NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 31/05/2026 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Mersenne		Sophie-Germain	Woodall
		Sommaire de cette page >>> Quel record ? >>> Nombres premiers les plus grands connus >>> Passage des puissances 2 aux puissances 10

NOMBRES PREMIERS RECORDS

La traque du nombre premier le plus grand connu

Les nombres premiers sont les objets les plus fantasques étudiés par les mathématiciens.

Ils poussent comme des mauvaises herbes au milieu du champ des nombres entiers, comme si le hasard était leur seule loi.

Personne ne peut prévoir où se trouve le suivant.

Ils obéissent pourtant à une fantastique régularité.

Ils apparaissent en fonction de lois précises auxquelles ils se conforment avec une discipline militaire.

Allusion au théorème des nombres premiers donnant la quantité de nombres premiers inférieurs à n

Opinion de Don Ziegler sur les nombres premiers

Anglais: The largest known primes

(Plus approprié ici que record qui veut dire enregistrement, rapport,

et aussi, c'est vrai, record comme record de vitesse: speed record)

Quel record ?

haut

Le record entendu habituellement est celui du plus grand nombres premier connu; celui qui a le plus de chiffres. Attention, cela ne veut pas dire que nous les connaissions tous jusqu'à cette valeur. Loin de là. Alors, deux autres questions se posent: Combien connaissons-nous de nombres premiers actuellement ? Jusqu'où connaissons-nous tous les nombres premiers sans qu'il en manque 1 ? Figurez-vous que, des nombres premiers, il en existe plus de 10^998 avec 1000 chiffres. Ceux là sont impossibles à énumérer. Comparez: l'âge de l'Univers est seulement" de 4,35 10^17 secondes. Conséquence si vous trouvez un nombre premier avec mille chiffres, vous êtes sans doute le premier à le trouver. Il est donc impossible de dire combien de nombres premiers sont connus à l'heure actuelle. Quant à énumérer tous les premiers successifs le plus loin possible: en fait, il est plus facile de les calculer que de les mémoriser et, de toute façon, ce serait un gâchis de mémoire. En 2021, Chris Caldwell (The PrimePages) indique que la liste connues (non mémorisée) s'étend à 10^18. Une autre question proche: quelle est le plus petit nombre tels qu'on ne sait pas dire s'il est premier ou non ? Avec les ordinateurs actuels, la réponse est que si vous connaissez cette limite, il suffirait de faire tourner un programme pour connaitre les nombres premiers suivants.

SUITE en Les plus grands connus ou accessibles / Voir Brève 47-935

Explications à propos du record de janvier 2013

Ce nombre est composé de plus de 17 millions de chiffres et remplirait près de 20 livres de 500 pages environ.

La plupart des nombres entiers peuvent se décomposer en un produit de nombres entiers strictement supérieurs à 1, comme par exemple 10 = 2 x 5. Ce n'est pas le cas des nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, etc.

Ils sont dits premiers car ce sont une sorte de briques de construction des nombres: tout nombre se décompose en un produit de nombres premiers et cela – oui! - d'une seule façon (111 =3 x 37 et c'est tout!).

Deuxième propriété: plus les nombres sont grands et plus les diviseurs premiers sont difficiles à trouver. D'où leur utilisation en cryptographie.

Tout comme les nombres, les nombres premiers sont en quantité infinie. Quel est le plus grand? Un défi que certains cherchent à relever.

Le nouveau record de Curtis Cooper (Missouri) comporte 17 425 170 chiffres (fichier de 22 Mo, 4000 feuilles A4, 39 jours d'ordinateur pour le trouver) à comparer à moins de 100 chiffres pour donner la quantité de particules dans l'Univers. Ce nombre premier record fait sans doute partie de la famille des premiers de Mersenne. sa forme est du type 2^p – 1 (une puissance de 2 diminuée de 1). Confirmation de la primalité de ce nombre par trois preuves indépendantes réalisées par des chercheurs différents, sur des machines différentes, avec des algorithmes différents.

Un prix de 250 000$ est offert pour la découverte d'un nombre premier à 1 milliard de chiffres.

