|
Édition du: 17/04/2026 |
|
INDEX Nombres
selon facteurs Nombres selon
diviseurs Nombres –
Classification |
Types de Nombres – FACTEURS |
||
Faites un double-clic
pour un retour en haut de page
|
NOMBRES d'Erdös-Woods En introduction, nous étudions des suites de nombres consécutifs
partageant des facteurs
communs, que nous appelons des nombres cousins. Il s’agit de suites de
k entiers
consécutifs, chacun ayant un facteur commun non trivial avec au moins un
autre élément de référence. La longueur k de telles suites s’inscrit dans le
cadre des nombres de Paul Erdős et Alan Woods, liés à l’étude des
intervalles d’entiers possédant des propriétés de divisibilité
particulières. |
||
|
|
Sommaire de cette page >>> Approche >>>
Cousins à deux par les facteurs >>>
Nombre d'Erdös-Woods >>> Exemples: k
= 22 et k = 34 |
Débutants Glossaire |
Anglais: Erdös-Woods numbers
|
Partage
de facteurs Soit un nombre, disons 10, quels sont les cinq
nombres suivants qui partagent un facteur avec 10 ? Remarques Le nombre 10 est pair: les
nombres pairs suivants partagent le facteur 2. Le nombre 10 est divisible par 5: les multiples de
5 suivants partagent le facteur 5. Ce type de cousinages entre nombres est donc assez
trivial. |
Nombre
10 = 2 × 5 12 = 2² × 3 → facteur commun : [2] 14 = 2 × 7 → facteur commun : [2] 15 = 3 × 5 →
facteur commun : [5] 16 = 24 → facteur commun : [2] 18 = 2 × 3² →
facteur commun : [2] … Dans cette liste les nombres 13 et 17 sont absents.
Oui, ils sont premiers ! |
|
|
Partage
de facteurs à deux Soient deux nombres consécutifs N et N+1. On
s’intéresse aux entiers suivants: N+2, N+3, … (appelés "cousins")
qui partagent au moins un facteur avec l’un des deux nombres. Autrement dit, un entier m > N+1 est cousin si : PGCD(m, N) > 1 ou PGCD(m,
N+1) >1 Remarques
Rôle
de N+1 Bien que N+1 puisse apporter des facteurs
supplémentaires, son influence est généralement limitée :
Ainsi, dans les cas où la suite est longue, elle
est principalement contrôlée par les facteurs de N. Cousins
“doublement actifs” On introduit une condition supplémentaire : on dit
que la suite est doublement cousine si :
Autrement dit, les deux nombres N et N+1 doivent
effectivement contribuer à la suite. Observation
expérimentale Une recherche numérique étendue (jusqu’à de grandes
bornes ne fournit aucun exemple non trivial de suites doublement cousines de
longueur k ≥ 2. Interprétation Pour obtenir une telle suite, il faut simultanément
:
et
ce dans un intervalle très court. Ces contraintes rendent la situation extrêmement
improbable. Conjecture Pour k ≥ 2, les suites doublement cousines
non triviales n’existent pas, ou sont extrêmement rares. |
Nombres
24 et 25 et k = 3
Nombres
30 et 31 et k = 5
Nombres
210 et 211 et k = 9
Cas de 510510 = 17# et k = 17
17#
= primorielle
17 |
||
|
Définition Soit une plage de k + 1 nombres entiers. Le nombre
k est dit d'Erdös-Woods si chacun des nombres
entiers de k + 1 à k – 1 possède au moins un facteur commun avec ceux des
nombres d'extrémité de plage. Cas
de k = 16 Le plus
petit nombre d'Erdös-Woods. Les
nombres extrémités sont: 2184 et 2200. Chacun
des nombres de 2154 à 2199 possède au moins un facteur commun avec ceux de
2184 ou ceux de 2200 (rouge. |
2184
23 × 3 × 7 × 13 2185 5 × 19 × 23 2186 2 × 1093 2187 3⁷ 2188 2² × 547 2189 11 × 199 2190 2 × 3 × 5 × 73 2191 7 × 313 2192 2⁴ × 137 2193 3 × 17 × 43 2194 2 × 1097 2195 5 × 439 2196 2² × 3² × 61 2197 13³ 2198 2 × 7 × 157 2199 3 × 733 2200 2³ × 5²
× 11 |
||
|
Liste k |
16,
22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70, 76, 78, 86, 88, 92, 94, 96, 100, 106, 112, 116, 118, 120,
124, 130, 134, 142, 144, 146, 154, 160, 162, 186, 190, 196, 204, 210, 216,
218, 220, 222, 232, 238, 246, 248, 250, 256, 260, 262, 268, 276, 280, 286,
288, 292, 296, 298, 300, 302, 306, 310, 316, 320, 324, 326, 328, 330, 336, 340,
342, 346, 356, 366, 372, 378, 382, 394, 396, 400, 404, 406, 408, 414, 416,
424, 426, 428, 430, … |
||
|
Liste des nombres
initiaux |
2184, 3521210, 47563752566,
12913165320, 21653939146794, 172481165966593120, 808852298577787631376,
91307018384081053554, 1172783000213391981960, 26214699169906862478864,
