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Édition du: 17/09/2026 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Dénombrement Calculs	COMBINATOIRE
	Base – Compter	Débutant	Approche	Types – Synthèse
	P-listes	Arrangements	Permutations	Combinaisons
	Outils	Dérangements	Distributions	Comb. à répétition
	Le monde complet de la combinatoire		Notions avancées en combinatoire

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Les p-listes en combinatoire – Diconombre Page du Dictionnaire des nombres (diconombre.fr) consacrée à la manière de compter, de dénombrer les objets. Sur cette page, on explore les p-listes : Liste pour désigner une suite d'éléments placés dans un ordre : les positions comptent et un même élément peut être repris. p pour indiquer que cette liste comporte p positions, donc que l'on choisit p éléments. L'image d'un compteur représente bien l'idée de la p-liste. Si le compteur comporte trois chiffres, chaque position peut recevoir l'un des 10 chiffres, de 0 à 9. On obtient donc 10^3 = 1000 possibilités, de 000 à 999. p-liste → p positions, n choix possibles à chaque position → n^p
	Sommaire de cette page >>> Approche : quelques exemples simples >>> Avec ordre et avec répétition : les p-listes >>> Les p-listes : choix ordonnés avec répétition >>> Exemples >>> Comment s'y prendre ? >>> Nombres formés avec {1, 2, 3, 4} >>> Mots en p-chose (pour information)	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Approche : quelques exemples simples

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Les deux cercles

On choisit un chiffre sur chaque cercle pour former un nombre de deux chiffres. On peut en former:

L²₄ = 4 × 4 = 16 nombres

Le compteur décimal

L'image du compteur est bien pratique pour calculer la quantité de p-listes.

Prenons l'exemple des chiffres de 0 à 9 sur 3 positions.

La valeur de chacune des positions est indépendante de la valeur de la position voisine:

La position de droite peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9;

La position du milieu peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9; et

La position de gauche peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9.

En vertu du principe multiplicatif, le total des possibilités est le produit des possibilités individuelles.

Ce qui en somme nous rassure, car ce que cela veut dire c'est que, avec 3 chiffres, on peut former 1000 nombres !

L³₁₀ = 10 × 10 × 10 = 10³

Les immatriculations

Avec les 26 lettres de l'alphabet, on forme une immatriculation de 3 lettres.

Combien d'immatriculations possibles ?

a

b

c

L³₂₆ = 26 × 26 × 26 = 26³ = 17 576

En binaire

En binaire les chiffres sont 0 ou 1.

Combien existe-t-il de nombres de 5 bits ?

0

1

1

L⁵₂ = 2×2×2×2×2 = 2⁵ = 32

La marelle

On part d'un point de la couronne extérieure.

On se dirige vers un des chiffres de la couronne intérieure.

Combien de chemins possibles.

De 1 vers 1, 2, 3, 4

De 2 vers 1, 2, 3, 4

De 3 vers 1, 2, 3, 4

De 4 vers 1, 2, 3, 4

Soit 4 × 4 chemins

L²₄ = 4 × 4 = 16 chemins

Avec ordre et avec répétition : les p-listes		haut
Il s'agit du cas le plus simple de calcul combinatoire. On dispose de n éléments et on veut former une suite de p éléments. L'ordre compte et un élément peut être repris. On parle couramment de p-liste. Pour une p-liste de p éléments choisis parmi n, le nombre de possibilités est : n^p	Exemple : un compteur Un compteur à trois chiffres de 0 à 9, donne 1000 possibilités : Il y a bien 1000 affichages possibles, de 000 à 999. Pourquoi une puissance ? 10 possibilités pour le premier chiffre ; 10 pour le deuxième ; 10 pour le troisième. Le principe multiplicatif donne :

Liste	Choix (exemples)	p-liste de n
{a, b, c, d}	aaaa, aacd, bcad, …	4-liste de 4
	aaa, bca, cda, ccb …	3-liste de 4
	aa, ab, bb, cd, db …	2-liste de 4

