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Édition du: 23/07/2026 |
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INDEX |
Pesées – Partitions |
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Pesées avec des poids de 4kg et 7kg Est-il
possible de faire toutes les pesées possibles avec de tels poids? Ou de
manière équivalente est-il possibles de faire
n'importe quelle somme avec des pièces de 4 euros et de 7 euros? Plus
généralement: partition des nombres avec des 4 et des 7. |
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Sommaire de cette page >>> Partition en 4 et 7 >>> Démonstration |
Débutants Glossaire |
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Comment partitionner 4, 9 et 13 à la
fois avec les nombres de 1 à 7 utilisé ou pas mais une seule fois seulement ? |
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Démontrez la
proposition suivante: Il est possible de partitionner tous les nombres
au-delà de 18 avec seulement des 4 et de 7. La table
d'addition ci-contre montre la pertinence du démarrage à n = 18. |
Additions en 4 et 7
Sont présents: 4, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20 21,
22, 23, 24, 25 … |
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Donc de 18 à
21, la proposition est vraie. |
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Supposons la
vraie pour ces valeurs et au-delà, jusqu'à k. |
P(k) vraie
pour tous j de 18 à k avec k |
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Il faut
montrer que sous cette supposition, la proposition est toujours vraie pour k
+ 1 |
Or la
proposition est vraie pour k – 3 puisque |
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Or, selon
notre supposition: |
k k – 3 |
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En
ajoutant simplement un 4 de plus, la
proposition reste vraie: |
k – 3 + 4 k +1 |
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La
proposition est vraie de 18 à 21 or si on suppose qu'elle est vraie au-delà,
jusqu'à un certain point, elle reste vraie pour le point suivant. |
Par induction, la proposition est
vraie pour tous les entiers supérieurs à18. |
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Énigme Comment partitionner 4, 9 et 13 à la
fois avec les nombres de 1 à 7 utilisé ou pas mais une seule fois seulement ? Observations La somme des nombres de 1 à 7 vaut ½ 7 x 8 = 28 et celle des nombres à
partitionner est 4 + 9 + 13 = 26. Le nombre 2 ne peut pas être utilisé. Le nombre 13 ne peut être atteint que
par la somme 6 + 7 = 13. Solution 13 = 6 + 7; 9 = 5 + 4 et 4 = 1 + 3 D'après
un jeu
mathématique d'Hervé Lehning – Futura Science |
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