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FACTORIELLES – Propriété Factorielle jamais carrée Sauf 1!, les factorielles ne sont jamais un carré. Ni
d'ailleurs les factorielles
tronquées. Exemple de
démonstration s'appuyant sur l'observation. Puis
démonstration selon une poursuite sans fin de la factorielle carrée. |
Théorème d'Erdös et Selfridge (1975)
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Le produit de nombres
consécutifs n'est jamais une puissance. The product of consecutive integers is never a power. |
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La
factorisation d'un nombre carré comporte des facteurs
premiers au moins au carré ou puissance 4, ou puissance 2k. |
9 = 32 16 = 24 36 = 22 x 32 180 = 22 x 32
x 5 n'est pas un carré (le facteur premier 5 est
seul) |
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Pour être un
carré, le facteur premier le plus grand du nombre doit être répété. |
180 x 5 = 22
x 32 x 5 x 5 est un carré 180 x 5 = 900 = 302 |
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Le théorème de Tchebychev dit que,
au moins un nombre premier se glisse entre n et 2n. |
Entre 7 et 14, on trouve
les nombres premiers: 11 et 13 |
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Le tableau des nombres
factoriels et de leurs facteurs
premiers |
Démonstration en trois
temps |
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Propriété
des factorielles |
Le dernier nombre premier à
diviser n! est inférieur à n. |
8! = 40 320 = 27 x 32 x 5 x 7 et 7 <
8 |
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Principe de la démonstration |
Soit un nombre de départ.
On montre qu'il faudrait qu'il soit plus grand pour que sa factorielle soit
un carré. Or c'est impossible, car il faudrait qu'il soit encore plus grand,
etc. C'est le théorème de
Tchebychev qui joue le trouble-fête en introduisant un nombre premier qui
relance la poursuite sans fin. |
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1) Si n est premier |
n! = 1x2x …x p |
5! = 23 x 3 x
5 = 120 |
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Pour former
un carré le facteur p doit être doublé. |
Or, tous les autres
facteurs sont inférieurs à p. Impossible de doubler p. |
Pas d'autre 5 dans la
factorisation de 120. 120 ne peut pas être un
carré. |
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2) Si n est composé, le plus grand premier
inférieur à n est p |
n = Ap p < n |
8! = 40 320 = 27 x 32 x 5 x 7 p = 7 |
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Pour former
un carré le facteur p doit être répété (seul ou multiples). |
La seule chance est que
n soit supérieur ou égal à 2p n |
Pour faire un carré, il
faut au moins un autre 7. Ce sera le cas pour 14
> 8 |
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Or selon le théorème
de Tchebychev un autre premier p' est là |
p' < 2p |
Avant d'atteindre 14,
les premiers 11 et 13 font leur apparition. |
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La présence de
p' impose que lui aussi soit doublé pour former un carré |
de n! à 2p! il n'y a pas
de carré |
De 8! à 14! il n'y a pas
de carré |
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En repartant
de n = p', on recommence la démonstration depuis le début |
p'! n'est pas un carré
car p' est premier Pour les nombres suivant
avant d'atteindre 2p', il y aura au moins un p". Etc. |
11! n'st pas premier il faudrait atteindre
(2x11)! mais, entre-temps s'autre premiers vont apparaitre (13, 19 et 27). |
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Formule de Polignac Pour un
entier n > 0, la décomposition en
facteurs premiers de n! est donnée par cette formule. Sorte de
décomposition p-adique |
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Exemple 5! = 120 = 23
x 3 x 5 Alors p =
{2, 3, 5} |
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