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Édition du: 09/09/2026 |
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Nombres carrés : formes avec les
chiffres
Page du
Dictionnaire des nombres (diconombre.fr) consacrée aux nombres carrés Les nombres
carrés possèdent une structure arithmétique et une symétrie fascinantes. Une analyse
de leurs propriétés révèle des formes (patterns) remarquables lorsque l'on
observe la nature de leurs chiffres, leurs opérations internes et leurs
représentations spatiales. Quels sont
les carrés qui sont aussi repdigit, palindromes, retournés, etc. ? et même
vampire ! |
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Sommaire de cette page >>> Carrés et plus >>> Carrés et puissance de 2 >>> Carrés et palindromes >>>
Carrés et carrés retournés >>>
Carrés et somme des chiffres >>>
Carrés et produit des chiffres >>>
Carrés somme et produit des chiffres >>>
Carrés pannumériques >>>
Carrés vampiriques >>>
Carrés et répétition du chiffre initial |
Débutants Glossaire |
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Les nombres à
la fois carrés et cubes sont exactement les puissances sixièmes :
Ce sont les
seuls entiers qui sont simultanément des carrés parfaits et des cubes
parfaits. La
généralisation à d'autres puissances simultanées est évidente.
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Nombres qui sont carrés ET cubes (puissances 6)
Liste 0, 1, 64,
729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984,
4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000,
85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304,
594823321, … |
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Carré et puissance de 2 Un entier
est à la fois un carré parfait et une puissance de 2 si :
Ce qui
impose :
Donc :
Généralisation Les nombres
qui sont à la fois puissances de 2 et puissances p-ièmes
sont :
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Conclusion Les seuls nombres qui sont à la fois carrés
et puissances de 2 sont les puissances paires de 2 :
Exemple 210 = 4 096 = 64² |
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Voir
Nombre 4096
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Les plus
classiques sont les carrés des repunits appelé nombres Demlo Il existe
également des carrés palindromes issus de bases non palindromiques, comme
69889 = 264². 676 = 26² 69 696 = 264² 94 249 = 307² 698 896 = 836² 5221 225 = 2 285² 6948 496 = 2 636² 522 808 225 = 22 865² 617 323 716 = 24 846² 942 060 249 = 30 693² |
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Voir
Suite ascendante et
descendante
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Certains
carrés conservent leur propriété de carré parfait lorsque l'on inverse l'ordre
de leurs chiffres. Ce phénomène repose sur l'absence de retenue lors de la
multiplication posée. Suite en Carrés et carrés
des retournés |
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Énumération 0 = 0², Sch = 0 = 0² 1 = 1², Sch = 1 = 1² 4 = 2², Sch = 4 = 2² 9 = 3², Sch = 9 = 3² 36 = 6², Sch = 9 = … 81 = 9², Sch = 9 100 = 10², Sch = 1 121 = 11², Sch = 4 144 = 12², Sch = 9 169 = 13², Sch = 16 196 = 14², Sch = 16 225 = 15², Sch = 9 324 = 18², Sch = 9 400 = 20², Sch = 4 |
Exemple 144 = 12² &
1 + 4 + 4 = 9 = 3² Carrés dont la somme des chiffres est un carré 0, 1, 4, 9,
36, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961,
