NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/04/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Calcul d'un produit de k nombres successifs >>> En bref >>> Trois nombres consécutifs >>> Quatre nombres consécutifs et carré >>> Nom de quelques factorielles tronquées >>> Divisibilité >>> Doubles factorielles tronquées >>> Égalités entre factorielles tronquées >>> Table des factorielles tronquées

FACTORIELLE TRONQUÉE

Factorielles généralisées

Produit de p nombres consécutifs de m à n.

Ex: 4 x 5 x 6 = 120

Elles sont utilisées en combinatoire.

Soit p nombres consécutifs, leur produit est divisible par p!

Ce produit n'est jamais une puissance.

Voir Table des valeurs pour n de 1 à 10 / Brève 510

Calcul d'un produit de k nombres successifs
Produit de 2 à 5 nombres successifs: formule et exemple Le produit de quatre nombres consécutif plus 1 est un carré Voir Développement
Calcul avec cinq nombres successifs centrés sur 100 Le tableau montre le calcul pas à pas conformément à la formule indiquée ci-dessus. Ce calcul est parfois présenté comme un problème de calcul à exécuter sans calculette.
Valeur pour 10, 100 et 1000

Voir Brève 55-1080

En bref
Théorème d'Erdös et Selfridge (1975) Une factorielle tronquée n'est jamais une puissance parfaite.	n (n + 1) (n + 2) … (n + k – 1) = x^L n > 0; k, x, L > 1 n'a pas de solution.
Produit de nombres consécutifs	Exemple de calcul P = 11 x 12 x 13 = 1 716 Avec a = 10 et i = 3
Notez que l'exemple vaut presque démonstration et que cette formule ne présente guère d'intérêt pour le calcul. En revanche, elle montre que le produit de k nombres consécutifs et divisible par k!

Voir Calcul des combinaisons / Coefficients du binôme en puissance

Trois nombres consécutifs
Théorème d'Erdös et Selfridge Le produit de k nombres consécutifs n'est jamais une puissance. Exemple: le produit de trois nombres consécutifs n'est jamais un carré ou un cube.		Rappel Le produit de k nombres consécutifs est divisible par k!.
Démonstration pour k = 3 On suppose que le produit est une puissance parfaite.		(n – 1) n (n + 1) = a^k
Deux nombres consécutifs sont premiers entre eux.		PGCD ((n – 1), n) = 1 PGCD ((n + 1), n) = 1
C'est donc que n est une puissance parfaite et que le produit des deux autres l'est aussi et de la même forme.		n = b^k (n – 1) (n + 1) = n² – 1 = c^k
En rapprochant ces données:	n = b^k n² – 1 = c^k (b^k)² = c^k + 1
Nous aurions donc deux puissances consécutives, ce qui n'existe pas (sauf pour 0 et 1).	Par contradiction, l'hypothèse initiale est fausse et le produit de trois nombres consécutifs n'est jamais une puissance.

Noms des produits de k nombres successifs

k	Produit	Facteur	Noms
2	n (n + 1)	x 1	= Nombre pronique
		x 1/2	= Nombre triangulaire
3	n (n + 1) (n+ 2)	x 1/6	= Nombre tétraédrique
4	n (n + 1) (n + 2) (n + 3)	x 1/24	= Nombre pentatope

Factorielle quadruple

Exemple 5 × 6 × 7 × 8 = 8! / 4! = 1680 Définition Nombres de la forme 2n! / n! Notée: n!!!! Propriété n!!!! = n ٠ (n – 1) !!!!

Liste 1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, 384, 585, 1680, 3465, 6144, 9945, 30240, 65835, 122880, 208845, 665280, 1514205, 2949120, 5221125, 17297280, 40883535, … OEIS A007662

Propriété remarquable: Produit de quatre nombres consécutifs + 1 = carré
Montrez que:	n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = c²
Premiers cas en exemples:	1 × 2 × 3 × 4 + 1 = 24 + 1 = 25 = 5² 2 × 3 × 4 × 5 + 1 = 120 + 1 = 121 = 11² 3 × 4 × 5 × 6 + 1 = 360 + 1 = 361 = 19²
Développement:	n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1
Posons:	m = n² + 3n + 1
Notre développement devient:	(n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1 = (m – 1) (m + 1) + 1 = m² – 1 + 1 = m²
Formulation complète:	n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (n² + 3n + 1)^2
Autre formule	(n – 1) (n) (n + 1) (n + 2) + 1 = (n² + n – 1)²= (n (n + 1) – 1)²
Exemple:	4 × 5 × 6 × 7 + 1 = (4² + 3×4 + 1)² = 29² = 841
Énigme Rac(9x10x11x12+1) = ? Avec la 2^e formule	On trouve ce défi sur Internet: Calculer cette racine carrée, sans calculette
Liste : produit +1 = n (n + 1) – 1 OEIS A028387 / A062938	5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 379, 419, 461, 505, 551, 599, 649, 701, 755, 811, 869, 929, 991, 1055, 1121, 1189, 1259, 1331, 1405, 1481, 1559, 1639, 1721, 1805, 1891, 1979, 2069, 2161, 2255, 2351, 2449, 2549, …

Voir Identité avec quatre nombres consécutifs

Devinette

Question

Dire quand (n – 2)! + (n + 2)! est un carré, avec n > 2.

