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Édition du: 20/04/2026 |
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INDEX |
FRACTIONS ÉGYPTIENNES |
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Fractions
égyptiennes : LE LIVRE |
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Fractions égyptiennes Amusements il existe plusieurs applications
amusantes et récréatives autour des fractions égyptiennes, qui permettent de
relier histoire, logique et curiosité mathématique. |
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Sommaire de cette page >>> Œil d'Horus & don de Thot >>> Quatre enfants et trois gâteaux >>> Huit personnes et cinq pizzas >>> Le problème d’Erdős–Straus >>> Pavage et fractions égyptiennes |
Débutants Glossaire |
Voir Représentation des fractions
égyptiennes
Voir Œil d'Horus
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Embarrassés
! Quatre enfants sont bien empruntés. Ils
n'ont que trois biscuits à se partager. Comment faire? Chacun son dû Chacun aura bien entendu 3/4 de biscuit. Esprit de débrouille … Comment faire le moins de découpes? Il suffit de partager d'abord en
moitiés. Puis de partager le troisième en
quarts. |
Trois
gâteaux à partager en quatre
Demis Demis
Quarts Avec 3
biscuits pour 4 enfants, chacun aura
un demi et un quart .
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Un cas un
peu plus délicat Avec huit personnes pour cinq pizzas, chacune recevra 5/8 de
pizzas. On place les cinq pizzas sur la table, on les découpe de l manière suivante:
🠊 soit une demi-pizza pour chacun;
🠊 soit un huitième de pizza chacun.
Bilan Le problème de partage s'est concrétisé comme un problème de
fractions égyptiennes:
Nous avons eu besoin de 4 + 4 = 8 découpes (coups de couteau). Ce
qui est le minimum possible. |
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Le problème
d’Erdős–Straus (1948) Énoncé Pour tout entier n ≥ 2, peut-on toujours écrire :
C’est une conjecture
: on pense que c’est toujours vrai… Pourquoi c’est
surprenant ?
Ce qu’on sait
aujourd’hui Vérifié par ordinateur pour énormément de très grandes valeurs. Vrai pour plein de familles de nombres (par exemple certains
types de nombres ). Toujours pas de preuve
générale. Idée de méthode
(intuition) On essaie souvent de manipuler cette égalité en la transformant
en équation : 4abc = n(ab +
ac + bc) Ensuite :
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Exemples
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Pavage et fractions égyptiennes
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Conditions Un
pavage archimédien
est une juxtaposition de polygones réguliers (triangles, carrés, hexagones,
etc.) qui recouvrent le plan sans chevauchement ni vide, et où la
configuration autour de chaque sommet est identique. Si
α est l'angle interne du polygone, la somme pour un pavage parfait doit être
égale à 360° = 2π Un
calcul montre que la condition conduit à une somme de fractions égyptiennes
(rouge).
Exemple
avec k = 3
Soit
un pavage carré-octogone-octogone => |
Calcul
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Autres
exemples en images
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Suite |
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Voir |
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