Les p-listes : choix ordonnés avec répétition			haut
La question essentielle : combien de suites peut-on former ? Dans un problème de combinatoire, on rencontre très souvent une situation où l'on doit effectuer p choix successifs parmi n possibilités. À chaque position, plusieurs choix restent possibles, et surtout un même élément peut être choisi plusieurs fois. C'est précisément le domaine des p-listes. Une p-liste est donc une suite ordonnée de p éléments choisis parmi n éléments, avec répétition autorisée.		Calcul Si l'ensemble de départ est E = {a, b, c,d} Une 3-liste peut être par exemple : (a, c, a), (d, b, c), (b, b, b) L'ordre compte : abc et cba sont deux p-listes différentes. La répétition est autorisée : aaa, bba ou dcc sont parfaitement possibles. Le nombre total de p-listes est donné par la formule : n^p car chacun des p emplacements peut être rempli indépendamment par l'un des n éléments.
	Première question à se poser : que représente une possibilité ? Avant d'utiliser une formule, il est utile de se poser quatre questions très simples : 1. Combien de positions ou de choix successifs y a-t-il ? C'est le nombre p. 2. À chaque position, combien de possibilités restent disponibles ? Si c'est toujours n, on commence à penser à une p-liste. 3. Peut-on réutiliser un élément déjà choisi ? Si oui, la répétition est autorisée. 4. L'ordre des choix produit-il une possibilité différente ? Si oui, on est bien dans une logique de liste : abc et bac sont différents. Lorsque les réponses sont : p positions, n choix possibles à chaque position, répétition autorisée, ordre important, le calcul est une p-liste.

Exemples		haut
Un code à trois chiffres On doit fabriquer un code de trois chiffres, chaque chiffre pouvant être choisi parmi . Il y a : 10 choix pour le premier chiffre ; 10 choix pour le deuxième ; 10 choix pour le troisième. Donc : Il y a 1000 codes possibles. Le fait que 123, 132 et 111 soient tous possibles montre bien les deux caractéristiques essentielles : l'ordre compte et la répétition est autorisée.	Lancer trois fois un dé Un dé possède 6 faces. On le lance trois fois et on note les résultats dans l'ordre. Chaque lancer offre 6 possibilités, indépendamment des précédents : Il existe donc 216 suites de résultats possibles. Par exemple est différente de Le même nombre peut naturellement apparaître plusieurs fois. C'est donc une p-liste avec

Former un mot de trois lettres On dispose des lettres A, B, C, D et l'on veut former des suites de trois lettres. On peut utiliser plusieurs fois la même lettre. Le nombre de possibilités est : Par exemple : Attention : on ne parle pas ici nécessairement de mots français. Ce qui est compté, ce sont toutes les suites de trois lettres possibles.

Un code avec des lettres et des chiffres On veut constituer un code de 5 caractères en utilisant les 26 lettres de l'alphabet et les 10 chiffres, avec répétition autorisée. Chaque position peut donc recevoir caractères. Le nombre de codes est : Même si le problème parle de « codes », « caractères » ou « identifiants », la structure combinatoire est toujours la même : On a 5 positions indépendantes, 36 choix à chaque position. C'est une p-liste de longueur 5 sur un alphabet de 36 caractères.

Le piège du numéro de téléphone Supposons que l'on demande combien de numéros à 8 chiffres peuvent être constitués avec les chiffres 0 à 9, en autorisant les répétitions. La première réaction peut être : « il y a 10 chiffres, donc ». C'est effectivement un calcul de p-liste à condition que le premier emplacement puisse être 0. On obtient alors : Mais si le premier chiffre doit être différent de 0, le raisonnement change : Ce n'est plus exactement une p-liste pure, car toutes les positions n'offrent plus le même nombre de choix. Cette nuance est fondamentale : une p-liste correspond au cas où les p positions disposent chacune des mêmes n possibilités.

Un problème qui ressemble à une combinaison Voici un cas plus subtil. On dispose des quatre parfums : On choisit trois boules de glace, et l'on accepte de reprendre plusieurs fois le même parfum. Par exemple : vanille – vanille – chocolat ; fraise – citron – vanille ; chocolat – chocolat – chocolat. À première vue, on pourrait penser à une combinaison, puisque l'on « choisit trois parfums ». Mais il faut regarder ce que le problème considère comme une possibilité. Si l'on décrit les trois boules selon leur ordre dans le cornet, alors : et sont deux possibilités différentes. On a alors : C'est une 3-liste. En revanche, si l'ordre des boules n'a aucune importance, et représentent le même choix. On ne peut alors plus utiliser . Voilà pourquoi la bonne question n'est pas seulement : « Combien d'éléments choisit-on ? » mais surtout : « Une même sélection présentée dans un ordre différent constitue-t-elle une nouvelle possibilité ? »

Le cas trompeur des trois lancers On lance une pièce trois fois. On pourrait immédiatement écrire C'est correct si l'on distingue les suites : Mais imaginons maintenant que l'on demande : « Combien de résultats comportent exactement deux piles et une face ? » Les trois suites sont alors différentes comme résultats ordonnés, mais elles répondent toutes à la même question. On ne cherche plus à compter toutes les p-listes. On cherche à compter seulement celles qui satisfont une condition supplémentaire. La p-liste peut donc être le point de départ du raisonnement, sans être nécessairement la formule finale.

