un plus x en puissance

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INDEX Puissance Décomposition Calcul mental	Fonctions	Dévelop. (1 + x)^a	Dévelop 1 / rac(1 – 2x)
	Division rapide	Division de polynômes
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Développements limités

permettant un calcul rapide des racines

Développement de (1 + x)^a

Ce développement limité n'est valable que si:

x est petit autour de 0,

a est une constante (et non pas une variable),

le dernier terme o(x) témoigne de la différence avec la valeur exacte. Il diminue avec la quantité de termes calculés.

Notez que l'on retrouve l'égalité classique pour le carré avec a = 2

Tous les termes suivants sont nuls du fait de la présence de (a – 2) = 0 au numérateur.

Exemple de calculs

Exemple de calcul avec x = 0, 01 pour les puissances de 2 à 10

En jaune le résultat atteint exactement; en rouge la valeur exacte (limitée à 10 chiffres).

Exemple de calcul avec x = 0, 1 pour les racines de 2 à 10 (puissances ½ à 1/10)

La racine de 1,1 est exactement 1, 048808848. En calculant cinq termes (n = 5), la valeur de T5 est égale à 1,048808867 qui s'écarte de la valeur exacte de 19 milliardièmes par excès.

Exemple de calcul de racines carrées
Prenons un nombre N dont nous voulons calculer la racine carrée. Un carré proche	N C	= 50 = 49
Expression de N	50	= 49 + 1
Sa racine Nous obtenons une forme en 1 + x avec x petit.
Développement limité et calcul		7 x 1,010204 7, 071428
À comparer à la valeur exacte	Écart	= 7, 071067814 … = 0, 00036 …
En ajoutant un deuxième terme au développement (ce qui devinent un peu plus compliqué pour un calcul rapide)		= 7(1,010204 – 0,000052) = 7, 071064
Un calcul plus précis donne successivement du premier au cinquième terme ajouté.		7, 071428571 7, 071064140 7, 071067859 7, 071067811 7, 071067812

Voir Calcul des racines - Index

Généralisation: calcul des racines carrées
Prenons un nombre N dont nous voulons calculer la racine carrée. Un carré proche C².	N	= C² + n
Expression de N
La racine est une forme en 1 + x Son développement limité. Si n est un peu grand, le deuxième terme est nécessaire.

Tableau pour les nombres de 1 à 100

Calcul des racines avec approximation T1 et T2 pour tous les nombres de 1 à 100.
Les écarts E1 et E2 sont exprimés en millièmes. En rouge les écarts supérieurs à 10/1000 = 1/100

Prudence de mise lorsque n est voisin de C. L'écart est alors conséquent.

Exemple pour 55 dont la racine est 7,416: T1 = 7,428 et E1 = 12,4 / 1000 = 0,0124 soit un ratio de 0,17%; avec T2 = 7,4155, E2 = 0,75 / 1000 et le ratio devient: 0,01%.

Bilan

On retient les valeurs approchées de

et d'une manière générale avec N = C² + n:

ou encore sous forme d'encadrement:

Exemple avec 50 = 7,071067 …

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Voir	Exponentielles Racine Racine carrée
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