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Édition du: 04/05/2026 |
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INDEX |
FRACTIONS ÉGYPTIENNES |
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Fractions
égyptiennes : LE LIVRE |
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Fractions égyptiennes Tour d'horizon Fractions dont le numérateur vaut
toujours 1. Seules exceptions 2/3 et sans doute 3/4. En tout cas ces deux fractions étaient
chacune représentée par un hiéroglyphe. On ne sait pas très bien pourquoi les
Égyptiens en étaient venus à utiliser ces fractions. Aujourd'hui, elles sont
propices à des jeux. Notamment, comment découper une tarte en parts toutes
inégales? … |
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Sommaire de cette page >>> Approche >>>
Le cadran d'une horloge >>>
Fractions égyptiennes >>>
Remarques >>>
Construction des fractions égyptiennes >>>
Propriétés >>>
Illustration amusante >>> Solution de l'équation 1/x + 1/y = 1/z >>> Complexe >>> Densité de fractions >>> Anglais |
Débutants Glossaire |
Henry Rhind présentant son papyrus à la communauté
scientifique du XIXᵉ siècle
(Invention non réaliste d'une IA)
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Observations Cette illustration propose un florilège
de fractions égyptiennes. Qu'observe-ton ? Dans le développement, toutes les
fractions ont un numérateur
égal à 1. Oui, c'est la marque caractéristique
des fractions égyptiennes. Explications On donne la représentation habituelle
des fractions (en orange) et leur représentation sous forme de bandes
rectangulaires partagées. Ainsi, en haut, la bande bleue
représente une longueur 1/2. En dessous, elle est partagée en deux:
une partie vaut 1/3 et l'autre 1/6. Ce qui montre que 1/3 + 1/6 = 1/2. Etc. |
La
fraction 1/2 développée en fractions égyptiennes
La
fraction 3/4 développée en fractions égyptiennes
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Une
bonne approche Le cadran d'une horloge est divisé en 12 secteurs
égaux. On peut
l'utiliser pour représenter des fractions dont "l'unité" est le douzième. Ainsi,
si je partage le cadran en deux moitiés, j'obtiens six douzièmes, soit: 6/16 Ce qui
montre que:
Plus
fort! Visuellement,
le cadran permet de convertir la faction 1/2 en fractions égyptiennes:
Si
on veut aller plus loin: on
découvre le mécanisme de simplification des fractions:
On
divise simplement le numérateur et le dénominateur par la même quantité, ce
qui ne change pas la valeur de la fraction. |
Représentation
de la fraction 1/2 sur le cadran de l'horloge
Voir Fractions
sur horloge / Horloge Justification
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Une promenade mathématique entre curiosité,
histoire et modernité |
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Une
introduction sous forme de curiosité Imagine un scribe de l’Égypte antique, penché sur
un papyrus, chargé de répartir équitablement des pains entre plusieurs
ouvriers. Il ne dispose ni de fractions décimales, ni de notations modernes
comme 3/4 ou 7/5. Pourtant, il doit exprimer des parts précises, parfois très
fines. Comment fait-il ? Il utilise ce que nous appelons aujourd’hui des fractions égyptiennes : des sommes
de fractions unitaires, c’est‑à‑dire des fractions dont le
numérateur vaut 1. Par exemple, au lieu d’écrire 2/3, il note :
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Ce système, à la fois ingénieux et déroutant pour
nos habitudes modernes, a fasciné des générations de mathématiciens. Il
constitue un pont étonnant entre les besoins pratiques d’une civilisation
antique et des questions théoriques encore ouvertes aujourd’hui. |
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Qu’est‑ce
qu’une fraction égyptienne ? Une fraction
égyptienne est une écriture d’un nombre rationnel positif sous la
forme d’une somme de fractions unitaires distinctes :
Avec
n1 < n2 < … < nk Règles essentielles
En pratique Les Égyptiens utilisaient des tables préétablies
pour certaines fractions, notamment celles du type |
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L’exception
majeure : les fractions du type Le cas le plus notable concerne les fractions
dont le numérateur vaut 2. Les scribes égyptiens utilisaient pour
elles des tables préétablies, notamment dans le papyrus Rhind, qui donnent
systématiquement des décompositions particulières. Or, dans ces tables : ·
le numérateur n’est pas 1, ·
certaines décompositions utilisent des