Le cas encore plus subtil : choisir un trajet Une personne doit effectuer trois déplacements successifs. À chaque étape, elle peut choisir entre quatre directions : nord, sud, est ou ouest. Si toutes les directions sont toujours possibles et indépendantes, le nombre de suites est : C'est une p-liste. Mais ajoutons une contrainte : Il est interdit de prendre deux fois de suite la même direction. Le premier déplacement possède 4 possibilités, mais le deuxième seulement 3, et le troisième seulement 3. Le calcul devient Ce n'est plus une p-liste au sens strict, car le nombre de choix n'est plus 4 à chaque position. La distinction est importante : la formule n^p ne doit pas être utilisée simplement parce qu'il y a « p étapes ».

Comment s'y prendre ?

haut

Le véritable test : regarder la structure, pas le vocabulaire

Les énoncés peuvent employer des mots très différents : code, mot, suite, tirage, lancer, choix, trajet, signal, mot de passe, série de caractères…

Aucun de ces mots ne suffit pour identifier une p-liste.

Le bon réflexe consiste à transformer mentalement le problème en une succession de cases :

Puis à demander : Combien de possibilités puis-je mettre dans chaque case ?

Si la réponse est toujours n, et si les choix peuvent se répéter, alors :

et l'on est dans le cas des p-listes.

P-liste ou arrangement : la question qui fait basculer le calcul

C'est probablement la distinction la plus importante pour un débutant.

Prenons a, b, c, d et choisissons 3 éléments.

n = 4 : (a, b, c, d) & p = 3
Répétition	Sans répétition
aaa, bbd, dcd, abc	abc, abd, bdc, cda
TOUS	SÉLECTION
4^3 = 64.	4 × 3 × 2 = 24
Une 3-liste de 4 éléments	Un arrangement de 4 éléments

Ainsi, une seule question peut changer complètement la formule :

Peut-on réutiliser un élément déjà choisi ?

Les trois réflexes à retenir

Pour reconnaître rapidement une p-liste, retenir cette chaîne de questions :

Positions

Ordre

Répétition

Si les réponses sont oui, oui, oui, et que chaque position possède toujours les mêmes n possibilités, c'est une p-liste.

La difficulté n'est donc généralement pas de calculer n^p.

La vraie difficulté est de reconnaître que le problème a cette structure.

C'est précisément là que les erreurs de dénombrement apparaissent le plus souvent.

Nombres formés avec {1, 2, 3, 4}			haut
Nombres formés avec {1, 2, 3} Nombres à un seul chiffre Nombres à deux chiffres Nombres à trois chiffres Nombres à quatre chiffres		L^13 = 3 possibilités L^23 = 3^2 = 9 L^33 = 3^3 = 27 L^43 = 3^4 = 81
Nombres formés avec {1, 2, 3, 4} Nombres à un seul chiffre Nombres à deux chiffres Nombres à trois chiffres Nombres à quatre chiffres		L^14 = 4 possibilités L^24 = 4^2 = 16 L^34 = 4^3 = 64 L^44 = 4^4 = 256
Nombres de trois chiffres avec le 4 au moins une fois = tous sauf les nombres à trois chiffres formés sans le 4.		L^34 – L^33 = 64 – 27 = 37
Nombres de trois chiffres avec une seule fois le 4 = le 4 positionné, il reste deux positions à remplier avec 3 chiffres, et ceci pour les trois positions du 4		3 x L^23 = 3 x 9 = 27
Nombres de trois chiffres avec plusieurs fois le 4 = le 44 positionné, il reste une position à remplier avec 3 chiffres, et ceci pour les deux positions du 44; sans oublier l'unique cas de trois 4.		2 x 3 + 1 = 7
Listes des nombres à trois chiffres parmi 1, 2, 3 et 4.	Tous les nombres: 64 ['111', '112', '113', '114', '121', '122', '123', '124', '131', '132', '133', '134', '141', '142', '143', '144', '211', '212', '213', '214', '221', '222', '223', '224', '231', '232', '233', '234', '241', '242', '243', '244', '311', '312', '313', '314', '321', '322', '323', '324', '331', '332', '333', '334', '341', '342', '343', '344', '411', '412', '413', '414', '421', '422', '423', '424', '431', '432', '433', '434', '441', '442', '443', '444'] Ayant un seul 4: 27 ['114', '124', '134', '141', '142', '143', '214', '224', '234', '241', '242', '243', '314', '324', '334', '341', '342', '343', '411', '412', '413', '421', '422', '423', '431', '432', '433'] Ayant deux 4: 9 ['144', '244', '344', '414', '424', '434', '441', '442', '443'] Ayant au moins un 4: 37 ['114', '124', '134', '141', '142', '143', '144', '214', '224', '234', '241', '242', '243', '244', '314', '324', '334', '341', '342', '343', '344', '411', '412', '413', '414', '421', '422', '423', '424', '431', '432', '433', '434', '441', '442', '443', '444'] Ayant la chaîne 44: 7 ['144', '244', '344', '441', '442', '443', '444'] Ayant la chaîne 444: 1 ['444'] Sans le chiffre 4 : 27 ( = nombre à trois chiffres avec 1, 2 et 3) '111', '112', '113', '121', '122', '123', '131', '132', '133', '211', '212', '213', '221', '222', '223', '231', '232', '233', '311', '312', '313', '321', '322', '323', '331', '332', '333'