D'après Le Figaro 06/02/2013

M52 trouvé le 12 octobre 2024

par Luke Durant – Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)

88169432750 383326555 3939100378 1173589712 0735450906 6041067156 3764124226 3069475684 1441725990 3477232831 0883750973 9959776874

… 41 024 080 chiffres non exprimés ...

8528065179 3145941256 7957568284 2282881240 9610970796 1148305849 3497660857 6417071506 0409404509 6221046655 5507670621 9486871551

M50 trouvé le 26 décembre 2017

par Johanna Pace du Tennessee (GIMPS- G15)

4673331833 5923109998 8335585561 1155212513 2110281771 4495798582 3385935679 2348052117 7207484311 0997402088 4962136809 0038049317

... 23 249 185 chiffres non exprimés ...

2853760045 1878605540 2223376672 9256792821 3196546734 3395945397 3704763692 7989462799 9939614659 2173711365 8273061806 9762179071

ll faudrait donc plus de 9 000 pages, soit une étagère de 40 livres de 225 pages chacun, pour le représenter

RECORD toutes catégories Mersenne, c'est sûr, mais le numéro avec "?" n'est pas confirmé.
Record	Quantité de chiffres	Type	Découverte
2^136 279 841− 1	41 024 320	M52 ?	12/10/2024
2 ^82 589 933– 1	24 862 048	M51 ?	12 / 2018
2 ^77 239 917– 1	23 249 425	M50 ?	12 / 2017
2 ^74 207 281– 1	22 338 618	M49 ?	1 / 2016
2 ^57 885 161– 1	17 425 170	M48	1 / 2013
2 ^43 112 609– 1	12 978 189	M47	8 / 2008
2 ^42 643 801– 1	12 837 064	M46	4 / 2009
2 ^37 156 667– 1	11 185 272	M45	9 / 2008
2 ^32 582 657– 1	9 808 358	M44	9 / 2006
10 223 x 2^311721165 + 1	9 383 358	Proth	2016
2 ^30 402 457– 1	9 152 052	M43	2005
2 ^25 964 951– 1	7 816 230	M42	2005
2 ^24 036 583 – 1	7 235 733	M41	2004
2 ^20 996 011 – 1	6 320 430	M40	2003
1 059 094^1 048 576 + 1	6 317 602	Fermat G	2018
919444^1048576 + 1	5 832 522	Fermat G	2017
168 451 x 2^19 375 200 + 1	5 832 522		2017
Phi(3, –123 447^524 288)	5 338 805		2017
8508301 x 2^17 016 603 – 1	5 122 515	Woodall	2018
Phi(3, –143 332^393 216)	4 055 114		2017
2 ^13 466 917 – 1	4 053 946	M39	2001
19 249 x 2 ^13 018 586 + 1	3 918 990		2007

Tous les plus grands sont des nombres de Mersenne.

Le plus grand nombre premier non Mersenne arrive au 9^e rang. C'est un nombre de Proth

Méga costauds!

Ils sont Titaniques > 1 000 chiffres

et plus, ils sont Méga > 1 000 000 chiffres

En janvier 2016, nous connaissons 149 méga premiers.

Attention!

Il existe peut-être des millions de nombres premiers non - connus situés entre ceux cités.

Liens

Vérifier les nouveautés sur le site de Chris Caldwell

Principe de la recherche des nombres premiers

Recherche: historique

Records des calculs

· à la main

· avec l'aide d'un ordinateur

· records actuels

Passage des puissances 2 aux puissances 10

L'estimation du nombre de chiffres en décimal passe par le log base 10 de 2. log base 10 de 2 = 0,3010299957… log base 10 de 10 = 1 En effet, en faisant un petit détour par les logarithmes: 2^k en log donne => log ( 2^k) = k . log (2) 10^p en log donne => log (10^p) = p . log (10) = p On cherche la relation entre p et k lorsque 2^k = 10^p, soit, en égalisant les deux relations ci-dessus: p = k . log (2) = 0,30103 k Le nombre de chiffres pour écrire ce nombre est égal à partie entière de p + 1. Exemple avec 2^10 = 1 024, k = 10, quelle est la valeur de p? p = 10 x 0,301 = 3,01 => 2^10 = 10^3,01 soit un peu plus de mille. Mille s'écrit avec 4 zéros, en fait 3 + 1. Application pour le record de 8/2008: 43 112 609 x 0,3010299957… = 12 978 188,5 soit 12 978 189 chiffres.