répétitions implicites, ·
l’ordre croissant n’est pas toujours strictement
respecté, ·
et surtout, les Égyptiens considéraient |
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Florilège
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Fraction
égyptienne
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Exemples
= 0,75
Non égyptienne. |
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Fraction
unitaire
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= 0,9444… |
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Curiosité Cette fraction égyptienne a été trouvée sur le
papyrus Rhind, inscrite par le scribe Ahmes il y a
3500 ans. |
= 0,1176... |
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Autres
exemples |
Classiques
Avec
fraction en 2/n, admise comme résultat
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Conjecture |
On
conjecture que les fractions en 4/n et 5/n sont
décomposables en somme de trois fractions unitaires. |
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Formule de base => En 1201, Fibonacci trouve un algorithme, dit
algorithme glouton. |
Suite en Construction des fractions unitaires et égyptiennes. |
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Voir Table et
comparaison entre fractions usuelles
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Deux fractions exprimées sous forme
égyptienne sont plus facilement comparables. Exemple
La différence entre ce deux fractions
est 3/56 = 0,05 … Tout nombre rationnel positif peut être
exprimé en fraction égyptienne et ce, d'une infinité de façons différentes
(cf. procédé de construction). La somme des fractions égyptiennes
consécutives est supérieure à n'importe quel nombre, pourvu que le nombre de
termes soit assez grand: Série lentement
divergente, mais… divergente. La question du plus petit dénominateur
final pour la plus petite quantité de termes est un sujet qui est très
ouvert. Voir Denser Egyptian fractions notamment par Greg Martin |
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Voir Explications / Hyperbole
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Trouver
les solutions de cette équation
diophantienne revient à chercher quels sont les nombres dont le produit (x.y) vaut z fois la somme.
Exemple: 1/3 + 1/6 = 1/2 & 2 (3+6) = 3x6 = 18 Liste
des 77 solutions pour z jusqu'à 25 et x et y jusqu'à 1000:
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Avec les nombres complexes. Souvenez-vous que: (2-i)(2+i) = 2² + 2i
– 2i – i² = 5 Voici quelques exemples de valeurs
pour:
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a b F
F 2 1
4/5 0,8 3 1
3/5 0,6 1 2
2/5 0,4 4 2
2/5 0,4 4 3
8/25 0,32 2 3
4/13 0,30769… 6 2
3/10 0,3 7 1
7/25 0,28 3 4
6/25 0,24 1 3
1/5 0,2 2 4
1/5 0,2 8 4
1/5 0,2 9 3
1/5 0,2 6 6
1/6 0,1666… 8 6
4/25 0,16 10 5
4/25 0,16 3 6
2/15 0,1333… 6 8
3/25 0,12 1 4
2/17 0,1176… 2 6
1/10 0,1 4 8
1/10 0,1 3 9
1/15 0,0666… 2 8
1/17 0,0588… |
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Deux exprimé par une somme de 366
fractions égyptiennes avec un dénominateur inférieur à 1000. 2 = 1/13 + 1/19 + 1/23 +
1/26 + 1/27 + 1/29 + 1/32 +1/34 + 1/35 + 1/36 + 1/38 + 1/39 + 1/40 + 1/42 + 1/44 + 1/45 + 1/46 + 1/49 + 1/50 + … + 1/950 +
1/952 + 1/957 + 1/960 + 1/966 + 1/969 + 1/975 + 1/980 + 1/986 +
1/988 + 1/990 + 1/992 Voir Liste
complète Conséquence Avec le nombre 1, il y a 454 telles
fractions:
Valeurs entières possibles de N
Recherche Travaux récents (1998) des
mathématiciens Greg Martin et Ernest Croot: " Comment exprimer un entier
sous la forme du plus grand nombre possible de fractions égyptiennes
différentes." |
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Anglais: Dense Egyptian fractions
Voir Greg Martin
University of British Columbia (maths avancées)
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The ancient Egyptians (1650 av. J.-C.), as far as we can tell from the
documents now surviving, used a number system based on unit fractions: fractions
with one in the numerator. They wrote positive rational numbers as sums of distinct reciprocals of
positive integers, or unit fractions. An Egyptian fraction is a sum of positive (usually) distinct
unit fractions. In 1202, Fibonacci published
an algorithm, subsequently rediscovered by Sylvester in 1880, among others,
for constructing such representations, which have come to be called Egyptian fractions, for any positive rational number. |
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