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Édition du: 20/04/2026 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Fractions Calcul Types de nombres	FRACTIONS ÉGYPTIENNES
	Numération égyptienne
	Tour d'horizon	Amusements		Construction
	Construction: algorithme glouton		Glouton variante
	Fractions égyptiennes : LE LIVRE		Historique

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Fractions égyptiennes Historique Les fractions égyptiennes n’ont pas disparu avec les scribes du Nouvel Empire. Leur trace réapparaît, se transforme, circule entre manuscrits grecs, traités arabes et écoles d’abaque européennes. Suivre leur parcours, c’est observer comment une technique de calcul très ancienne continue d’influencer des traditions mathématiques successives.
	Sommaire de cette page >>> Égypte – Pourquoi ce système ? >>> Égypte – Méthodes >>> Histoire après l’époque pharaonique >>> Sources de nos connaissances >>> Usage moderne des fractions égyptiennes	Débutants Fractions Glossaire Fractions

Égypte – Pourquoi ce système ?		haut
Les sources : Rhind, Moscou et les autres Nos connaissances proviennent principalement de deux documents : le papyrus Rhind (vers 1650 av. J.-C.), le papyrus de Moscou (vers 1850 av. J.-C.). Le papyrus Rhind contient une table complète des décompositions de 2/n pour n impair jusqu’à 101. On y trouve par exemple : Ces tables montrent que les scribes maîtrisaient des techniques systématiques, probablement enseignées dans les écoles de scribes. Un outil pour la vie quotidienne Les fractions égyptiennes apparaissent dans des contextes très concrets : distribution de pain, de bière ou de céréales, calculs de surfaces agricoles, conversion d’unités, problèmes d’arpentage. Elles ne sont pas un jeu mathématique : elles répondent à des besoins administratifs et économiques.	Pourquoi des fractions unitaires ? Plusieurs raisons pratiques et culturelles expliquent ce choix : Simplicité de représentation : les hiéroglyphes prévoyaient un symbole spécial pour 1/n, mais pas pour les numérateurs supérieurs. Précision dans le partage : les fractions unitaires permettent de découper des quantités en parts égales successives. Méthode pédagogique : la décomposition en parts simples facilite l’apprentissage et le contrôle des calculs. Les Égyptiens n’avaient pas de notation positionnelle ni de zéro. Leur système fractionnaire reflète donc une logique additive, cohérente avec leur écriture des nombres entiers

Égypte – Méthodes		haut
Méthodes de décomposition Comment les Égyptiens s’y prenaient-ils ? Même si les papyrus ne donnent pas toujours les méthodes, les historiens ont reconstitué plusieurs techniques probables.
La méthode du “plus grand dénominateur possible” C’est l’ancêtre de ce que nous appelons aujourd’hui la méthode gloutonne (greedy algorithm) : Pour une fraction a/b, on prend la plus petite fraction unitaire 1/n telle que On soustrait et on recommence. Cette méthode fonctionne toujours, mais elle peut produire des dénominateurs très grands.	Exemple avec 5/7 1. On cherche la plus grande fraction unitaire 1/n qui ne dépasse pas 5/7. La fraction ½ convient. On calcule l'écart: 2. On recommence avec 1/5 qui convient: 3. Finalement
Les tables préétablies Pour les fractions du type 2/n, les Égyptiens utilisaient des tables optimisées. Cela évitait des calculs longs et garantissait des décompositions “élégantes”. Quelques exemples Le papyrus donne les solutions jusqu'à 2/101	Des méthodes algébriques implicites Certaines décompositions montrent une compréhension intuitive de relations comme : Autrement dit, même sans écriture algébrique moderne, ils savaient choisir le plus petit dénominateur n tel que : puis décomposer le reste en fractions unitaires. Les scribes ne disposaient pas de symbolisme formel, mais ils manipulaient les proportions avec une grande habileté, en appliquant des raisonnements qui ressemblent fortement à nos méthodes algébriques actuelles.

Histoire des fractions égyptiennes après l’époque pharaonique		haut
Période gréco-romaine Après la fin de l’Ancien Empire égyptien, les méthodes de calcul fondées sur les fractions unitaires ne disparaissent pas immédiatement. Durant la période gréco‑romaine, les savants d’Alexandrie ont encore accès à des documents administratifs et mathématiques hérités des scribes. Les fractions égyptiennes ne sont toutefois plus utilisées comme système général de calcul : les mathématiciens grecs privilégient les rapports géométriques et les nombres entiers. Néanmoins, plusieurs auteurs, dont Héron d’Alexandrie, décrivent des procédés de partage qui rappellent les décompositions en unités, signe que ces pratiques restent connues dans certains milieux techniques.	Diophante Au IIIᵉ siècle, Diophante d’Alexandrie emploie des notations fractionnaires plus proches des usages grecs, mais certaines de ses manipulations montrent qu’il connaît encore l’idée de transformer une fraction en somme de termes simples. Les fractions unitaires ne constituent plus un système obligatoire, mais elles subsistent comme outil ponctuel dans des problèmes de partage ou d’optimisation.
Monde médiéval Dans le monde arabe médiéval, entre le IXᵉ et le XIIIᵉ siècle, plusieurs mathématiciens redécouvrent indirectement les méthodes égyptiennes en étudiant les textes grecs traduits. Al‑Khwârizmî, dans son traité d’arithmétique, utilise des fractions ordinaires, mais certains commentateurs, notamment al‑Samaw’al et Ibn al‑Bannâ, analysent des décompositions en unités lorsqu’ils traitent de problèmes de distribution proportionnelle. Les fractions égyptiennes ne sont pas adoptées comme système, mais elles apparaissent dans des démonstrations où l’on cherche à exprimer un rapport sous forme de somme de parts égales ou hiérarchisées.	Fibonacci Au XIIᵉ siècle, le *Liber Abaci* de Fibonacci introduit en Europe les méthodes arabes et indiennes. Fibonacci connaît les fractions unitaires et les utilise dans certains exemples, notamment lorsqu’il traite des partages successifs ou des problèmes de pesée. Il ne les présente pas comme un système autonome, mais comme une technique utile dans des cas particuliers. Dans plusieurs chapitres, il propose des décompositions de fractions qui rappellent la méthode gloutonne, sans référence explicite à l’Égypte.
Ensuite … disparition Entre le XIVᵉ et le XVIᵉ siècle, les écoles d’abaque italiennes enseignent des méthodes de calcul pratiques. Les fractions unitaires apparaissent encore dans des exercices de partage de marchandises ou de conversion d’unités, mais elles ne constituent plus un cadre théorique. Leur présence tient davantage à la tradition des problèmes hérités de Fibonacci qu’à une continuité directe avec les scribes.	Redécouverte au travers des papyrus À la fin de la Renaissance, les fractions égyptiennes cessent d’être mentionnées dans les manuels d’arithmétique. Elles ne réapparaîtront qu’au XIXᵉ siècle, lorsque les papyrus mathématiques seront redécouverts et traduits.