1521, 1681, 2025, 2304, 2601, 3364, 3481, 3600, 4489, 4624, 5776, 5929, 7225,
7396, 8100, 8836, 9025, 10000, 10201, 10404, 10609, 10816, 11025, 12100,
12321, 12544, 12769, 14400, 14641, 14884, 16900, 17161, 19321, 19600, 21904,
22500, 24649, 24964, 27556, 30625, 30976, 32400, 33856, 34225, 37249, 37636,
40000, 40401, 40804, 41209, 44100, 44521, 44944, 48400, 48841, 52441, 52900,
56644, 57121, 61009, 61504, 62001, 65536, 66049, 69696, 70225, 70756, 75076,
75625, 80089, 80656, 85264, 90000, 90601, 91204, 96100, 96721, 101124, … |
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Curiosité 6 561 = 812 & 6 + 5 + 6 + 1 = 18 |
Somme des
chiffres égale à la racine carrée retournée. |
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Racine numérique Les seuls
restes possibles pour un carré parfait modulo 9 sont 0, 1, 4 et 7 (ce
qui donne les racines
numériques 1, 4, 7 ou 9). Un nombre dont la racine numérique est 2, 3, 5, 6
ou 8 ne peut donc en aucun cas être un carré parfait. |
1234 => 1
+ 2 + 3 + 4 = 10 => 1 + 0 = 1 => n'est pas un carré 207 936
=> 2 + 0 + 7 + 9 + 3 + 6 = 27 => 2 + 7 = 9 => carré potentiel. 207 936 =
456² |
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Énumération 1, 1, 1² 4, 4, 2² 9, 9, 3² 49, 36, 6² 144, 16, 4² 289, 144, 12² 441, 16, 4² 1444, 64, 8² 7744, 784, 28² 11236, 36, 6² 11449, 144, 12² 11664, 144, 12² 11881, 64, 8² 13689, 1296, 36² 14884, 1024, 32² 16384, 576, 24² 16641, 144, 12² 19881, 576, 24² |
Exemple 144 = 12² &
1 × 4 × 4 = 16 = 4² Carrés dont la somme des chiffres est un carré 1, 4, 9, 49, 144, 289,
441, 1444, 7744, 11236, 11449, 11664,
11881, 13689, 14884, 16384, 16641, 19881, 21316, 26896, 28224, 29241, 29929,
31684, 36481, 38416, 41616, 42436, 42849, 43264, 43681, 44944, 48841, 49284,
55696, 69169, 76176, 77284, 82944, 93636, 116964, 128881, 132496, 134689,
138384, 142129, 155236, 186624, 214369, 228484, 229441, 268324, 288369,
289444, 294849, 322624, 332929, 339889, 346921, 355216, 368449, 386884,
398161, 432964, 436921, 444889, 498436, 511225, 617796, 677329, 698896,
776161, 797449, 891136, 938961, 942841, 964324, 966289, … |
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Exemple 144 = 12² &
1 + 4 + 4 = 9 = 3² 144 = 12² &
1 × 4 × 4 = 16 = 4² Énumération [(1, 1, 1), (4, 4, 4),
(9, 9, 9), (144,
16, 9), (441,
16, 9), (14884, 1024, 25), (44944, 2304, 25), (48841, 1024, 25), (132496,
1296, 25), (214369, 1296, 25), (268324, 2304, 25), (288369, 20736, 36), (294849,
20736, 36), (346921, 1296, 25), (436921, 1296, 25), (511225, 100, 16),
(617796, 15876, 36), (938961, 11664, 36), (1234321, 144, 16), (1336336, 2916,
25), (1833316, 1296, 25), (2325625, 3600, 25), (2356225, 3600, 25), (2585664,
57600, 36), (2614689, 20736, 36), (2778889, 451584, 49), (2862864, 36864,
36), (3323329, 2916, 25), (3767481, 28224, 36), (4691556, 32400, 36),
(4995225, 32400, 36), (5461569, 32400, 36), (5659641, 32400, 36), (6325225, 3600,
25), (8661249, 20736, 36), (8779369, 571536, 49), … |
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Nombres qui
contiennent tous les chiffres de 0 à 9 et qui sont carrés. Exemple 32 043² = 1 026 753 849 |
Carrés 1026753849,
1042385796, 1098524736, 1237069584, 1248703569, 1278563049, 1285437609,
1382054976, 1436789025, 1503267984, 1532487609, 1547320896, 1643897025,
1827049536, 1927385604, 1937408256, 2076351489, 2081549376, 2170348569,
