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FACTORIELLE = SOMME de puissances Comment, d'une manière générale, exprimer une factorielle,
essentiellement un produit, en utilisant l'opérateur
somme? C'est possible en exploitant la propriété des puissances des
nombres consécutifs:
la différence énième des puissances énièmes est
égale à factorielle n. Exemple pour factorielle 4
Voir la formule tout de suite >>> Autre possibilité: somme d'une suite de nombres consécutifs >>> |
Anglais: How to express a
factorial as the sum of a series? / Finite differences and Factorials
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Carrés Soit la
suite des carrés
des nombres successifs et l'écart pour passer au suivant: ce sont les nombres impairs. L'écart
suivant (différence seconde) est constant est égal à 2. |
L'écart de l'écart entre carrés est constant et
égal à 2. |
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Cubes Avec les cubes et la
différence troisième, la constante est égale à: 6 = 1 x 2 x 3 = 3! |
L'écart
troisième entre cubes est constant et égal
à 6. |
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Propriété générale Ces
observations pour les carrés et les cubes peuvent être étendues à toute
puissance. Propriété
exploitée par
Babbage pour concevoir sa machine à calculer. |
Théorème La différence énième entre les
puissances de nombres consécutifs à la puissance énième est égal à factoriel
n. Nous allons voir comment exploiter cette propriété pour
exprimer une factorielle par une somme algébrique (cad. avec des plus et des
moins). |
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Calcul littéral pour les cubes
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Carrés Exploitons
cette partie du tableau des carrés:
2 = 5 – 3 = (9 – 4) – (4 – 1) Ci-contre une formalisation en fonction des
carrés des nombres successifs. |
Note: on aurait tout aussi
bien pu prendre d'autres valeurs: 2 = 19 – 17 = 100 – 2 x 81 + 64 = 10² – 2 x 9² +
8² |
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Cubes Même chose avec
le tableau des cubes:
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6 = 18 – 12 = (37 –
19) – (19 – 7) = ((64 –
27) – (27 – 8)) – ((27 – 8) – (8 – 1) = 64 – 3
x 27 + 3 x 8 – 1 = 43 – 3 x 33 + 3 x 23 – 13 |
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Observations et formulation Les plus avertis
auront déjà reconnu les coefficients du
binôme (ou triangle de Pascal)
dans ces deux expressions. Attention à l'alternance des signes dans chacune
des formules et d'une formule à l'autre. |
Formulation établie ci-dessus
Avec les coefficients du binôme:
Note: le terme avec le nombre le
plus grand (celui de droite) est toujours positif Avec l'opérateur sommation
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À partir de
ces deux modèles (carrés et cubes), on peut oser la généralisation. En
constatant que le terme le plus grand est toujours positif
et que les coefficients du binôme sont symétriques, on peut retourner la
formule pour éviter le (-1) initial. Dans la
mesure où on peut se mettre n'importe où dans la suite
des puissances, et non pas seulement en position le plus à gauche avec le 1
initial, il est possible de remplacer le 1 par un nombre
quelconque a. |
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Vérification par programme (Maple)
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Commentaires Les coefficients du binôme sont calculés avec la
fonction numbcomb (nombres de combinaisons) du
package logiciel combinat. La boucle en n permet de calculer les six
premières valeurs. La formule trouvée est directement traduite en
Maple qui utilise la fonction add de k = 0 à n. Le (-1)n tient compte de l'alternance
du signe selon la puissance n. En bleu, le résultat du traitement qui semble
vérifier notre intuition. |
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Voir Programmation – Index
Table
récapitulative pour n de 2 à 8
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Carrés Voyons
graphiquement comment est formé 2! à partir des carrés.
Bilan:
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Cubes Avec les
cubes, il faut un étage de plus. Les traits bleus
(positifs) et les traits rouges (négatifs), se prolongent vers le bas en même
quantité.