Suite	Les plus grands connus ou accessibles Mersenne Jumeaux Factorielles & primorielles Sophie Germain Woodall
Voir	Nombres premiers – Index Nombres composés Représentation des nombres Grilles Ératosthène
Sites de Chris Caldwell À jour & Très complet	La page des nombres premiers Les 10 plus grands - selon le type de nombres The top 20 of special forms
Calculs	View the digits of largest known prime number GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search List of Known Mersenne Prime Numbers Internet-based Distributed Computing Projects – tous les projets de recherche par appel aux calculateurs personnels.
Cette page	http://diconombre.fr/Wwwgvmm/Premier/record.htm

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ARCHIVES

Il est préférable de vous référer aux sites tenus à JOUR - Voir:

SITES

LISTE DES NOMBRES PREMIERS CONNUS LES PLUS GRANDS

Attention : il en existe peut-être des millions non - connus situés entre - eux

Mars 2009

Rang	Premier	10 ^navec n =	Découvreurs	Date	Commentaire
1	2 ^43 112 609– 1	12 978 189	GIMPS	2008	Mersenne 46 ?
2	2 ^37 156 667– 1	11 185 272	GIMPS	2008	Mersenne 45 ?
3	2 ^32 582 657– 1	9 808 358	GIMPS	2006	Mersenne 44 ?
4	2 ^30 402 457– 1	9 152 052	GIMPS	2005	Mersenne 43 ?
5	2 ^25 964 951– 1	7 816 230	GIMPS	2005	Mersenne 42 ?
6	2 ^240 36 583 – 1	7 235 733	GIMPS	2004	Mersenne 41 ?
7	2^20 996 011 – 1	6 320 430	GIMPS - Michael Shafer	2003	Mersenne 40 ?
8	2 ^13 466 917 – 1	4 053 946	Cameron, Woltman, Kurowski, GIMPS	2001	Mersenne 39
9	27 653 ^.2 ^9 167 433+ 1	2 759 677
10	28 433 . 2 ^7 830 457+ 1	2 357 207		2004
	2 ^6 972 593– 1	2 098 960	Hajratwala, Woltman, Kurowski & GIMPS, PrimeNet	1999	Mersenne 38
	5 359 . 2 ^5054502 + 1	1 521 561		2003
	2 ^3 021 377– 1	909 526	Clarkson, Woltman, Kurowski & GIMPS	1998	Mersenne 37
	2 ^2 976 221– 1	895 932	Spence, Woltman & GIMPS	1997	Mersenne 36
	1 372 930 ^131 072 + 1	804 474		2003	Fermat généralisé
	1 176 694 ^131 072 + 1	795 695		2003	Fermat généralisé
	3 . 2 ^2478785 + 1	746 190		2003
	130 816 ^131 072 + 1	670 651		2003	Fermat généralisé
	2 ^1 398 269– 1	420 921	Armengaud, Woltman & GIMPS	1996	Mersenne 35
	1 483 076 ^65 536+ 1	404 434	HEUER, Fougeron, Proth.exe	2003	Fermat généralisé
	1 478 036 ^65 536+ 1	404 337	HEUER, Fougeron, Proth.exe	2002	Fermat généralisé
	54 767 ^.2 ^1 337 287+ 1	402 569	Coels, PRP, SB, Proth.exe	2002	Sierpinski
	1 361 846 ^65 536+ 1	402 007	Penrose, Fougeron, Proth.exe	2002	Fermat généralisé
	1 266 062 ^65 536+ 1	399 931	AthGFNSieve, Underbakke, Proth.exe	2002	Fermat généralisé

Le 17 novembre 2003

Michael Shafer	Son calculateur déroule le programme du GIMPS, et trouve le plus grand nombre de Mersenne Sans doute le n° 40 C'est un nombre de plus de 6 millions de chiffres
Sites	Article de Eric Weisstein Article de Chris Caldwell

Record chez les premiers

Nombre premier à 10 millions de chiffres: 100 000 dollars à qui trouvera un tel nombre Prix offert par l’Electronic Frontier Foundation (États-Unis) En 2004, nous en sommes à 7 millions

>>> 10^7

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