27070317575988954996883440, 92274830076590427944007586984,
3061406404565905778785058155412, … |
||
|
Historique et intérêt |
Les
nombres d'Erdös-Woods sont définis comme la
longueur d'un intervalle d'entiers consécutifs qui ne sont pas simultanément
premiers avec ses bornes. Woods a été le premier à exhiber ce type de nombre,
Dowe a prouvé qu'il en existe une infinité et Cégielski, Heroult et Richard
ont montré que leur ensemble est récursif. Les
nombres d’Erdős–Woods trouvent leur origine dans une question simple
mais intéressante : jusqu’à quel point peut-on contrôler la divisibilité au
sein d’une suite d’entiers consécutifs ? Paul Erdős,
célèbre pour son goût des problèmes élémentaires en apparence, et Alan Woods
se sont intéressés à la manière dont les facteurs premiers se répartissent
dans les entiers. Leur idée était d’explorer des intervalles où chaque nombre
partage un facteur non trivial avec au moins une extrémité, révélant ainsi
une forme de “cohésion arithmétique” inattendue. Ce
problème s’inscrit dans un contexte plus large : celui de la compréhension de
la structure multiplicative des entiers, en contraste avec leur distribution
additive (comme celle des nombres premiers). Alors que les nombres premiers
apparaissent de façon irrégulière, les facteurs premiers, eux, imposent des
contraintes locales fortes. Étudier ces suites revient donc à analyser un
équilibre subtil entre ordre et imprévisibilité. Les
nombres d’Erdős–Woods permettent aussi d’illustrer des techniques issues
du crible et des raisonnements probabilistes en théorie des
nombres. Ils montrent qu’il est possible de construire de longs
intervalles d’entiers ayant des propriétés de divisibilité communes, mais que
ces constructions reposent sur des choix très structurés (par exemple des
nombres très composés). Ainsi,
derrière une question accessible se cache une problématique plus vaste :
comprendre comment les propriétés locales de divisibilité influencent la
structure globale des entiers. C’est précisément ce type de question, à la
fois simple à énoncer et difficile à résoudre, qui caractérise une grande
partie des travaux d’Erdős. |
||
Les deuxième (k = 22) et troisième (k = 34) nombres
|
3521210 = 2 × 5 × 7 × 11 × 17 ×
269 3521211 = 3
× 281 × 4177 3521212 = 2²
× 880303 3521213 = 19
× 185327 3521214 = 2
× 3²
× 53 × 3691 3521215 = 5
× 704243 3521216 = 2⁶
× 37 × 1487 3521217 = 3
× 7
× 167677 3521218 = 2
× 1760609 3521219 = 13
× 439 × 617 3521220 = 2²
× 3
× 5
× 58687 3521221 = 11²
× 29101 3521222 = 2
× 941 × 1871 3521223 = 3²
× 391247 3521224 = 2³
× 7
× 227 × 277 3521225 = 5²
× 61 × 2309 3521226 = 2
× 3
× 586871 3521227 = 17 ×
43 × 4817 3521228 = 2²
× 31 × 73 × 389 3521229 = 3 ×
1173743 3521230 = 2
× 5
× 352123 3521231 = 7
× 23 × 21871 3521232 = 2⁴ × 3⁴ × 11
× 13 × 19 |
47563752566 = 2
× 11 × 17 × 23 × 41 × 157 × 859 47563752567 = 3 × 3719 × 4263131 47563752568 = 2³ × 71 × 199 × 420799 47563752569 = 31 × 163 × 9412973 47563752570 = 2 × 3 × 5 × 1585458419 47563752571 = 29 × 12941 × 126739 47563752572 = 2² × 7² × 242672207 47563752573 = 3² × 4657 × 1134821 47563752574 = 2 × 13 × 823 × 991 × 2243 47563752575 = 5² × 31769 × 59887 47563752576 = 2⁷ × 3 × 349 × 354911 47563752577 = 11 × 397 × 593 × 18367 47563752578 = 2
× 173 × 137467493 47563752579 = 3 × 7 × 3257 × 695407 47563752580 = 2² × 5 × 83 × 617 × 46439 47563752581 = 19 × 2503355399 47563752582 = 2 × 3⁴ × 53 × 59 × 93893 47563752583 = 17 × 43 × 5171 × 12583 47563752584 = 2³ × 149 × 39902477 47563752585 = 3 × 5 × 67 × 47327117 47563752586 = 2 × 7 × 3397410899 47563752587 = 13² × 281442323 47563752588 = 2² × 3 × 11 × 4513 × 79843 47563752589 = 23
× 61 × 151 × 224513 47563752590 = 2 × 5 × 4756375259 47563752591 = 3² × 5284861399 47563752592 = 2⁴ × 47 × 63249671 47563752593 = 7 × 6794821799 47563752594 = 2 × 3 × 7927292099 47563752595 = 5 × 32503 × 292673 47563752596 = 2² × 11890938149 47563752597 = 3 × 15854584199 47563752598 = 2 × 23781876299 47563752599 = 11 × 37 × 127 × 373 × 2467 47563752600 = 2³ × 3² × 5² × 7 × 13 × 17
× 19 × 29 × 31 |
Haut
de page (ou double-clic)
|
Retour |
|
|
Suite |
|
|
Voir |
|
|
Sites |
|
|
Cette page |
