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Fonctions et leurs minimums Exemple
simple de résolution conduisant à la notion de minimum (donc de dérivée, sans la
nommer) sur une fonction. |
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Problème Un cube de 4
cm de côté. Une fourmi
part du point E pour atteindre le point C. Elle passe
par le point M situé à une distance x du point B. On se propose
de déterminer la position du point M pour minimiser le parcours de la fourmi. Questions Si f(x) représente la
longueur EM + MC, quelle sont les valeurs possibles de la variable x. Donner l'expression de
f(x). Avec une calculatrice
estimer le minimum de f(x) et justifier à partir du patron du cube. |
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Observations On commence
par faire travailler notre intuition. Le trajet EMC
(imaginez la fourmi qui se promène) traverse deux carrés absolument
identiques. Imaginez que la fourmi reparte dans l'autre sens: CME. Le trajet
est symétrique. Il n'y a pas de raison pour que le trajet
sur l'un des carrés ou l'autre soit différent. Pour que ce soit possible, il
faut que M soit le milieu de BF. Alors, on a le même
trajet sur chacun des deux carrés. |
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Voir Fourmi sur
parallélépipède (ou pavé)
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Ensemble des valeurs possibles pour x |
Le point M
se déplace de B à F, une arête du cube qui mesure 4 cm. La variable
x peut prendre toutes les valeurs de x = 0 à x = 4. |
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Calcul des longueurs EM et MC Expression de f(x) |
Avec le théorème de
Pythagore:
S'agissant
d'une somme de racines, il n'est pas possible simplifier. |
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Observation On avait
remarqué la nécessité d'une symétrie pour les deux carrés traversés. On a ici
pour f(x), une somme de deux termes qui se ressemblent. Comment les rendre
totalement semblable. Oui! en
prenant: x = 2. |
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Graphe de la fonction On sait que
x varie de 0 à 4. Je trace la
courbe avec la calculette. Je note un minimum pour x = 2 et y voisin de 8 Je vérifie
pour x = 2:
Pour x =
1,99 => f(x) = 8.944289 Pour x =
2 => f(x) = 8.944271 Pour x =
2,01 => f(x) = 8,944289 La valeur x=
2 est bien l'abscisse du point pour f(x) minimum. |
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Recherche systématique avec tableur ou calculatrice
Sur les
tableaux de droite, on a retiré 8,9 et on a multiplié par 100 pour mieux
observer le passage par le minimum
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On dessine
le patron du
cube en respectant la notation des sommets. On
représente le trajet AMC quelconque (vert) et le trajet AMC avec M au milieu
de FB (rouge) La ligne droite
est le plus court chemin d'un point à un autre. C'est bien le trajet rouge qui
représente une longueur minimum. |
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On a recherché le passage par un
minimum "à la main". Nous apprendrons qu'il existe un outil
pour atteindre cet objectif très précisément, c'est la dérivée. Dans notre cas, elle n'est pas simple:
Et son passage à 0 est obtenu pour x =
2, confirmant la recherche faite ci-dessus. |
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