2386517904, 2431870596. OEIS A036745 Racine carrée 32043,
32286, 33144, 35172, 35337, 35757, 35853, 37176, 37905, 38772, 39147, 39336,
40545, 42744, 43902, 44016, 45567, 45624, 46587, 48852, 49314, 49353, 50706,
53976, 54918, 55446, 55524, 55581, 55626, 56532, 57321, 58413, 58455, 58554,
59403, 60984. OEIS A156977 |
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Carrés
produit de deux nombres qui, à eux deux, sont pannumériques. |
Cas 1 à 9 51581124 =
7182^2 = 3249 × 15876 57972996 = 7614^2
= 1458 × 39762 62157456 =
7884^2 = 3942 × 15768 77158656 =
8784^2 = 4392 × 17568 100881936 =
10044^2 = 279 × 361584 103063104 =
10152^2 = 1728 × 59643 112784400 =
10620^2 = 8496 × 13275 121749156 =
11034^2 = 9 × 13527684 127373796 =
11286^2 = 1539 × 82764 130439241 =
11421^2 = 2187 × 59643 131882256 =
11484^2 = 2871 × 45936 134374464 =
11592^2 = 5796 × 23184 135629316 =
11646^2 = 18 × 7534962 137311524 =
11718^2 = 63 × 2179548 159668496 =
12636^2 = 27 × 5913648 165636900 =
12870^2 = 396 × 418275 171479025 =
13095^2 = 873 × 196425 185177664 =
13608^2 = 576 × 321489 186650244 =
13662^2 = 36 × 5184729 201185856 =
14184^2 = 576 × 349281 205549569 =
14337^2 = 81 × 2537649 206324496 =
14364^2 = 6498 × 31752 212576400 =
14580^2 = 675 × 314928 214153956 =
14634^2 = 36 × 5948721 219988224 =
14832^2 = 576 × 381924 226442304 =
15048^2 = 396 × 571824 226984356 =
15066^2 = 279 × 813564 243547236 =
15606^2 = 324 × 751689 253191744 =
15912^2 = 7956 × 31824 281132289 =
16767^2 = 729 × 385641 288422289 = 16983^2
= 459 × 628371 308950929 =
17577^2 = 8649 × 35721 310534884 =
17622^2 = 4356 × 71289 313714944 =
17712^2 = 9 × 34857216 326922561 =
18081^2 = 63 × 5189247 335768976 =
18324^2 = 4581 × 73296 366454449 =
19143^2 = 6381 × 57429 376864569 =
19413^2 = 6471 × 58239 394896384 =
19872^2 = 54 × 7312896 438986304 =
20952^2 = 54 × 8129376 459587844 =
21438^2 = 81 × 5673924 499790736 =
22356^2 = 72 × 6941538 505845081 =
22491^2 = 567 × 892143 524226816 =
22896^2 = 6912 × 75843 564110001 =
23751^2 = 63 × 8954127 584382276 =
24174^2 = 612 × 954873 587868516 =
24246^2 = 9 × 65318724 602358849 =
24543^2 = 81 × 7436529 604569744 =
24588^2 = 6147 × 98352 606341376 =
24624^2 = 648 × 935712 629156889 =
25083^2 = 8361 × 75249 659308329 =
25677^2 = 9 × 73256481 679332096 =
26064^2 = 72 × 9435168 732893184 =
27072^2 = 9 × 81432576 749554884 =
27378^2 = 81 × 9253764 |
Cas 0 à 9 253764900 =
15930^2 = 108 × 2349675 339075396 =
18414^2 = 13068 × 25947 371641284 =
19278^2 = 15876 × 23409 386358336 =
19656^2 = 27 × 14309568 394896384 =
19872^2 = 3726 × 105984 460746225 =
21465^2 = 243 × 1896075 463454784 =
21528^2 = 234 × 1980576 496175625 =
22275^2 = 16875 × 29403 539168400 =
23220^2 = 1935 × 278640 564110001 =
23751^2 = 10647 × 52983 595750464 =
24408^2 = 576 × 1034289 622402704 =
24948^2 = 15876 × 39204 630512100 =
25110^2 = 486 × 1297350 685916100 =
26190^2 = 1746 × 392850 714492900 =
26730^2 = 36 × 19847025 725117184 =
26928^2 = 19584 × 37026 731918916 =
27054^2 = 1503 × 486972 746600976 =
27324^2 = 72 × 10369458 761428836 =
27594^2 = 567 × 1342908 769396644 =
27738^2 = 603 × 1275948 782432784 =
27972^2 = 10584 × 73926 786465936 =
28044^2 = 1368 × 574902 796086225 =
28215^2 = 20691 × 38475 796594176 =
28224^2 = 4032 × 197568 819104400 =
28620^2 = 432 × 1896075 824264100 =
28710^2 = 396 × 2081475 825297984 =
28728^2 = 576 × 1432809 826332516 =
28746^2 = 18 × 45907362 853457796 =