Sources de nos connaissances sur les fractions égyptiennes

Les sources : Rhind, Moscou et les autres

Nos connaissances sur les fractions égyptiennes proviennent d’un ensemble de documents mathématiques exceptionnels, rédigés entre le Moyen Empire et la Deuxième Période intermédiaire. Les deux plus célèbres sont :

le papyrus de Moscou (vers 1850 av. J.-C.),

le papyrus Rhind, ou Rhind Mathematical Papyrus (vers 1650 av. J.-C.), copié par le scribe Ahmès.

D’autres sources complètent ce corpus : le Reisner Papyrus, le Kahun Papyrus, l’Akhmim Wooden Tablet, ou encore le Egyptian Mathematical Leather Roll. Tous témoignent d’une tradition mathématique déjà bien établie au IIᵉ millénaire av. J.-C.

Usage des fractions égyptiennes dans le monde moderne		haut
Papyrus Rhind L’intérêt scientifique pour les fractions égyptiennes réapparaît au XIXᵉ siècle, lorsque plusieurs papyrus mathématiques sont découverts, acquis puis déchiffrés. En 1858, le papyrus Rhind est acheté à Louxor par l’antiquaire Henry Rhind. À partir de 1877, l’égyptologue August Eisenlohr publie la première transcription complète du document, accompagnée d’une analyse détaillée des méthodes de calcul. Cette publication attire l’attention des historiens des mathématiques, qui identifient la table des décompositions de 2/n comme un système cohérent et intentionnel.	Un système structuré Au début du XXᵉ siècle, les travaux de Thomas Eric Peet et d’Otto Neugebauer replacent ces décompositions dans le contexte des pratiques administratives égyptiennes. Neugebauer montre que les fractions unitaires ne constituent pas un archaïsme isolé, mais un système numérique structuré, adapté à la notation hiéroglyphique. Ses analyses influencent durablement l’étude des mathématiques anciennes.
Algorithme confirmé À partir des années 1930, plusieurs mathématiciens modernes s’intéressent aux propriétés formelles des décompositions en fractions unitaires. Les recherches de Richard Gillings, publiées en 1972, établissent des correspondances entre certaines lignes du papyrus Rhind et des méthodes systématiques proches des algorithmes gloutons. Gillings propose également des reconstructions de procédures utilisées par les scribes pour obtenir les dénominateurs figurant dans la table.	Théorie des nombres Dans la seconde moitié du XXᵉ siècle, les fractions égyptiennes deviennent un sujet d’étude en théorie des nombres. En 1948, Paul Erdős et Ernst Straus formulent la conjecture selon laquelle toute fraction 4/n peut être écrite comme somme de trois fractions unitaires. Cette conjecture, directement inspirée des méthodes égyptiennes, reste ouverte. D’autres travaux, notamment ceux de Sierpiński et de Graham, explorent les limites des décompositions en unités et les conditions d’existence de représentations courtes.
Intérêt historique et pédagogique Au XXIᵉ siècle, les fractions égyptiennes apparaissent dans des recherches sur les algorithmes optimisés, la complexité des décompositions rationnelles et la pédagogie des fractions. Elles servent également de modèle historique pour illustrer la diversité des systèmes numériques et la relation entre notation et méthode de calcul.	Mathématiques récréatives À partir des années 1980, les fractions égyptiennes trouvent également une place dans les mathématiques récréatives. Elles apparaissent dans des problèmes de partage, des puzzles de décomposition rationnelle et des défis de minimisation du nombre de termes. Plusieurs ouvrages de vulgarisation, notamment ceux de Martin Gardner, utilisent les fractions unitaires pour illustrer des stratégies de résolution, des paradoxes de représentation et des liens inattendus entre histoire et algorithmique.

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Suite	Algorithme pour la recherche des fractions égyptiennes Comparaison des fractions usuelles Construction de ces fractions Énigme du partage des 11 bonbons Énigme du partage des 17 chevaux Fractions – Glossaire et index Suite de Sylvester Nombres semi-parfaits primaires
Voir	Inverse d'un nombre Tables des fractions égyptiennes Fraction avec 0,65 Fractions dont la somme est égale à 1 Sommes d'inverses Théorie des nombres – Index
DicoNombre	Nombre ¼ Nombre 1/3 Nombre ½ Nombre 2/3 Nombre ¾ Nombre 3/7
Cette page	https://diconombre.fr/Calcul/Fraction/Egyptien.htm
Sites	Fractions égyptiennes sur Wikipédia Site de Dr Ron Knott (anglais)