 100 à 110.

La nappe représente la richesse du triplet (A, B, A+B)

Conjecture d'un peu plus près: en MOYENNE
Nous allons calculer la richesse du triplet ABC ou, plus exactement, l'expression de C en fonction du radical et de la richesse du triplet
Et comparer cette valeur au cas moyen où A, B et c ne sont pas spécialement riche.	Richesse moyenne 1,06

Deux nombres entiers sans facteurs premiers en commun; et leur somme.	A et B premiers entre eux C = A + B
Si A est un nombre quelconque (moyen, c'est-à-dire: pas riche). Passage aux logarithmes
Avec les trois nombres, s'ils sont tous dans la moyenne.
Or A et B sont premiers entre eux Leur somme C est également première avec ces deux nombres.
Propriété de la somme face au produit dès que A et B dépasse 1. Et, effet sur leur logarithme	Plus A et B sont grands, plus l'inégalité est grande.
En rapprochant ce que nous connaissons. En évaluant C. En sortant des logarithmes. Bonne approximation.
Conclusion	Lorsque les trois nombres sont grands et pas riches, plus la somme C est inférieure à la racine du radical du produit des trois nombres.

Expériences (selon Gerhard Frey)
Expérience avec choix de nombres moyen (non riches).	Rich moyen = 0,38 … < 0,53, la valeur calculée Mais nous sommes dans la moyenne des "pauvres". Avec les très riches quelle est la borne si elle existe?
Expérience avec sélection de nombres les plus riches possibles. L'auteur introduit des équations du troisième degré et fait appel à la famille des courbes elliptiques.	Rich moyen = 0, 70 … Rich maximale < 2. Elle atteint rarement des valeurs un peu supérieures à 1. Il existe sans doute une borne supérieure (conjecture)
Le triplet (1 + 5 x 2^4 = 3^4), avec C = 81, est intéressant. Notez les deux bicarrés: y^4 = 5x^4 + 1. Voir Théorème de Mordell-Faltings

Conjecture ABC forte de Oesterlé et Masser
La recherche de la borne supérieure pose problème. Les mathématiciens ont été amenés à considérer une formule de richesse un peu particulière.		Avec d'une constante à choisir. On cherche à borner epsilon.
Conjecture originale	Pour une valeur appropriée de d, sans doute très grande, il suffit de prendre epsilon supérieur à 0, mais aussi proche de 0 que l'on veut.
Formulation avec radical	Pour tout nombre réel > 0, il existe un nombre réel d > 0 tel que, pour tous entiers naturels A, B et C premiers entre eux et tels que A + B = C, on ait: Avec log(d) qui dépend d'epsilon.
Formulation avec produit de nombres premiers.	Pour tout nombre réel > 0, il existe une constante k() telle que, pour tous entiers naturels A, B et C premiers entre eux et tels que A + B = C, on ait: Produit pour tout p premier divisant le produit abc Autrement dit: le produit parcourt tous les facteurs premiers p de abc, soit tous les facteurs présent dans le radical du nombre. La max indiqué, dans la mesure où C est la somme de A et B, est égal à C. La constante k grandit indéfiniment au fur et à mesure que epsilon diminue.

Record
Triplet d'Éric Reyssat C'est la plus grande valeur connue. Garantit jusqu'à 10^20 Donc pas de contre-exemple à la conjecture dans cette plage.	{2, 3^10 x 109, 23^5} Dont la richesse est: 5 log(23) / log(15 042) = 1,629 911 684… Dans la plage indiquée, il y a environ 200 triplets dont la richesse excède 1,4.

English corner

The ABC conjecture is a young problem in mathematics, first proposed in 1985 by the mathematicians Joseph Oesterlé and David Masser to describe the relationship between three numbers: a, b, and their sum, c. The conjecture says that if those three numbers don’t have any factors in common apart from 1, then the product of their distinct prime factors (when raised to a power slightly greater than one), is almost always going to be greater than c.

The Boston Globe - November 04, 2012

Suite	Historique et commentaires
Voir	Facteurs et diviseurs
Sites	Conjecture abc – Wikipédia ABC conjecture – from MathWorld – Eric Weisstein La conjecture ABC et quelques unes de ses conséquences – Émeline Crouseilles et Alexandre Lardeur sous la direction de Bernard Le Stum The ABC's of Number Theory** – Noam Elkies – 2007 – pdf 21 pages
Documents	La conjecture ABC – Gerhard Frey – Pour la Science – Nov. 2012 – pages 24 à 31. La fin d'une démonstration controversée – Philippe Pajot – La Recherche – Novembre 2018 – N°541 page 30
Cette page	http://diconombre.fr/aMaths/Factorisation/ConjABC.htm