équation diophantienne ay = c2

Édition du: 29/03/2026

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		Relations de Viète	Eq.Diophan. ay = c² – x²

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Équation diophantienne

Ay = c² – x²

Cette équation ne passe pas pour être une équation diophantienne profonde.
Sa résolution est accessible via une astuce algébrique standard : une identité remarquable.

Sommaire de cette page

>>> Équation ay = c² – x²

>>> Exemple avec petit nombre

>>> Exemple avec grand nombre

>>> Résolution en x et y ; a et c étant fixés

>>> Plus petite solution en x

>>> Programmation Python

Débutants

Équations

Glossaire

Équations diophantiennes

Équation ay = c² – x²		haut
Objectif Il s’agit d’une équation diophantienne. On cherche à résoudre dans les entiers l’équation : où a est un entier fixé, et x, y et c sont des entiers inconnus.	ay = c² – x²
Idée clé : utiliser une identité remarquable On reconnaît une différence de deux carrés :	ay = (c – x) (c + x)
Changement de variables On pose : Alors : et on peut inverser :	u = c – x et v = c + x ay = uv
Condition Pour que x et c soient entiers : u et v tous deux pairs ou tous deux impairs.	u et v de même parité
Formule paramétrique Cette formule donne toutes les solutions entières Pas d’essais successifs On ne cherche pas x ou y au hasard ; on construit directement les solutions La méthode donne toutes les solutions ; chaque factorisation de ay fournit une solution.

Exemple avec petit nombre		haut
On choisit :	u = 120 , v = 144
Alors : Famille des solutions pour a quelconque
Choisissons a = 16 On vérifie que a divise 120 × 144 ; ce qui est le cas.
Équation reconstituée	16 × 1080 = 132² – 12² 17 280 = 17 424 – 144

Exemple avec grand nombre

haut

Pour garantir la divisibilité de uv par a, on construit :

Alors :

u = a·m et v = n

uv = a · m · n => y = m · n ∈ ℤ

Choix initial

a = 1 000 000

m = 1 234 567

n = 9 876 543 210

Alors :

u = 1 234 567 000 000

v = 9 876 543 210

Calculs :

Vérification

ay = c² – x²

1 000 000 × 12 193 254 321 140 070 = 622 221 771 605² - 612 345 228 395²

= 12 193 254 321 140 070 000 000

Résolution en x et y ; a et c étant fixés

haut

Condition d’existence de solutions.

Condition toujours possible.

ay = c² – x²

=> c² – x² ≡ 0 (mod a) ou c² ≡ x² (mod a)

Cas 1

x = c + at

Cas 2

x = -c + at

Toutes les solutions avec l’une de ces deux formules :

Plus petite solution en x		haut
On a : Il faudra choisir t pour minimiser x (en valeur absolue).	x = ± c (mod a) ou x = ± c + at
Solutions possibles : Il faudra choisir la plus petite valeur.	x = r x = r – a x = -r x = a – r
Exemple	a = 16, c = 132 132 mod 16 ≡ 4 x = ± 4 (plus petit)

Programmation Python			haut
Programme avec a = 16 et c = 132 def solutions_diophantienne(a, c, t_min=-5, t_max=5): solutions = [] for t in range(t_min, t_max + 1): # Cas 1 x1 = c + a * t y1 = -2 * c * t - a * t*2 solutions.append((x1, y1)) # Cas 2 x2 = -c + a t y2 = 2 * c * t - a * t2 solutions.append((x2, y2)) return solutions def plus_petit_x(a, c): r = c % a candidats = [r, r - a, -r, a - r] x_min = min(candidats, key=abs*) y = (cc - x_minx_min) // a return* x_min, y # Exemple a = 16 c = 132 print("Plus petite solution :") print(plus_petit_x(a, c)) print("\nQuelques solutions :") for sol in solutions_diophantienne(a, c): print(sol)		Résultats Plus petite solution (x, y) : (4, 1088) ð 16 × 1088 = 132² – 4² = 17 408 Quelques solutions (x, y): (52, 920) (-212, -1720) (68, 800) (-196, -1312) (84, 648) (-180, -936) (100, 464) (-164, -592) (116, 248) (-148, -280) (132, 0) (-132, 0) (148, -280) (-116, 248) (164, -592) (-100, 464) (180, -936) (-84, 648) (196, -1312) (-68, 800) (212, -1720) (-52, 920)
Quelques plus petites solutions impliquant de grands nombres	12345 × 790160 = 98765² – 5² = 9754525200 1234567 × 79012400 = 9876543² – 7² = 97546101630800 123456789 × 7901234640 = 987654321² - 9² = 975461057789970960 123456789101112 × 7901234635109072 = 987654321098765² – 8289869² = 975461057985062330314956488064