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Bicarrés (puissance 4) Un nouvel
étage avec les mêmes propagations en quantité. On retrouve le processus de formation
du triangle de Pascal: un nombre est égal à la somme de celui du dessus et de
son compagnon de gauche. Nous avons l'explication de la formation des coefficients
et de leur signe. Explication n'est pas démonstration. Celle-ci, ci-dessous,
fait appel à des notions mathématiques de niveau supérieur >>>. |
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Bilan
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Il est bien évident que les formules trouvées
ne sont pas très pratiques pour calculer la valeur des factorielles. Par contre, elle crée un réel pont entre le produit des
nombres et leurs puissances. |
Grand Merci à Jack Smith pour m'avoir remis en mémoire cette formulation des
factorielles
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** Niveau terminale |
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La kième différence finie de F(n) est notée: |
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Avec F(n) =
cube de n, on calcule les différences
finies d'ordre 1, 2 puis 3. |
Exemple:
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Notons la
différence finie la plus simple qui va servir de référence pour notre raisonnement par
récurrence. Attention changement de notation: nous notons x plutôt que n pour rester dans un univers
familier aux analystes. |
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Il s'agit de
montrer que: La énième différence finie des puissances énièmes
est égale à factorielle n. |
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Nous allons montrer
que si elle est vraie pour k elle l'est pour k + 1 et, sachant quelle est
vraie pour k = 1, elle est vraie dans
tous les cas. |
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Nous passons
par la primitive
de notre égalité supposée vraie (ce qui se change pas
sa véracité): |
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Calcul de la
primitive à droite: la dérivée
de x est bien dx. La primitive de n! par rapport à x reste constante. La
primitive de n! est donc x.n! à une constante près. |
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Calcul de
primitive à gauche. On vérifie que la dérivée de (xn+1 /(x+1) est
bien xn. |
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Avec x = 0,
on montre que C1 = C2. |
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Soit l'égalité
sans les constantes: |
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n + 1 est
constant est n'intervient pas dans le calcul des différences finies. |
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En
multipliant par n +1 : |
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Prenons la
première différence finie de chacune des parties de l'égalité:
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Finalement: |
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Soit un polynôme et sa valeur x + h: |
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Différence finie (la première): |
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En développant les xn
s'éliminent, révélant une nouvelle constante (rouge). |
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Bilan: |
Ce n'est pas
sans nous rappeler le calcul de dérivée:
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Deuxième différence finie: |
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Énième différence finie: Et avec h = 1: Évidemment les suivantes sont nulles. |
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Partitions Liste de toutes les partitions de n! jusqu'à n = 7 avec des
nombres consécutifs. Exemples Comment trouver la partition? Prenons 5! = 120 = 23
x 3 x 5 Possible avec 3 x 5 = 15
termes ? Si oui, le terme central
est 120 / 15 = 8 Alors il y a 7 termes de
chaque côté du 8: Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
/ 8 / 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15. Prenons 5 termes Terme central = 120 / 5
= 24 Avec 2 termes de chaque
côté. Soit 120 = 22 + 23 + 24 + 2 5 + 26 Prenons 30 termes Terme central = 120/ 30
= 4 Avec 4 comme terme à l'extrémité
de 15 termes à gauche et 15 termes à droite: impossible. |
Toutes les partitions n, i, j, n!, L 3, 1, 3, 6, 3 4, 7, 9, 24,
3 5, 1, 15, 120, 15 5, 22, 26, 120, 5 5, 39, 41, 120, 3 6, 7, 38,
720, 32 6, 41, 55,
720, 15 6, 76, 84,
720, 9 6, 142, 146, 720, 5 6, 239, 241,
720, 3 7, 5, 100, 5040, 96 7, 49, 111, 5040, 63 7, 90, 134, 5040, 45 7, 127, 161, 5040, 35 7, 142, 173, 5040, 32 7, 230, 250, 5040, 21 7, 329, 343, 5040, 15 7, 556, 564, 5040, 9 7, 717, 723, 5040, 7 7, 1006, 1010, 5040, 5 7, 1679, 1681, 5040, 3 |
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Défi Le but est
de trouver la partition la plus longue parmi toutes les
partitions en nombres consécutifs. On arrive
vite à des sommes d'une très grande quantité de nombre consécutifs. Pour 10!, il faut 2 560
termes pour la somme qui commence par 138 et se termine à 2 697. Hors la recherche systématique par ordinateur, je ne
connais pas de formule ou d'algorithme simple donnant cette suite. |
Partitions les plus longues n, i, j, n!, L 3, 1, 3, 6, 3 4, 7, 9, 24, 3 5, 1, 15, 120, 15 6, 7, 38, 720, 32 7, 5, 100, 5040, 96 8, 30, 285, 40320, 256 9, 89, 856, 362880, 768 10, 138, 2697, 3628800, 2560 |
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