NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Formule de Stirling

Valeurs

Nombres de Stirling

 

Sommaire de cette page

 

>>> Formules de De Moivre et de Stirling

>>> Valeurs approchées

>>> Utilisation des logarithmes

>>> Valeurs de 70!, 100!, 1000!

>>> Explication des calculs avec les logs

 

 

 

 

Calcul des FACTORIELLES

Formule de Stirling

Formule de Ramanujan

 

Vous cherchez à calculer la factorielle d'un très grand nombre.

*      Utilisez la touche "!" de votre calculette (vous serez limité à 69! = 1,71…1098),

*      Utilisez la fonction "FACT" de votre tableur (vous serez limité à 170! = 7,2 …10306),

*      Utilisez la fonction"!" d'un logiciel de calcul (Maple)

*    Utilisez les formules d'approximation indiquées sur cette page. Accès direct aux formules >>>

Anglais: Stirling's approximation

 

 

FORMULE de DE MOIVRE et de STIRLING

 

*    Formule initiale de De Moivre impliquant une constante k dont il n'a pas donné la valeur.

 

*    Formule améliorée en 1730 par Stirling (1692-1770). Vous noterez la présence des deux constantes transcendantes Pi = 3, 14… et e = 2, 718…

 

 

*    La valeur de r(n) diminue lorsque n croît. Cette valeur s'exprime par un développement en série.

 

 

*    La formule de Stirling est un cas particulier de la fonction gamma d'Euler avec argument entier.

 

 

 

Valeurs approchées

 

*    La formule simple (avec r(n) = 0) donne les valeurs suivantes

  5!        = 118,01               au lieu de 120 (écart 2%)

10!        = 3,59  106            au lieu de 3,62 106 (écart 0,8%)

 

*    La formule n'est pas bien adaptée aux petites valeurs de n. Il faut aller bien loin pour obtenir une bonne approximation.

100!      = 9,325  10157       au lieu de 9,332 10157 (écart 0,07%)

 

 

 

Utilisation des logarithmes

 

*    Rappelons que la factorielle étant un produit de nombres, son expression en logarithmes est simple:

 

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

 

*    Les produits deviennent des sommes

 

ln(n!) = ln 1 + ln 2 + ln 3 + … + ln (n)

 

 

*    Nous savons que la manipulation des très grands nombres n'est pas évidente et souvent un passage par un calcul de logarithmes permet la manipulation de nombres bien plus petits (en gros équivalents à la quantité des chiffres des nombres).

 

 

*    Voyons la transformation de la formule de Stirling en logarithmes:

 

*      La formule de Stirling simple donne:

 

*      En passant aux logarithmes:



 

Explications:

*       ln (nn) = n x ln(n): l'exposant devient coefficient.

*       ln (e-n) =-n x ln(e) avec la même règle; mais ln et e sont deux fonctions inverses et ln(e) = 1.

*    Quant à la racine, c'est une puissance ½; alors, .

 

*      Une formule plus élaborée ajoute un terme impliquant les nombres de Bernoulli.

 

*    Une formule en logarithme, plus précise, est due au mathématicien indien Ramanujan. 

 

 

 

 

 

Bilan – Calculs en pratique

 

 Nous avons à notre disposition plusieurs possibilités de calcul:

- la formule directe de Stirling ave 3 ou 5 termes;

- la formule en log de Ramanujan; et

- la formule en log à partir de Stirling à trois facteurs.

 

Formules utilisées pour calculer les grandes factorielles

 

 

 

Exemples de valeurs selon la méthode

 

Calcul avec les quatre formules indiquées, plus une qui permet d'obtenir rapidement un ordre de grandeur.

 

 

 

Calcul avec les logarithmes

 

Méthode classique

 



Explications: Comment obtenir la valeur des log et exp? Sur votre ordinateur, ouvrir la fonction calculatrice (cliquer le rond en bas à gauche. Tous les programmes / accessoires / Calculatrice). La mettre en mode scientifique via l'onglet affichage. Tout d'abord, constatez que la fonction factorielle existe.

Revenons à notre calcul.  Tapez 70 sur votre clavier numérique (ou avec la souris sur la calculette). Cliquez la touche ln et voilà votre valeur de ln(70). Pour obtenir l'exponentielle de 230,437, tapez ce nombre puis cliquez sur Inv puis sur ln, les deux fonctions étant l'inverse l'une de l'autre.

Vous pouvez aussi utiliser votre tableur pour implémenter ces calculs et dresser des tableaux de valeurs. Mais, attention, vous serez vite limités à l'affichage des chiffres de 170!

 

 

Méthode avec comparaison à log 10n

 

Même départ. Il s'agit d'apprécier ln(70!) = 230,4 par rapport à ln (1000) qui vaut 6,9. L'idée est de contourner les machines incapables d'afficher les chiffres de grandes factorielles.

Nous savons que ln (1000) = ln (103) = 3 ln (10)

En divisant les deux:

ln(70!) = 3 x ln(10) x 230,4 / 6,9 = 100,17 ln 10
n repassant en exponentielles, avec exp (ln 10)) = 10
    70!  = 10100,17

Conclusion: 70! est un nombre un peu plus grand que 10100.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Programmation du calcul des factorielles

Voir

*         Constante "pi"

*         Constante "e"

*         Théorie des nombres – Index

Sites

*         Calcul de n! selon STIRLING de Serge MEHL

*         Correction de la formule de Stirling de Serge MEHL

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