Solution

En développant: (n – 2)! + (n – 2)! (n-1)(n)(n+1)(n+2)

Propriété vue ci-dessus: (n – 2)! (1 + c²)

Qui est un carré si (n – 2)! l'est. Possible que pour n = 3.

(une factorielle n'est jamais un carré).

Seule solution: (3 – 2)! + (3 + 2)! = 1 + 120 = 121 = 11²

Voir DicoNombre 11

DIVISIBILITÉ
Théorème Le produit de p nombres consécutifs est divisible par p! Exemple Démonstration
Soit le produit de p nombres consécutifs commençant par un nombre quelconque n+1	(n+1)(n+2)…(n+p)
On multiplie par la fraction n!/n!	= n! (n+1)(n+2)…(n+p) / n!
On développe n! au numérateur	= 1x2x3 … n (n+1)(n+2)…(n+p) / n!
Le numérateur est factoriel	= (n+p) ! / n!
On multiplie par la fraction p!/p!	= p! (n+p) ! / (n! p!)
On reconnaît l'expression du coefficient du binôme ou terme du triangle de Pascal	= p! (n+p) ! / (n! p!)
En exprimant avec ce coefficient	= p! C^pn+p
Soit la formule	(n+1)(n+2)…(n+p) = p! C^pn+p
Ou en exprimant le coefficient	C^pn+p = (n+1)(n+2)…(n+p) / p!
Or les coefficients du binôme sont des nombres entiers	(n+1)(n+2)…(n+p) est divisible par p!

Voir Divisibilité

Doubles factorielles tronquées
Égalité entre deux factorielles tronquées Tous les cas jusqu'à la borne supérieure égale à 100 Sont exclus tous les cas triviaux avec les facteurs 1 et 2.

Égalités entre factorielles tronquées
Une factorielle tronquée est notée:	P (n, m) = n (n – 1) (n – 2) …(n – m+1)
Nous cherchons des égalités du type:	P(k.n, m) = k' P(n, m')
Par exemple: La solution est unique, sauf solutions triviales en 0 et 1.	P(2n, 3) = 2P(n, 4) avec n = 8 16 x 15 x 14 = 2 (8 x 7 x 6 x 5) = 3 360

P(2n, 2) = k P(n, 2)
Les deux solutions entières:	4 x 3 = 6 (2 x 1) = 12 6 x 5 = 5 (3 x 2) = 30
Solution générale pour certaines valeurs de k:

P(2n, 2) = k P(n, 3)
Seule solution entière:	6 x 5 = 5 (3 x 2 x 1) = 30
Seule solution entière. La suivante est obtenue pour n = 4 et k = 7/3	8 x 7 = 7/3 x (4 x 3 x 2) = 56
Solution générale pour certaines valeurs de k:

P(2n, 3) = k P(n, 3)
Les quatre solutions entières:	6 x 5 x 4 = 20 (3 x 2 x 1) = 120 8 x 7 x 6 = 14 (4 x 3 x 2) = 336 10 x 9 x 8 = 12 (5 x 4 x 3) 12 x 11 x 10 = 11 (6 x 5 x 4) = 1 320
Solution générale pour certaines valeurs de k:

P(2n, 3) = k P(n, 4)
Nous venons de voir la solution unique en 8 pour k = 2	16 x 15 x 14 = 2 (8 x 7 x 6 x 5) = 3 360
Solution en 5 pour k = 6. Le facteur k = 6 a le bon goût d'étendre la factorielle tronquée à cinq facteurs. Le rationnel n = 4/3 est aussi solution. De même que 0 et 1 (solutions triviales).	10 x 9 x 8 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720
Solution en 4 pour k = 14. Autres solutions: 0, 1 et 11/7.	8 x 7 x 6 = 14 (4 x 3 x 2 x 1) = 336
Solution générale pour certaines valeurs de k: Les trois seules solutions pour k entier sont celles indiquées ci-dessus.

P(2n, 2) = k P(n, 4)
Aucune solution entière. Première rationnelle avec k = 14/3 et n = 4.	/
Solution générale pour certaines valeurs de k:

P(2n, 4) = k P(n, 4)
Les trois solutions entières:	8 x 7 x 6 x 5 = 70 (4 x 3 x 2 x 1) = 1 680 10 x 9 x 8 x 7 = 42 (5 x 4 x 3 x 2) = 5 040 12 x 11 x 10 x 9 = 33 (6 x 5 x 4 x 3) = 11 880
Solution générale pour certaines valeurs de k:

Tableau récapitulatif

Toutes les relations du type P(2n, m) = k P(n, m').

On pourrait considérer P(h.n, m) et poursuivre le tableau.

Table des factorielles tronquées

Suite	Nombres de Stirling Somme et produit de 3 nombres consécutifs Somme de produits de nombres en progression arithmétique Division des factorielles tronquées Factorielle tronquée = carré? Factorielles généralisées Produit de k nombres consécutifs – Divisibilité
Voir	Coefficient du binôme Constante "e" Constante "pi" Factorielles divisées Loto Partition en nombres consécutifs Programmation du calcul des factorielles Théorie des nombres – Index
DicoNombre	Nombre 222 Nombre 145
Site	Power values of binomial coefficients – K. Gyory Product of Three Consecutive Integers is never Perfect Power – Proof Wiki
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Compter/Facttron.htm