Mots en p-chose (pour information)

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Terme français Équivalent anglais courant	Définition	Usage privilégié
p-liste p-list	Suite ordonnée de p éléments choisis parmi n, généralement sans répétition : l'ordre compte.	Combinatoire, dénombrement
p-uplet p-tuple	Suite ordonnée de p éléments. Les éléments peuvent, selon le contexte, être distincts ou non.	Mathématiques, algèbre, informatique
p-tuple p-tuple	Synonyme de p-uplet, notamment dans les textes informatiques ou anglo-saxons. Le terme tuple est très courant en informatique. Un tuple est une structure ordonnée de valeurs, par exemple : (Jean, 72, Montpellier).	Informatique, mathématiques

Suite en détail pour:

P-listes	Arrangements	Permutations	Combinaisons
Le monde de la combinatoire

Rappel: Faites un double-clic pour un retour en haut de page

Suite	Outils: principe additif et principe multiplicatif Factorielles – Arrangement, Permutations et Combinaisons
Rappel	Débutants Introduction Combinatoire – Index
Voir	100 000 milliards de poèmes Boules et couleurs (p-liste) Cartes Chances aux tirage Compter les nombres Dénombrement – Développement Dénombrement – Index Dés Dominos Échecs Énigmes de partages Factorielle et ses cousines Grenouilles	Jeux de hasard Laplace Partage de Bakhshali Pascal – Biographie p-liste, exemple avec 142857 Permutations Probabilités Probabilités avec des dés Probabilités et logique Puzzle, énigmes – Index Triangle de Pascal Trois pièces
Sites	Combinatoire et Dénombrement : Cours Complet, Vocabulaire et Formules – Excellence Maths Khan Academy — Dénombrements, permutations et combinaisons Cours et exercices, notamment sur les permutations et combinaisons. Khan Academy — Permutations et combinaisons Exercices de niveau lycée, avec problèmes de dénombrement. Khan Academy — Module « Combinatoire et dénombrement » Parcours plus complet pour le niveau lycée. Exo7 — Université de Lille Cours et exercices de mathématiques universitaires, avec plusieurs ressources consacrées au dénombrement et aux probabilités. Bibm@th — Dénombrement Ressources pédagogiques consacrées notamment aux arrangements, permutations et combinaisons. Khan Academy — Counting, permutations, and combinations Très bonne introduction progressive : principe de comptage → permutations → combinaisons → exercices. Khan Academy — Statistics & Probability: Counting, permutations and combinations Parcours structuré avec vidéos et exercices. Khan Academy — Precalculus, permutations & combinations Approche particulièrement intéressante pour ton travail car elle distingue explicitement counting principle, permutations, combinations et le problème du overcounting. MIT OpenCourseWare — Mathematics for Computer Science Plus avancé, mais excellent pour comprendre les fondements du dénombrement, des permutations et des combinaisons. Wikipedia — Combinatorics Bon point d'entrée vers les différentes branches de la combinatoire et leur terminologie anglaise.
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