Accueil Orientation générale Barre de recherche

DicoNombre DicoMot Math DicoCulture

Atlas des maths Rubriques Index alphabétique

Nouveautés Actualités Références

Édition du: 01/09/2026 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Types de nombres	Théorie des Nombres
	Conjectures	Conjecture de Goormaghtigh	Th de Fermat-Wiles

Faites un double-clic pour un retour en haut de page

Conjecture de Goormaghtigh Les nombres 31 et 8191 seraient les deux seuls nombres qui s'écrivent, avec au moins trois chiffres 1, dans deux bases différentes. Ce sont aussi des nombres premiers de Mersenne.
	Sommaire de cette page >>> Deux nombres extraordinaires : 31 et 8191 >>> Qu'est-ce qu'un repunit ? >>> Le problème posé par Goormaghtigh >>> Cas de 31 et de 8 191 >>> Nombres de Mersenne premiers >>> Résumé en POSTER	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Deux nombres extraordinaires : 31 et 8191		haut
La conjecture de Goormaghtigh (1916) est une conjecture de théorie des nombres portant sur les nombres qui peuvent s'écrire, dans deux bases différentes, uniquement avec des chiffres 1. Elle est particulièrement remarquable parce que les deux seuls exemples connus sont : 31 et 8 191	Ces deux nombres sont aussi des nombres premiers de Mersenne. La conjecture affirme que ce sont les seuls. Elle n'est toujours pas démontrée.

Voir Brève 67-1321

Qu'est-ce qu'un repunit ?		haut
Un repunit est un nombre dont l'écriture dans une certaine base ne comporte que des chiffres 1. Exemples en base 10 : En base b, un repunit de n chiffres vaut : La somme géométrique donne : où désigne le repunit de longueur n en base b.	Exemples En base 5 : En base 2 : Ainsi : C'est précisément le phénomène étudié par la conjecture de Goormaghtigh.

Le problème posé par Goormaghtigh		haut
René Goormaghtigh a étudié en 1917 l'équation diophantienne avec L'intérêt de cette équation apparaît immédiatement en développant les deux fractions : Chaque membre est donc un repunit, mais dans une base différente.	La question devient : Existe-t-il des nombres qui soient des repunits d'au moins trois chiffres dans deux bases différentes ? Goormaghtigh a trouvé deux exemples et a conjecturé qu'il n'en existe pas d'autres.

Cas de 31 et de 8 191		haut
Premier exemple Donc : ou, sous forme d'écritures dans les bases correspondantes : On a donc le même nombre avec : · 5 chiffres 1 en base 2 ; · 3 chiffres 1 en base 5. C'est une propriété extrêmement rare.	Second exemple Donc : et donc : Il s'agit de 13 chiffres 1 en base 2, mais seulement 3 chiffres 1 en base 90.
Les deux égalités précédentes conduisent à la conjecture : sont les seuls nombres qui peuvent être représentés par au moins trois chiffres 1 dans deux bases différentes. Soit la conjecture de Goormaghtigh : les seules solutions non triviales de sont celles qui donnent 31 et 8 191.	Avec la convention et , les deux quadruplets sont : et

Nombres de Mersenne premiers		haut
Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme Or : Ce sont donc et Les exposants 5 et 13 étant premiers, ces deux nombres de Mersenne sont eux-mêmes premiers.	C'est précisément cette rencontre entre nombres de Mersenne et repunits dans plusieurs bases qui rend ces deux nombres particulièrement remarquables.

Résumé en Poster

Haut de page (ou double-clic)

DicoNombre	Nombre 31 Nombre 8 191
Suite	Vers l'elliptique Rang des courbes elliptiques Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
Voir	Problème des trois cubes Équations diophantiennes Conjectures – Index Théorie des nombres – Index
Sites	Conjecture de Goormaghtigh – Wikipédia
Cette page	https://diconombre.fr/aMaths/ThNb/Goormaghtigh.htm