29214^2 = 27 × 31609548 881021124 =
29682^2 = 306 × 2879154 923187456 =
30384^2 = 9 × 102576384 928664676 =
30474^2 = 15237 × 60948 933608025 =
30555^2 = 873 × 1069425 950735556 =
30834^2 = 9 × 105637284 991116324 =
31482^2 = 3564 × 278091 993384324 =
31518^2 = 153 × 6492708 |
||
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Nombres
carrés pouvant être composés à partir du produit de deux facteurs (leurs «
crocs ») contenant exactement les mêmes chiffres que le nombre initial. |
18225 = 135² = 81 × 225 186624 =
432² = 216 × 864 210681 =
459² = 81 × 2601 1822500 = 1350²
= 81 × 22500 3150625 =
1775² = 5 × 630125 3814209 =
1953² = 9 × 423801 11195716 =
3346² = 956 × 11711 13498276 =
3674² = 2 × 6749138 18662400 =
4320² = 216 × 86400 19847025 =
4455² = 2475 × 8019 21068100 =
4590² = 81 × 260100 21316689 =
4617² = 81 × 263169 21650409 =
4653² = 9 × 2405601 33593616 =
5796² = 36 × 933156 51480625 =
7175² = 6125 × 8405 |
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Tous les nombres jusqu'à
100 000 dont le carré commencent par quatre fois le même chiffre. En rose: cinq
fois 2357² = 5555449 |
(3334,
11115556), (10541, 111112681), (10542, 111133764),
(10543, 111154849), (10544, 111175936), (10545, 111197025), (33332,
1111022224), (33333, 1111088889), (33334,
1111155556), (33335,
1111222225), (33336, 1111288896), (33337, 1111355569), (33338, 1111422244),
(33339, 1111488921), (33340, 1111555600), (33341, 1111622281), (33342,
1111688964), (33343, 1111755649), (33344, 1111822336), (33345, 1111889025),
(33346, 1111955716) |
|
|
(4714,
22221796), (14907, 222218649), (14908, 222248464), (14909, 222278281),
(47139, 2222085321), (47140, 2222179600), (47141, 2222273881), (47142, 2222368164),
(47143, 2222462449), (47144, 2222556736), (47145, 2222651025), (47146,
2222745316), (47147, 2222839609), (47148, 2222933904) |
(5774,
33339076), (18257, 333318049), (18258, 333354564), (18259, 333391081),
(57733, 3333099289), (57734, 3333214756), (57735, 3333330225), (57736, 3333445696),
(57737, 3333561169), (57738, 3333676644), (57739, 3333792121), (57740,
3333907600) |
|
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(6667,
44448889), (21081, 444408561), (21082, 444450724), (21083, 444492889),
(66664, 4444088896), (66665, 4444222225), (66666, 4444355556), (66667, 4444488889), (66668, 4444622224),
(66669, 4444755561), (66670, 4444888900) |
(2357,
5555449), (23570, 555544900), (23571, 555592041), (74532, 5555019024),
(74533, 5555168089), (74534, 5555317156), (74535, 5555466225), (74536,
5555615296), (74537, 5555764369), (74538, 5555913444) |
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(2582,
6666724), (8165, 66667225), (25819, 666620761), (25820, 666672400), (81646,
6666069316), (81647, 6666232609), (81648, 6666395904), (81649, 6666559201),
(81650, 6666722500), (81651, 6666885801) |
(8819,
77774761), (27888, 777740544), (27889, 777796321), (88188, 7777123344),
(88189, 7777299721), (88190, 7777476100), (88191, 7777652481), (88192,
7777828864) |
|
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(9428,
88887184), (29813, 888814969), (29814, 888874596), (94277, 8888152729),
(94278, 8888341284), (94279, 8888529841), (94280, 8888718400), (94281,
8888906961) |
(31622,
999950884), (99995, 9999000025), (99996, 9999200016), (99997, 9999400009),
(99998, 9999600004), (99999, 9999800001) |
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